Il est clair sur ton dessin que les arcs sont interchangeables , c'est une des raisons pour lesquelles je n'arrivais pas à envisager des réalisations non symétriques .  
Je suis toujours surpris de voir à quel point des questions simples peuvent faire exploser les cadres ,  j'attends ton pdf avec impatience .

Imod

PS : J'espère que c'est la complexité du problème qui explique que ce fil se résume en un dialogue entre un maître et son mulet

Comme tu y vas ...

Un petit mot sur l'avancement de cette étude, en attendant le pdf promis.
après étude plus sérieuse que des simples intuitions, on a bien une transition brutale sur la topologie des 4 arcs :
on passe de 4 arcs égaux à un arcs plus gros que les 3 autres, ces trois autres restant égaux entre eux.
c'est à dire que trois arcs se "dégonflent" brusquement (et équitablement) au profit du 4ème.

contrairement à ce qui avait été dit précédemment ces trois arcs ne se dégonflent pas au point de devenir des arcs du cercle circonscrit !
De sorte que ils vont continuer à se dégonfler progressivement au profit du 4ème au fur et à mesure que l'aire totale augmente, jusqu'à la configuration "normale" à 6 arcs formées de 2 cercles circonscrits.

la valeur de transition est ainsi inférieure (notablement) à celle annoncée précédemment : environ 2.417 au lieu de 2.51.



je pense avoir un état publiable du pdf bientôt (en ce moment c'est la période des concerts de ma chorale, répétition générale hier soir, concert ce soir et jeudi)

Il n'y a aucune urgence pour le pdf et bonne chorale

Le côté chaotique de la transition ne me surprend absolument pas et se pressent physiquement . La bulle gonfle entre ses quatre clous jusqu'à ce que la tension soit trop forte et elle envahit d'un coup un des carrés voisins . Pour moi le plus étrange c'est de voir les parties gauches et droites déséquilibrées  . Je me demande d'ailleurs si physiquement dans le mouvement ce ne serait pas la partie droite qui récupérerait la majeure partie de l'aire et du périmètre .

Imod

Le pdf annoncé

PDF - 269 Ko
Résumé :
en regroupant les arcs par paires, on étudie d'abord la symétrie / dissymétrie d'une paire
puis la symétrie/dissymétrie entre les deux paires
la conclusion étant résumée par la figure précédente du 28-05-24 à 10:07

resterait à étudier plus en détail ce qu'il se passe exactement avec un nombre de cellules plus grand, et lorsque on passe d'une chenille à un cycle.

J'allais poster avant de voir ton message , j'envoie tout de même  

J'ai laissé reposer le truc car lorsque je sors de ma ligne de confort je pars trop souvent en vrille . Les premières étapes brouillent le problème car la routine ne s'établit qu'à partir de la huitième étape , c'est-à-dire quand on arrive à constituer une première boucle . Après les choses s'enchaînent naturellement en allongeant la boucle sur un seul côté . Il reste tout de même deux cas à envisager car il faut ajouter deux carrés à la boucle avant de passer à l'étape suivante . Dans la cas où une boucle est complète , tous les arcs sont identiques et dans le cas contraire , il y a le problème des deux arcs extrêmes . Entre ces positions clés il reste bien sûr le problème de la transition .

Imod

pour le problème des boucles ça complique pas mal car

déja il est inutile d'étudier les cycles avec trous de plusieurs cellules, car il se transforment en cycles à trous d'une seule cellule à aire et périmètre constant par simple déplacement des cellules



on a déja constaté le passage surprenant d'une chaine de 6 cellules "surgonflées" à un cycle de 8 cellules sous gonflés avec la même aire et le même périmètre cf 24-05-24 à 12:00
bien que cette étude simplifiée des cycles ait été faite avec un passage par une simple homothétie du "pourtour" du cycle, en faisant ça proprement , la conclusion ne pourrait qu'être meilleure (point de basculement éventuellement encore plus tôt)

enfin
quand on ajoute un cycle supplémentaire (= au moins deux cycles), selon qu'on l'ajoute avec les trous alignés ou en quinconce la topologie change cf 23-05-24 à 00:10 qui montre les deux topologies à aire et périmètre constant.

bref "les cycles" est une nouvelle étude, pas simple du tout.

