Bonjour,
"Dans le modèle d'étude du développement d'une population de bactéries, on estime que chaque quart d'heure, le nombre de bactéries double puis diminue de 50.
On suppose que le nombre de bactéries présentes à l'instant t=0 sur un aliment est égal à 100. Les biologistes estiment que l'aliment est impropre à la conso lorsque le nombre de bactéries dépasse 500000. On se propose d'évaluer la durée au bout que laquelle la conso de cet aliment risque de provoquer une intoxication aliment."
a)Pour tout nombre entier naturel n, exprimer un+1 en fonction de un.
--> un+1= 2un-50
b) Conjecturer la durée au bout de laquelle l'aliment est impropre à la consommation.
-->u13=409650 et u14=819250 donc
au bout de 3h30, l'aliment est toxique.
c) v est la suite définie sur N par vn= un-50. Démontrer que v est une suite géométrique
dont on précisera le premier terme et la raison.
--> J'ai fait vn+1/vn et j'ai donc trouvé que v est une suite géométrique de raison 2 et de premier terme v0=50.
d) Pour tout nombre entier naturel n, exprimer vn en fonction de n. En déduire l'expression de un en fonction de n.
-> vn=un-50 et un=50*2n+50
e) Valider la conjecture émise à la question b).
J'ai résolu l'inéquation 50*2n+50>500000 où on retrouve bien alors que cette inéquation est vrai lorsque n14. Ainsi l'aliment s'avère inconsommable
à partir de 3h30.
f) Le résultat obtenu précédemment dépend-il du nombre de bactéries présentes à l'instant t=0 sur l'aliment. Expliquer.
--> J'ai mis oui car u est une suite définie par récurrence et le premier terme u0 correspond au nombre de bactéries à l' instant t=0.
g) Quel devrait être le nombre de bactéries présentes sur l'aliment à l'instant t=0 pour que l'aliment soit toxique avant une durée de 4h.
--> Je ne suis pas certain de ma réponse à la question f et pour la g je ne sais pas du tout comment m'y prendre .
Si on cherche à ce que l'aliment soit toxique avant 4h, je comprends qu'à partir de 3h45 il doit avoir dépassé la barre des 500000 bactéries soit u15>500000. Et de ce fait on cherche à connaître ici quel serait le premier terme de u avec cette condition. Mais honnêtement, je cherche depuis plus heures et je perdu.
Bonjour
Vous ne présentez pas .
On peut supposer qu'il s'agisse du nombre de bactéries, chaque quart d'heure.
suite géométrique ?
donc
Cela évite de vérifier que pour tout
N'y a-t-il pas une erreur de texte, les résultats montrent qu'en partant de 100, on a déjà atteint le seuil avant 4 h.
Bonjour,
oui effectivement on note un le nombre de bactéries à chaque quart d'heure.
J'ai démontré que v est une suite géométrique de raison 2. Ce n'est pas le cas?
Je vous mets une capture de l'énoncé:
Bien sûr, la suite est une suite géométrique de raison 2 et de premier terme 50.
L'utilisation du quotient suppose que le dénominateur soit non nul. Il faut donc le vérifier avant.
C'est pour cela que je vous avais proposé l'autre méthode.
Le texte est imprécis alors, on veut le plus petit nombre et non un nombre quelconque
On va donc utiliser la définition de la suite en fonction de
uniquement.
on en a déduit
suite géométrique de raison 2, mais maintenant de premier terme
On a alors, . Pour que ce soit en moins de 4 heures, il faut donc que
Si on prend , il en résulte que l'on a une équation ou inéquation en
C'est une possibilité d'inéquation à résoudre.
Si on résout cette inéquation, on a
mais si on veut un délai plus court, il faudra peut-être envisager un programme ou l'aide d'un tableur
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