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Trouver une tangente à partir d'un point donné

Posté par
Tamachi
05-12-19 à 14:55

Bonjour,
Je vais vous présenter mon sujet, cela fait plus d'un jour que je ne comprends comment résoudre cette exercice.

La fonction: 3/100x3+3/20x2
Sa dérivée: 9/100x2+3/20x
Je dois trouver le point de contact d'une tangente à la courbe sachant que la tangente passe par le point P(10;15).

Avec la formule pour trouver l'équation réduite de la tangente je me retrouve avec ça:
yp=f'(a)(xp-a)+f(a)
Donc je résous l'équation pour trouver a et je me tombe sur un polynôme du 3ème degré: 15=-6/100a3+75/100a2+3a
Que je réduis au 2ème degré: 0=-6/100a2+75/100a-18
Du coup je calcule le discriminent, celui-ci est négatif donc l'équation ne possède pas de solution et je reste bloquer dessus..
Mon résonnement je le tiens de cette vidéo: https://www.youtube.com/watch?v=2AJlmuIuYXA sauf que dans son cas le discriminent est postif du coup il a bien des solutions pour trouver a.
Je ne vois pas ou j'aurais pu faire une erreur..

Posté par
malou Webmaster
re : Trouver une tangente à partir d'un point donné 05-12-19 à 15:04

bonjour
ta dérivée est fausse, je n'ai pas lu la suite

Posté par
hekla
re : Trouver une tangente à partir d'un point donné 05-12-19 à 15:05

Bonjour

erreur dans la dérivée

f'(x)= \dfrac{9}{100}x^2+\dfrac{3}{10}x

tangente  y=\left(\dfrac{9}{100}a^2+\dfrac{3}{10}a\right)x-\left(\dfrac{9}{100}a^2+\dfrac{3}{10}a\right)a +\dfrac{3}{100}a^3+\dfrac{3}{20}a^2

Simplifiez et écrivez qu'elle passe par (10~;~15)

Posté par
Tamachi
re : Trouver une tangente à partir d'un point donné 05-12-19 à 17:59

Oui c'est ce que j'avais trouvé mais j'ai fait une faute de frappe en vous le réécrivant.
J'essaye et je vous recontacte

Posté par
Tamachi
re : Trouver une tangente à partir d'un point donné 05-12-19 à 18:09

Du coup j'ai  bien simplifié et remplacé et j'ai toujours le même problème je tombe sur un trinôme du 3ème degré: 0=-6/100a3+75/100a2+3a-15

Posté par
hekla
re : Trouver une tangente à partir d'un point donné 05-12-19 à 18:50

Ou ce qui revient au même

2a^3+25a^2+100a-500=0

Y avait-il d'autres questions avant ?

Une calculatrice formelle donne 2,7299

Posté par
Tamachi
re : Trouver une tangente à partir d'un point donné 05-12-19 à 21:53

Oui je dois trouver le a de l'équation mais avec un trinôme du 3ème de degré je ne sais pas faire.

Posté par
mathafou Moderateur
re : Trouver une tangente à partir d'un point donné 05-12-19 à 23:50

Bonjour,

du 3ème degré ce n'est pas un trinome...
on dit un polynome du 3ème degré

il y a des erreurs (je ne les ai pas identifiées car pas refait les calculs)
en effet il y a réellement 3 tangentes qui passent par P
comme le montre une détermination approchée avec Geogebra (en réglant à la main les curseurs pour que les tangentes passent à peu près par P)

Trouver une tangente à partir d\'un point donné

les valeurs obtenues sont à priori peu engageantes pour espérer que une résolution de l'équation de degré 3 (la bonne) en a soit autrement que par approximations
(ou alors suspecter une erreur dans l'énoncé ...)

