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triangle équilatéral et trigonométrie
salut a tous !
alors j'ai un exo de maths à faire que je n'arrive même pas à commencer.....
un petit d'aide serait bienvenue.
alors :
(o;i;j) est un repère orthonormal.
A est le point de coordonnées polaires (r,x) avec 0 < x < pi/2 (< ou égal) dans le repère (O;i).
ABC est un triangle équilatéral de centre O tel que (AB;AC)= pi/3.
1.a) exprimer le côté du triangle ABC en fonction de r.
alors d'après ma figure AO = r mais après je ne sais pas du tout.
merci d'avance
bonsoir,
Appelons H l'intersection de (OB) et du côté (AC).
Puisque ABC est équilatéral, (BH) est une hauteur
mais aussi une médiane du triangle.
Appelons (a) le côté du triangle.
Dans le triangle AOH, rectangle en H, on a la relation d'angle :
a/2 = r cos
/6
avec cos/6 = 
3/2
d'où a = ...
...
Re :
Si tu veux une explication précise sur ce qui vient d'être fait,
y'a pas de problème. Mais dans ce cas, soit précis sur le sens de la question.
Le "pourquoi a/2 = r cospi/6 ? " ne me permet pas de savoir ce qui n'est pas compris.
Est-ce le a/2 ? Est-ce- la formule trigo SOH ? Est-ce la valeur de l'angle pi/6 ?
a = 2(r3/2) = r 3
...
Et bien, c'est tout à fait ça. Et on arrive bien à la même relation.
Il se trouve simplement que je retiens cette relation sous la forme : Adj = Hyp * cos
Les deux formules sont équivalentes, donc tout va bien.
...
merci et pour donner les mesures des angles (OA, OB) et (OA, OC) est-il correct de dire que dans un triangle équilatéral les angles issus du centre sont égaux ??
Re :
Oui, c'est correct, à condition que la propriété soit admise ou bien
qu'elle soit démontrée (plusieurs démonstrations possibles) :
les triangles OAB, OBC et OCA sont 3 triangles de mêmes mesures (isométriques),
car leurs côtés sont égaux deux à deux. On en déduit donc que les angles au centre en O sont égaux :
(OA; OB) = (OB; OC) = (OC; OA) = 2pi/3 (360°/3)
...
oui, c'est parfait.
(i; OC) peut s'écrire aussi :
(i; OC) = (i; OA) + (OA; OC) = (i; OA) - (OC; OA) = x - 2/3
mais cela revient au même que : x + 4/3
..
donc les coordonées polaires sont B(r;x+2/3) et C(r;x+2/3)
ensuite pour les coordonnées cartésiennes
xA = rA cos 
A = r cos x
yA = rA sin A = r sin x
xB = rB cos B = r cos (x+2/3)
yB = rB sin B = r sin (x+2/3)
xC = rC cos C = r cos (x+4/3)
yC = rC sin C = r sin (x+4/3)
donc on laisse comme ca ?
Tout ceci est correct.
On pourrait éventuellement simplifier :
cos(x + 2pi/3) = cos(x + pi - pi/3) = - cos (x - pi/3)
sin(x + 2pi/3) = sin(x + pi - pi/3) = - sin (x - pi/3)
de même que :
cos (x + 4pi/3) = cos(x + pi + pi/3) = - cos (x + pi/3)
sin (x + 4pi/3) = sin(x + pi + pi/3) = - sin (x + pi/3)
Mais cela n'apporte pas grand chose au résultat final.
...
Merci beaucoup de votre aide ! Continuons ^^
2. E est le milieu du côté [AB]
a) Exprimer OE puis OC en fonction de OA et OB (vecteurs).
OE = 1/2 (OA + OB) ? et pour OC je ne sais pas.
C'est OK pour OE.
Pour OC : le point O est centre du triangle ABC.
O se trouve donc au 2/3 de [CE], et donc ...
...
Ensuite il faut démontrer que OA + OB + OC = O.
Ca je l'ai vu en cours comme une propriété mais j'ai pas appris à le démontrer.
Donc jai calculé
OA ( xA-xB ; yO-yO )
et idem pour OB et OC et après j'ai supposé que je devais additionner les x et les y entre eux pour trouver O seulement je m'embrouille avec les cos, x et
euh désolé je viens de remarquer que j'ai écrit n'importe quoi pour les coordonnées de OA donc je rectifie OA ( xA - xO ; yA - yO )
Re :
pars simplement de l'égalité établie précédemment :
OC = - (OA + OB) <=> OC + OA + OB = 0
c'est tout.
...
ben merci et petite déduction pour la fin
en déduire que :
cos x + cos ( x +2/3) + cos (x - 2/3) = 0 et
sin x + sin ( x +2/3) + sin (x - 2/3) = 0
donc la jai dit que :
OA + OB + OB = 0
xA - xO + xB - xO etc..
or O(O;O)
d'où xA + xB + xC = 0
yA + yB + yC = 0
donc voila ca suffit non pour démontrer ca ?
Oui, c'est parfait.
Et donc pour les coordonnées rectangulaires de C,
il vaut mieux les présenter sous la forme :
Xc = r cos(x - 2pi/3)
Yc = r sin(x - 2pi/3)
...
oui je les ai remplacées ben voila fin de l'exercice il était temps ben merci beaucoup et continuez comme ca ^^ bonne soirée
sir je dis ça sa va aussi ou pas du tout? Soit H la hauteur issue de A.
Dans le triangle équilatéral, OA=2/3 AH
Ainsi, AH=3x/2
Dans le triangle rectangle AHC, tan pi/3 = AH/CH.
On calcule aisi CH et on déduit BC=x racine de 3
Dans un triangle équilatéral, chaque angle principal vaut pi/3.
et l'angle qu'on utilise dans le triangle rectangle AOH,
rectangle en H, est l'angle OAH = A/2 = (pi/3) / 2 = pi/6
...
ha j'ai compris mais pourquoi aprés ça devient a = 2(r3/2) = r racine de 3??? POUR LES deux 2 s'annule
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