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Niveau première
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un autre ensemble de points

Posté par
csem
19-05-18 à 10:00

pouvez vous m'aidez à résoudre cette exercice. Je ne comprend rien.
Soit ABC un triangle rectangle en A tel que AB=3 et AC=6
1) Démontrer qu'il existe un unique point G tel que (vecteur GA)+(vecteur GB)+ (vecteur GC)= vecteur nul
2) Montrer que GB.GC+GC.GA+GA.GB=-15
3) Montrer que, pour tout point M du plan:
MA.MC+MC.MB+MA.MB= 3MG²-15
4) En déduire l'ensemble des points M du plan tels que: MA.MC+MC.MB+MA.MB=0
Merci d'avance pour votre aide

Posté par
toureissa
re : un autre ensemble de points 19-05-18 à 10:29

Bonjour csem,

Tu peux choisir le repère  (A, \vec{u_{AB}},\vec{u_{AC}})

Et tu prends x et y comme coordonnées de G et cherche ensuite les coordonnées des autres points, puis des vecteurs.

Posté par
carpediem
re : un autre ensemble de points 19-05-18 à 10:49

salut

nul besoin de repère  ... et encore moins de coordonnées ...

la relation de Chasles est suffisante ...

Posté par
csem
re : un autre ensemble de points 19-05-18 à 11:51

merci je n'avais pas pensé a la relation de chasles, en revanche dans la question 1, comment on peut trouver que l'addition de trois vecteurs donne le vecteur nul alors qu'on ne connait pas la position du point G.

Posté par
malou Webmaster
re : un autre ensemble de points 19-05-18 à 12:31

relis ta question
tu dois montrer l'existence d'un unique point G tel que....
introduis A dans vec GB et vec GC
et encore une fois Chasles

Posté par
csem
re : un autre ensemble de points 19-05-18 à 12:46

d'accord sa me donne GA+GA+AB+GA+AC=vecteur nul
                                            <=> 3GA+AB+AC =vecteur nul

Posté par
carpediem
re : un autre ensemble de points 19-05-18 à 12:58

donc AG = (1/3)(AB + AC)

et la construction du point G vérifiant cette relation est unique ...

Posté par
csem
re : un autre ensemble de points 19-05-18 à 13:02

oui donc dans ce cas la les vecteurs AB+AC donne le vecteur BC et donc le point G se trouve sur ce vecteur et si je suis ce que vous avez marqué BG=1/3BC
c'est bien ça ?

Posté par
carpediem
re : un autre ensemble de points 19-05-18 à 14:17

n'importe quoi ...

as-tu fait un dessin ?

Posté par
csem
re : un autre ensemble de points 19-05-18 à 14:21

j'ai fait le triangle ABC mais alors G ne se trouve pas sur BC

Posté par
csem
re : un autre ensemble de points 19-05-18 à 14:23

ce ne serait pas plutot BG= -1/3BC

Posté par
csem
re : un autre ensemble de points 19-05-18 à 14:52

finalment nn je me suis tromper GB=-1/3GC c'est totalement faux aussi

Posté par
csem
re : un autre ensemble de points 19-05-18 à 15:04

GB.GC=(GA+AB).(GA+AC)
                = GA.GA+GA.AC+AB.GA+AB.AC
                = GA²+GA.AC+AB.GA car AB.AC sont orthogonaux donc=0
faut il utiliser un projeté orthogonal pour les produits scalaire GA.AC et AB.GA ?

Posté par
Priam
re : un autre ensemble de points 19-05-18 à 15:14

Pour poursuivre, tu pourrais décomposer de la même manière les autres vecteurs GB et GC de la relation vectorielle à démontrer (question 2).

Posté par
csem
re : un autre ensemble de points 19-05-18 à 15:24

d'accord mais le premier produit scalaire n'est pas terminé et j'ai utilisé les projetés orthogonaux comme j'avais dit et je trouve GB.GC=-3 ,cependant j'ai remplacé GA par         -AG=(-1/3)(AB+AC) est ce que c'est correct ?

Posté par
csem
re : un autre ensemble de points 19-05-18 à 15:29

en décomposant tout j'ai GA²+GA.AC+AB.GA+GA²+GA.AC+GA²+GA.AB

Posté par
Priam
re : un autre ensemble de points 19-05-18 à 15:42

Réunis les GA² et factorise les GA.

Posté par
csem
re : un autre ensemble de points 19-05-18 à 15:44

comment on peut factoriser des vecteurs dans des produits scalaire parce que si on peut le faire je ne l'ai pas vu encore ?

