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Triangle remarquable
Bonjour,
j'ai besoin d'aide pour résoudre ce problème!
ABC est un triangle tel que l'angle en A est égal à 60 degrés et l'angle B est égal à 45 degrés. H est le pied de la hauteur issue de C. Le cercle de diamètre[AB], de centre I, coupe (A,C) en L et (B,C) en K; (A,K) et (B, L) se coupent en O.
1- Montrer que la droite (K,I) est la médiatrice du segment[AB].
2- Montrer que les points C,O,H sont alignés.
3- Quelle est la nature du quadrilatère IKCO? Justifier votre réponse.
Bonsoir josy
J'ai fait une figure et toi ?
1) Le triangle ABK est rectangle en K car inscrit dans le cercle C de diamètre AB, de plus il est isocèle car l'angles BAK=180-(90+45)=45°=angle ABK
Conséquence KI est hauteur et médiatrice
2) AK est une hauteur du triangle ABC (AK est perpendiculaire à BK ou BC, de même que HC
Le triangle ABL est rectangle en L, pour les mêmes raisons que le triangle ABK, donc BL est la 3 ème hauteur du triangle ABC
Ces 3 hauteurs sont concourantes en O, donc C,O et H sont alignés
3) Je pense qu'il y a erreur sur la désignation du quadrilatère, ou alors ma figure est fausse
Slt mijo 
> josy
Tu es en bts, ça devrait aller non ?
> mijo
Pour le trois, je mettrais 'trapèze' mais c'est vrai que le quadrilatère en question est spéciale... Enfin, je veux pas faire de la discrimination... 
Merci Mijo... cela ma éclairé!!! En fait je suis en 1 année au BAC en enseignement en adaptation scolaire et sociale.
Bonjour akub-bkub
S'il s'agit du quadrilatère IKCH c'est effectivement un trapèze rectangle, parce que IKCO n'est pas fermé, ce n'est donc pas un quadrilatère.
IK // CH (perpendiculaires à une même droite) pour justifier qu'il s'agit d'un trapèze
Bonjour
Voilà la solution au problème:
2°) AKB est un triangle rectangle en K car K est un point du cercle de diamètre [AB]. De plus l'angle de sommet B de ce triangle mesure 45 °. On en déduit que l'angle de sommet A de ce triangle mesure également 45 ° (car la somme des mesures des angles d'un triangle vaut 180°). Donc AKB est un triangle ayant des angles de sommet B et de sommet C égaux. C'est donc un triangle isocèle de sommet K. On en déduit donc que KA = KB.K, qui est équidistant de A et de B, est donc un point de la médiatrice de [AB]. Comme I est le milieu de [AB], I est aussi un point de la médiatrice de [AB]. Donc (KI) est bien la médiatrice de [AB].
3°) K et L étant des points situés sur le cercle de diamètre [AB], (AL) est prependiculaire à (BL) et (AK) est perpendiculaire à (BK). Donc (BL) et (AK) sont deux hauteurs du triangle ABC. Ces hauteurs se coupent en O. Donc O est l'orthocentre du triangle ABC. Comme (CH) est la troisième hauteur du triangle ABC, (CH) passe aussi par l'orthocentre O du triangle ABC. Donc, C, O et H sont alignés.
4°) (CH) est la hauteur issue de C du triangle ABC donc (CO), qui est la même droite que (CH), est perpendiculaire à (AB). Par ailleurs, (KI) est la médiatrice de [AB] donc (KI) est également perpendiculaire à (AB).
IKCO est donc un trapèze (car les droites (CO) et (KI) qui sont perpendiculaires à une même droite sont nécessairement parallèles).
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