Posté par
mathafou Moderateur
re : Trouver une tangente à partir d'un point donné 06-12-19 à 00:55

je trouve :

... Ou ce qui revient au même

2a^3-25a^2-100a+500=0    

(erreur de signe sur le coefficient de x3)

la résolution formelle (au logiciel) de cette équation donne bien 3 solutions en accord avec les valeurs approchées "expérimentales" précédentes :

mais dont les valeurs exactes (avec radicaux) sont totalement inutilisables, comme d'habitude avec les équations de degré >2

Posté par
alb12
re : Trouver une tangente à partir d'un point donné 07-12-19 à 22:24

salut,
on aimerait avoir des nouvelles de cet exercice ...
Je confirme.
abscisse/ordonnee/equation de la tangente


 \\ \left(\begin{array}{ccc}
 \\ -5.389 & -0.3385 & y=(0.9967\cdot x+5.033) \\
 \\ 3.147 & 2.421 & y=(1.836\cdot x-3.356) \\
 \\ 14.74 & 128.7 & y=(23.98\cdot x-224.8)
 \\ \end{array}\right)
 \\

Posté par
alb12
re : Trouver une tangente à partir d'un point donné 07-12-19 à 23:06

Dans le meme genre en plus interessant:
f(x)=3/100*x^3-3/20*x^2
qui donne:


 \\ \left(\begin{array}{ccc}
 \\ \frac{-5}{2} & \frac{-45}{32} & y=(\frac{21}{16} \cdot x+\frac{15}{8}) \\
 \\ 10 & 15 & y=(6\cdot x-45)
 \\ \end{array}\right)
 \\

Posté par
alb12
re : Trouver une tangente à partir d'un point donné 08-12-19 à 22:14

Un programme Xcas qui permet de construire ou de verifier des exercices sur ce theme.
On copie colle ce programme dans l'editeur de programmes, on l'interprete en appuyant sur OK
La fonction:
1/ renvoie les coordonnees des points de tangence et les equations reduites des tangentes
2/ ouvre une fenetre graphique affichant la courbe de la fonction, les points de tangence et les tangentes


/*****************************************************************************
**************** Tangentes à une courbe passant par un point P ***************
*****************************************************************************/
  
//Renvoie coordonnées des points de tangence et équations  réduites des tangentes dans une liste, affiche le graphique dans DispG
  
TangentesCourbe(T,u,v,opt):={ //T expression, u et v coordonnées de P, opt=0 si approx et 1 si exact
  local G,sol,s,k,j,L;global x;
  DispG;ClrGraph;G:=plot(T,x=-20..20,affichage=epaisseur_ligne_2,xstep=0.01);//modifier -20..20 ?
  legende(point(u,v),"P");
  DIGITS:=4;
  si opt==1 alors
    sol:=resoudre(v-T=diff(T)*(u-x));//résolution exacte, evalf(ans()) donnera les approx
  fsi
  // si on obtient unable to isolate x in ... conjecturez les intervalles en utilisant les points d'intersection
  // de la courbe bleue avec l'axe des abscisses et recommencez avec opt=0
  si opt==0 alors
    sol:=NULL;
    plot(v-T-diff(T)*(u-x),x=-20..20,couleur=bleu,xstep=0.01);// pour mieux voir les intervalles
    saisir("Séquencez des intervalles contenant \nles abscisses des points de tangence\npar exemple -3.2..0.2,2..7",L);
    L:=[L];
    pour k de 0 jusque size(L)-1 faire
      //bisection_solver car les méthodes type newton ne donnent pas toutes les solutions
      sol:=sol,moyenne(resoudre_numerique(v-T=diff(T)*(u-x),x,L[k],bisection_solver));//résolution approchée
    fpour
    sol:=[sol];
  //sol:=resoudre_numerique(v-T=T'*(u-x));//résolution approchée
  //sol:=set[op(sol)]; // pour racines multiples
  fsi
  s:=size(sol);
  si s==0 alors
    afficher("Il n'est pas possible de construire une droite passant par P et tangente à la courbe");
    retourne []
  fsi
  si s==1 alors
    afficher("Une seule droite passant par P est tangente à la courbe");
    point(sol[0],simplifier(subst(T,x=sol[0])),affichage=epaisseur_point_3);
    retourne [sol[0],simplifier(subst(T,x=sol[0])),equation(tangente(G,sol[0],couleur=rouge))]
  fsi
  afficher(s+" droites passent par P et sont tangentes à la courbe"); 
  seq(point([sol[j],simplifier(subst(T,x=sol[j]))],affichage=epaisseur_point_3),j,0,s-1);
  retourne seq([sol[j],simplifier(subst(T,x=sol[j])),equation(tangente(G,sol[j],couleur=rouge))],j,0,s-1);
}
:; 



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