Niveau BTS

trignonmetrie

Posté par
sympas91 02-08-10 à 15:53

bonjour a tous

j ai des difficultes pour resoudre 2 equations

le pb : demontrer les identités suivantes

sin 3x / sin x + cos3 x =  4 cos 2x

l autres :

sin 2 a / 1+ cos2 a x cos a / 1+cos a = tg a/2

ils disent de resuire au meme denominateur  sin 4x  que  sin 4 x c est sin 2 x 2x et que sin x  cos x  c est 1/2 sin 2x

et il remarque que 1+ cos2 a = 2 cos ² x

on a aussi 1+cos a = 2 cos² a/2

et on peut toujours ecrire  que sin a = 2 sin a/2 cos a/2

je vois pas par ou commencer , si j avais une exemple ça serait plus simple parce que mon cours j arrive pas a trouver du moins ça me saute pas yeux

merci

Posté par re : trignonmetrie 02-08-10 à 16:21

Bonjour

Je pense qu'il y a une petite erreur dans votre premier énoncé. Quoi qu'il en soit, en se rappelant les formules
$\sin(\alpha+\beta) = \sin(\alpha)\cos(\beta) + \cos(\alpha)\sin(\beta)$ , et donc $\sin(2\alpha) = 2 \sin(\alpha)\cos(\beta)$ , on a

$\frac{\sin(3x)}{\sin x} + \frac{\cos(3x)}{\cos x} = \frac{\sin(3x)\cos(x)+\cos(3x)\sin(x)}{\sin(x)\cos(x)} = \frac{\sin(3x+x)}{\sin(x)\cos(x)} = \frac{\sin(4x)}{\sin(x)\cos(x)} = \frac{2\sin(2x)\cos(2x)}{\sin(x)\cos(x)} = \frac{4\sin(x)\cos(x)\cos(2x)}{\sin(x)\cos(x)} = 4\cos(2x)$

Je réfléchis encore pour votre deuxième question...

Posté par re : trignonmetrie 02-08-10 à 16:37

Et voici la preuve de la deuxième identité...

En utilisant la formule
$\frac{\sin(a)}{1+\cos(a)} = \frac{2\sin(a/2)\cos(a/2)}{1+\cos^2(a/2)-\sin^2(a/2)} = \frac{2\sin(a/2)\cos(a/2)}{2\cos^2(a/2)} = \frac{\sin(a/2)}{\cos(a/2)} = \tan(a/2)$ ,
on trouve immédiatement
$\frac{\sin(2a)}{1+\cos(2a)}\cdot\frac{\cos(a)}{1+\cos(a)} = \frac{\sin(2a)}{1+\cos(2a)}\cdot\frac{\sin(a)}{1+\cos(a)}\cdot\frac{\cos(a)}{\sin(a)} = \tan(a)\tan(a/2)/\tan(a) = \tan(a/2)$