Posté par
csem
re : un autre ensemble de points 19-05-18 à 15:47

est ce que sa fait 3GA²+2(GA.AB)+2(GA.AC)

Posté par
Priam
re : un autre ensemble de points 19-05-18 à 15:49

Oui. Tu peux encore factoriser GA. Puis tu pourras faire intervenir le point A' milieu de BC.

Posté par
csem
re : un autre ensemble de points 19-05-18 à 15:50

désolé mais la je vois pas du tout comment réunir les GA ?

Posté par
csem
re : un autre ensemble de points 19-05-18 à 17:03

déjà les GA sa peut donner -AG mais est ce que l'on peut remplacer -AG par (1/3)(AB+AC)

Posté par
Priam
re : un autre ensemble de points 19-05-18 à 17:21

2GA.GB + 2GA.GC = 2GA.(GB + GC) , non ?

Posté par
csem
re : un autre ensemble de points 19-05-18 à 17:33

oui mais je ne parviens toujours pas à parvenir au résultat

Posté par
Priam
re : un autre ensemble de points 19-05-18 à 17:43

Exprime la somme des vecteurs GB et GC en fonction du vecteur GA'.

Posté par
csem
re : un autre ensemble de points 19-05-18 à 18:08

Sa me donnerai 2GA.(GA'+A'B+GA'+A'C)

Posté par
Priam
re : un autre ensemble de points 19-05-18 à 18:10

Oui, et A'B + A'C = . . .

Posté par
csem
re : un autre ensemble de points 19-05-18 à 18:14

Vecteur nul car A' est le centre e BC

Posté par
csem
re : un autre ensemble de points 19-05-18 à 18:15

Et donc maintenant j'ai 2GA.(2GA')

Posté par
Priam
re : un autre ensemble de points 19-05-18 à 18:22

Oui. Dans l'expression entière, il n'y a plus que des GA et GA' qui peuvent s'exprimer en fonction de AA', vecteur dont la norme peut être calculée numériquement.

Posté par
csem
re : un autre ensemble de points 19-05-18 à 18:30

Mais on ne connaît pas la norme de AA'

Posté par
csem
re : un autre ensemble de points 19-05-18 à 18:49

Sa donnerai GA'+A'A pour GA et GA'+ A'A' pour GA'

Posté par
Priam
re : un autre ensemble de points 19-05-18 à 19:37

On peut calculer AA' dans le triangle ABC.

Posté par
Priam
re : un autre ensemble de points 19-05-18 à 19:41

Mais auparavant, exprime les vecteurs GA et GA' en fonction du vecteur AA' (la relation de 17h03 peut te servir pour cela).

Posté par
csem
re : un autre ensemble de points 19-05-18 à 20:24

Pour AA' il s'agit juste d'un petit théorème de pythagore par contre je ne vois pas à quoi GA' ou -A'G peut correspondre alors que GA=-AG=-1/3(AB+AC)

Posté par
Priam
re : un autre ensemble de points 19-05-18 à 20:37

Exprime AB + AC en fonction de AA'.

Posté par
Bixive
re : un autre ensemble de points 20-05-18 à 08:42

D'où l'intérêt de bien lire les énoncés

Soit ABC un triangle rectangle en A tel que AB=3 et AC=6
1) Démontrer qu'il existe un unique point G tel que (vecteur GA)+(vecteur GB)+ (vecteur GC)= vecteur nul

Question de cours? Je suis peut etre trop vieux mais de mon temps c'était au programme de 4ème. Il n'y a pas de honte à oublier

2) Montrer que GB.GC+GC.GA+GA.GB=-15
Si tu as répondu à la question 1) la réponse à cette question est un calcul basique

3) Montrer que, pour tout point M du plan:
MA.MC+MC.MB+MA.MB= 3MG²-15
Chasles

4) En déduire l'ensemble des points M du plan tels que: MA.MC+MC.MB+MA.MB=0
Lire la question 3) pour répondre

Posté par
csem
re : un autre ensemble de points 20-05-18 à 08:57

pour la question 1) j'ai déjà trouvé que AG=(1/3)(AB+AC)
en revanche pour la 2) je ne vois pas quel calcul faire même si je sais qu'il faut utiliser la relation de chasles, a la fin je ne trouve jamais le résultat -15
et je n'ai pas encore commencé les questions 3) et 4)

