Bonjour à tous, j'aimerais avoir confirmation pour cet exo que j'ai fait, mais pour lequel de quelques doutes

voilà mon exo : Soit fx=(ax+b)/(x-1)  a et b sont des réels

1 On suppose que Cf admet pour asymptote la droite d'équation y=2 et admet au point d'abscisses 0 une tangente dont le coef directeur est 1
Determiner les réels a et b

Il y a une asymptote y=2, donc lim (x->)fx=2

donc lim (x->)fx=lim (x->)(ax)/x

donc on en conclue que lim a=2 donc a=2

Ensuite j'ai calculé la derivée
f'x= (-2+b)/((x-1)²)

f'0=1 donc 1=(-2+b)/(0-1)²
b=3

donc a=2 et b=3

J'ai quelques doutes sur le calcul de b, j'ai refait les calculs, mais j'ai toujours cette impression de m'etre trompé !

Je voudrais savoir si c'est bon ou pas ! Merci à vous