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Trouver le maximum d'une fonction par le calcul.
Bonsoir,
Comment faire pour trouver par le calcul le maximum d'une fonction du type:
f(x)= 4x²-48x+144 ; je sais que cette fonction possède un minium ayant pour coordonnées S((f(-b/2a); -b/2a)
mais je ne sais pas comment calculer son maximum.
Pourriez-vous m'expliquer comment faire; s'il vous plaît ?
Je vous remercie.
Bonjour,
il n'y a pas de maximum
c'est à dire que quel que soit A on peut trouver un x tel que f(x) > A
la notion de maximum pour une telle fonction qui n'en a pas "naturellement" n'a de sens que si on restreint la fonction dans un intervalle borné
par exemple : "soit la fonction f(x) = 4x²-48x+144 sur [0; 16]"
alors le maximum sera à une des bornes 0 ou 16
bonsoir,
pas de maximum mais un minimum facile à déterminer
ici f(x)=4(x-6)² ===> minimum pour x=6
..........................
D'accord est donc si on cherche le maximum sur l'intervalle [0; 16]; comment faudrait-il faire par le calcul ?
et tu compares les deux valeurs
c'est ce que tu obtiens si tu as fait simplement un tableau de variations de ta fonction dans [0; 16] "comme d'habitude" avec les valeurs aux deux bouts et au minimum.
Ceci dit mon [0; 16] était juste un exemple hein !! ce n'est pas à prendre au pied de la lettre, tu n'as pas donné ton éenoncé alors on n'en sait rien de l'intervalle où cette fonction est "défini"/"étudiée"/"a un sens".
A voir avec ton énoncé et la signification de cette fonction dans ton exo...
Je n'ai pas d'énoncé c'était juste pour essayer de comparer car je me demandais pourquoi le maximum de
f(x)= x(-2x+12)² sur l'intervalle [0; 6] est atteint en f(2) ?
et pourquoi ce n'est pas la même fonction ????
la nouvelle fonction admet bien un maximum "normal", qui n'a aucun rapport avec la fonction que tu citais au début ...
tu crois que le facteur x devant disparait par magie et n'a aucune influence sur la fonction ??
ces deux fonctions sont bien différentes ! et ont des maxima et minimas sans aucun rapport à priori.
Pour trouver les extrémas de g(x) = x(-2x + 12)2 il faut calculer la dérivée de cette fonction.
les extrémas (minima et maxima, en vrac) seront alors obtenus en résolvant g '(x) = 0
et la différence maximum ou minimum se fera en étudiant les variations de g(x),
donc le signe de g '(x)
Je sais que ces fonctions sont différentes.
Mais donc je me demandais comment faire pour trouver le maximum de
f(x)= x(-2x + 12)² sur [0; 6]; sans utiliser la dérivée.
Merci. ( je sais que le maximum et atteint en f(2) mais comment le trouver).
?
Sans utiliser la dérivée je ne vois pas comment [u]ici[/u] !!
mais cette fonction f(x) = x(-2x + 12)² une fois complètement développée donne :
f(x) = 4x3 - 48x2 + 144x qui est un joli polynome qu'il est facile de dériver !
(remarque le degré qui est 1 de plus que ce que tu avais fourni au départ, le résultat final n'aura donc aucun rapport avcec juste 4x2 - 48x + 144)
Nota : sans les dérivées on pourrait peut être écrire
f(x) = 2 fois 2x(6-x)(6-x)
la somme de ces trois facteurs est 2x + (6 - x) + (6 - x) = 12
Théorème : le produit de trois facteurs dont la somme est constante est maximal quand ces trois facteurs sont égaux
(resterait à démontrer ce théorème !!!!!! et ce sans les dérivées !!! )
donc quand 2x = 6 - x = 6 - x soit 3x = 6 et x = 2
D'où tu sors ton f(4) ???
f '(x) = 12x²-96x+144 = 0 
x² - 8x + 12 = 0
(on divise tout par 12 : simplifier toujours autant que possible les équations avant de chercher à les résoudre)
= 64 - 4*12 = 16
donc solutions x = (8 
4)/2 = { 6, 2 }
le signe de la dérivée est : (tableau de signes, signe du trinome)
donc variations de f(x) ...
donc en x = 2 la fonction passe par un maximum, et en x = 6 par un minimum.
x -
0 2 6 +
f '(x) + + - +
f(x) / / f(2) \ f(6)=0 /
on "restreint" ce tableau à l'intervalle qui nous intéresse [0; 6]
le maximum étant dans cet intervalle, c'est bon
(sinon c'était des histoires de valeurs aux bornes de l'intervalle)
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