Posté par
csem
re : un autre ensemble de points 20-05-18 à 09:07

pour la 2) j'ai :GB.GC+GC.GA+GA.GB
                               (GA+AB).(GA+AC)+(GA+AC).GA+GA.(GA+AB)
                              GA.GA+GA.AC+AB.GA+AB.AC+GA.GA+GA.AC+GA.GA+GA.AB
                               GA²+GA.AC+AB.GA+0(vecteur orthogonaux)+GA²+GA.AC+GA²+GA.AB
                               3GA²+2GA.AC+2GA.AB

Posté par
Bixive
re : un autre ensemble de points 20-05-18 à 09:15


Pourquoi tu veux calculer pour la question? Je ne comprends pas

Dans un triangle quelconque ABC quel est le point qui vérifie: \overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} +\overrightarrow{GC} = \overrightarrow{0}

Je te renvoies au cours ( c'est écrit dans la définition )

https://www.ilemaths.net/maths_1-barycentres-cours.php

Posté par
csem
re : un autre ensemble de points 20-05-18 à 09:23

si je suis bien la définition, le point G serait le barycentre cependant dans mon cours le terme de barycentre n'est évoqué nulle part donc je ne vois pas trop à quoi cela peut correspondre

Posté par
csem
re : un autre ensemble de points 20-05-18 à 09:27

le barycentre ne pourrait il pas être aussi appele centre de gravité du triangle puis que j'ai fais un schéma et je consate que en effet le point G est le centre de gravité du triangle ABC

Posté par
Bixive
re : un autre ensemble de points 20-05-18 à 09:33

Pour la 2)

GB.GC+GC.GA+GA.GB =(GA+AB).(GA+AC)+(GA+AC).GA+GA.(GA+AB)
                                                      = 3GA²+2GA.AC+2GA.AB
Tu as fais Chales avec A
Et donc tu as décidé de t'arrêter à cette ligne

Juste par curiosité ça donne quoi avec B ou C
Ca se trouve ca donnera rien... Qu'est ce que ça coûte d'essayer? Je dis ça je dis rien

Posté par
csem
re : un autre ensemble de points 20-05-18 à 09:49

sa me donnerai : GB.GC+GC.GA+GA.GB=-15
                                     (GC+CB).GC+GC.(GC+AC)+(GC+CA).(GC+CB)=-15
                                      GC²+GC.CB+GC²+GC.AC+GC²+GC.CB+CA.GC+CA.CB=-15
                                      3GC²+2GC.CB+2GC.AC+CA.CB=-15
(voici le cas ou on rajoute C par chasles)
                                     GB.GC+GC.GA+GA.GB=-15
                                     GB.(GB+BC)+(GB+BC).(GB+BA)+(GB+BA).GB=-15
                                     GB²+GB.BC+GB²+GB.BA+BC.GB+BC.BA+GB²+GB.BA=-15
                                     3GB²+2GB.BC+2GB.BA+BC.BA=-15
(voici le cas ou on rajoute B par chasles)

Posté par
csem
re : un autre ensemble de points 20-05-18 à 10:22

et pour la 3) je ne suis pas sur de la méthode a utiliser, j'ai pense a rajouter G :
MA.MC+MC.MB+MA.MB
(MG+GA).(MG+GC)+(MG+GC).(MG+GB)+(MG+AG).(MG+GB)
MG²+MG.GC+GA.MG+GA.GC+MG²+MG.GB+GC.MG+GC.GB+MG²+MG.GB+AG.MG+ AG.GB
3MG²+2MG.GC+2MG.GA+2MG.GB+AG.GB+GC.GB+GA.GC
J'ai les 3MG² et le -15 en revanche mais il y a des produits scalaire en plus

Posté par
malou Webmaster
re : un autre ensemble de points 20-05-18 à 10:22

Bixive, les programmes changent!....pour tout programme, se référer à eduscol
merci
(modérateur)

Posté par
csem
re : un autre ensemble de points 20-05-18 à 10:26

est ce que ce que je viens de mettre est bon ?

Posté par
malou Webmaster
re : un autre ensemble de points 20-05-18 à 10:33

factorise tes produits scalaires ! toute cette somme :
2MG.GC+2MG.GA+2MG.GB

Posté par
csem
re : un autre ensemble de points 20-05-18 à 10:35

sa me donne 2MG.(GC+GC+GB)

Posté par
csem
re : un autre ensemble de points 20-05-18 à 10:38

oups c'est 2MG.(GC+GA+GB) cependant GA+GB+GC  =vecteur nul et prenons u=2MG et v=GC+GA+GB et si l'un des deux vecteurs u ou v est nul alors le produit scalaire u.v= 0 donc ici est ce que 2MG.(GC+GA+GB)=0?

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