PS
pour les trous décalés, comme ils sont équivalent, à aire et périmètre égaux, aux trous alignés + une cellule il est inutile de les étudier car les trous alignés sans cette cellule additionnelle ont forcément lieu avant en suivant la croissance de l'aire.
c'est la même chose que pour les "grands" trous

Je n'ai toujours pas lu ton pdf ( désolé ) mais je complète mes réflexions au sujet des boucles que l'on peut supposer de "largeur" 3 . Il me semble qu'on a là une position stable et générale dans le sens où chaque nouvelle étape va ajouter deux aires et quatre arcs identiques aux éléments existants .  Il "suffirait" donc d'analyser complètement cette configuration pour réduire grandement le problème . Les phénomènes transitoires sont évidemment  pénibles mais j'ai l'impression qu'ils seront les mêmes à chaque transition . Les phénomènes  chaotiques seraient plus présents  dans les premières étapes .

Il n'est pas utile de répondre si ce problème est déjà évoqué dans ton pdf que je vais essayer de lire ce soir

Imod

Le pdf ne concerne que la transition 1 cellule vers 2 cellules.

il n'est pas trop compliqué d'imaginer l'enchainement des positions "stables" (je préfère les appeler "normales" , celles avec uniquement des arcs de 1./4 cercle de diamètre ) au fur et à mesure que l'aire augmente

mais il y aura fatalement des transitions "chaotiques" dissymétriques sur des positions intermédiaires
tout au moins si on veut avoir une fonction "Périmètre en fonction de l'aire" continue et monotone croissante.
et que le périmètre soit à tout instant le plus petit pour cette aire là

si on renonce à cette exigence, on se fiche un peu de comment s'opère cette transition !
On peut "naïvement" décréter que l'on passe à la configuration normale suivante dès que l'aire devient celle de cette nouvelle configuration

j'ai déja signalé que ça provoquait des "marches" dans la fonction qui n'est plus monotone car un peu avant cette transition là le périmètre n'est plus minimum. : il y a mieux.
il faut donc opérer une transition plus compliquée plus tôt.

exemple de cette méthode naïve "sans complications" :



on voit bien les décrochements à chaque passage

J'ai ( enfin ) pris le temps de lire le pdf et c'est parfaitement clair pour le passage de 4 à 6 arcs . Pour moi c'est le nombre d'arcs qui doit servir de compteur principal avec tout de même le problème de l'addition d'un trou qui change le paradigme sans changer le nombre d'arcs . Je m'étais d'ailleurs un peu perdu dans mon dernier message , c'est bien sûr le nombre de trous et pas leurs tailles qui importe ( comme dans la formule d'Euler sur les polyèdres ) et donc les changements principaux se réalisent tous les 8 arcs ( et pas 2 ) . Après , la tache se complexifie-t-elle énormément si on ajoute de nouveaux arcs ? J'ai tendance à croire que non . La répartition des arcs sur le périmètre n'a pas d'importance et donc la forme de la figure non plus . On peut donc supposer sans problème que la figure s'appuie sur une bande de largeur 3 . A chaque étape on ajoute au périmètre de la figure la circonférence d'un cercle circonscrit au carré de base . Entre deux étapes ( en dehors de l'addition d'un trou ) , il me semble qu'assez rapidement on a assez de réserves sur les arcs pour compenser régulièrement l'augmentation d'aire .
Je reste volontairement dans le descriptif car il reste à mon avis des invariants à mettre en lumière . J'aime beaucoup la tournure qu'a pris ce problème et si le calcul exact des différents éléments est hors de portée , l'évolution des déformations de la figure est vraiment intéressante .

A suivre donc ...

Imod

PS : je suis quasiment persuadé que LittleFox actuellement enfermé dans ses bulles de savon va bientôt rejoindre l'affaire

Imod

le problème est comme je le répète d'avoir réellement pour chaque valeur de l'aire le périmètre vraiment minimum.
il est parfaitement clair que ce périmètre doit être une fonction monotone croissante et continue de l'aire. (pléonasme pour insister)

on peut avoir une première idée si on ne cherche pas pour chaque valeur de l'aire la valeur vraiment minimum mais un minimum approximatif.

dans mon dernier message on voit parfaitement à quoi s'attendre avec un critère naïf
on peut immédiatement améliorer ça en rendant au moins la fonction continue en faisant le basculement non plus sur l'aire mais sur le périmètre :



on suit la courbe noire jusqu'au point ou elle croise la bleue, on bascule en ce point sur la bleue de n+1 sous gonflée (arcs plus plat que "normaux") puis la noire de n+1

mais l'étude dans le pdf montre que cette stratégie avec les arcs toujours égaux entre eux ne donne pas le minimum du périmètre partout.
les améliorations successives au cours de cette discussion le montrent aussi

et ceci est général
et pas seulement pour les passage des premières étapes.
ce sera partout.
même si on peut penser que les améliorations sont de plus en plus petites au fur et à mesure de l'augmentation du nombre de cellules / d'arcs
mon exemple sur l'énorme amélioration du passage au premier cycle brusquement de 6 cellules en ligne à un cycle de 8 montre que ce n'est pas vrai.
et encore cette amélioration était avec la stratégie naïve d'arcs tous égaux ! rien ne dit pour l'instant qu'on ne pourrait pas faire mieux !
et même j'aurais tendance à dire que plus on augmente le nombre de cycles,plus le phénomène est violent. aboutissant même à la limite à un passage vers :

!!!

"A chaque étape on ajoute au périmètre de la figure la circonférence d'un cercle circonscrit au carré de base"
euh non

par exemple si je passe de 3 cellules "normales" = 8 arcs à 4 cellules "normales" = 10 arcs je n'ajoute pas un cercle complet mais un demi cercle. (deux arcs)
sans préjuger de ce qu'il se passe, (des étapes intermédiaires avec des arcs sur ou sous gonflés et des dissymétries), entre ces étapes clés

"une bande de largeur 3"
ou pas :

je disais déja "un tapis de cycles" ...

pour éviter le droit à des cycles "contractés" démesurément (10h31) parfaitement légal avec le seul critère de ne pas englober de points de la grille dans son intérieur et d'avoir le périmètre minimal pour une aire donnée, parce que c'est alors catastrophique, il faudrait rajouter une règle :

les points de la grille sont obligatoires, c'est à dire
il est interdit d'avoir des arcs / segments n'ayant pas leurs extrémités sur ces points.

mon passage tel que décrit de 6 cellules à un cycle n'est pas valide non plus, vu qu'il conduit à ces abominations : il faut recalculer avec un cycle sous gonflé "légalement"

Comme toujours , il y a beaucoup de messages

Je réponds juste à la répartition des "trous" . En effet , la forme "carré" va mieux répondre au problème qu'un long rectangle , c'est un peu dans ce sens que je parlais de cadres manquant . Il y a bien sûr des périodes transitoires plus ou moins chaotiques , mais on pourrait  dans un premier temps observer les changements d'étapes .

Imod

Je conviens volontiers que poster au fur et à mesure qu'on pense n'aide pas à la sérénité et la clarté du discours.
je vais essayer de ne penser qu'à une seule chose à la fois.
contentons nous donc de transitions discrètes où on saute d'une configuration normale à une autre configuration normale (= formées d'arcs tous identiques à 1/4 du cercle circonscrit)

ce que tu appelles chaotique ne l'est qu'en apparence pour dire "complexe" car c'est juste la traduction de l'évolution des positions intermédiaires lorsque l'aire et le périmètre varient de façon continue entre les positions normales.

les ignorer va conduire à avoir certaines positions normales qui n'existeront jamais car elles devraient être "sautées" lors de cette évolution continue.

mais passons ...
(message envoyé prématurément avant relecture et fin par erreur de clic)

(suite du message)

on sait déja que les positions normales se classent en

- chaines linéaires de n cellules et 2n+2 arcs
- cycles regroupés en "clusters" et ornés d'une "queue" linéaire.
- que à partir d'une certaine longueur, les chaines doivent devenir des (nouveaux) cycles. pour minimiser le périmètre en fonction de l'aire
mais cette transformation n'est pas directement assimilable car lors de cette transition, à la fois l'aire et le périmètre varient.
on ne peut donc pas les comparer avant et après !
à suivre...

bonjour,
J'ai essayé (car le nombre de possibilités explose) de classer les différents "clusters" de trous.



sans doute en ai-je oublié avec le même nombre de trous, à part ceux bien sur qui sont exactement équivalents.
il est difficile de comparer les longueurs et les aires à partir du simple nombre de carrés (c) et d'arcs (a) puisque à la fois l'aire et le périmètre en dépendent.

j'ai donc reporté toutes ces configuration (avec des listes, pas une par une) dans géogébra en lui demandant de calculer et afficher les aires et périmètres sous forme d'un graphique périmètre(aire)
bien évidement discontinu, et sans aucune idée de la façon dont s'opéreraient les transitions continues entre elles



en vert les chaines simples linéaires (inutile d'aller au dela de 7 car ensuite toutes les configurations à trous sont meilleures = en dessous de la droite pointillée)

en rouge les configurations à trous pures
en bleu les chaines linéaires greffées sur une configuration à trous, là aussi limitées à 5 pour les mêmes raisons

on voit que déja là le problème du choix de la configuration est complexe ("chaotique" ...)
comme géogébra fait ça "en vrac" par des listes et pas une par une, des configurations visiblement à éliminer sont gardées dans ce graphique.

Tu es toujours plus rapide que moi

J'allais proposer un nouveau problème en me limitant aux figures rectilignes . Il me semble que cette nouvelle version pourrait attirer certains lecteurs un peu repoussés par la technicité du cas général .

Je lance ou pas ?

Imod

tu peux !
le problème "discret" (avec que des segments, sans intermédiaires) est déja intéressant en soi.
j'ai essayé vainement d'obtenir des formules sur le nombre de carrés et d'arcs, mais à part quelques cas simples ça me semble déja bien "chaotique" vu que le nombre de trous n'est pas le seul paramètre.

PS
dans ma figure je n'ai représenté que le "squelette" étant bien entendu que les calculs d'aires et périmètres sont bien faits avec des arcs de 1/4 de cercle partout. (configurations "normales")

A propos des transitions continues

si on zoome au voisinage d'une configuration à trou(s) on peut concevoir comment cela évolue pour créer un (nouveau) trou




la courbe CD est le passage continu d'une chaine de 6 vers 7
la courbe AB d'un cycle totalement plat au cycle normal
elles se coupent fatalement quelle que soit leur forme exacte vu qu'elles sont continues.
et donc la transition est d'une chaine de 6 cellules (et pas 7) sur-gonflées à un cycle sous gonflé "légal". (tous les arcs accrochés sur des points entiers)

de même on passe d'un cycle avec une "queue" de 3 cellules au cycle à deux trous.

Il semble de plus en plus évident qu'au delà des cas simples , une réponse précise sera très difficile à obtenir pour une aire donnée . D'un autre côté , la limite  A/L = 3/4 obtenue avec des lignes droites à l'air de convenir même si on accepte des courbes .

Imod

le fait que ce soit courbe modifie légèrement la limite qui devient 0.8 au lieu de 0.75

plus précisément pour les carrés de cycles carrés.