Bonsoir,

je pense même que jusque là, pas de problème

Oui et après on perd forcément un peu de symétrie mais comment ?

Imod

on peut imaginer (ajustements d'aires et de longueurs à l'appui) poursuivre avec :



BT est "en double" pour laisser B à l'extérieur de la frontière
au delà apparait un segment double entre les deux "bulles" en A

il faudrait démontrer que les arcs se raccordent tangentiellement en T ...
et qu'il en est de même pour tous les points de contact ainsi créés

On récupère tout de même au passage pas mal de périmètre avec les segments [BT] en double . On pourrait comparer avec une deuxième fleur dans le prolongement de la première ou encore une chenille .

Imod

je me suis contenté de faire gonfler le "ballon" de départ de façon homogène

un premier essai (à confirmer) montre qu'en partant "en chenille" (ou équivalent) pour une même aire approchée, le périmètre semble plus grand ...
à suivre.

l'essai ne se confirme pas du tout !
j'avais rajouté une bulle de trop dans la chenille par rapport au truc tout boursoufflé.

du coup, à aires réellement égales, la chenille (ou équivalent) gagne.
sans équivoque (L 25 au lieu de 22 pour la chenille)

Il semble qu'en effet on commence par gonfler les 4 feuilles du trèfle mais qu'ensuite on a intérêt à les dégonfler progressivement pour créer une nouvelle bulle .  Le processus semblerait stabiliser à la fin de la création de cette nouvelle feuille qui deviendrait un anneau de la chenille . Ensuite les choses évolueraient régulièrement en ajoutant progressivement des anneaux à la chenille .

Je mets beaucoup de conditionnels car je n'ai aucune certitude .

Imod  

on n'est pas obligé de gonfler les 4 feuilles au départ
on peut viser directement la chenille vu que l'aire et le périmètre sont les mêmes pour les configurations "critiques" (contacts avec les clous)
par exemple :



dans les deux cas on a aire = 5 carrés plus 12 segments de cercle
et périmètre = 12 arcs de cercle élémentaires.
à chaque 'étape" on peut ajouter un carré + arc(s) "sur" n'importe quel arc élémentaire "libre"

entre ces configurations extrêmes, ... on peut dégonfler certains arcs pour en gonfler d'autres "de façon continue" à aire constante
et reste à voir ce que l'on gagne ou pas sur le périmètre.

Il y a deux petites choses qui me gênent  .

La première concerne l'évolution de la situation quand on arrive à 8 bulles par exemple car en les disposant en cercle on peut réduire le nombre d'arcs à aire constante .

La deuxième est sans doute plus délicate : que se passe-t-il entre deux des étapes clés ?

Imod

Bonsoir,

L'analogie avec la physique de la bulle de savon est tentante puisque pour un volume donné d'air en interne celle-ci prend la forme qui minimise son énergie de tension superficielle en minimisant sa surface de contact avec l'air.
Reste à transposer en 2D en imaginant ce que serait une bulle en 2D qui voudrait minimiser son périmètre pour une surface d'air donnée, avec des conditions aux limites qui sont que les points entiers sont des points de contact. Je serais donc tenté par une approche type "équation aux dérivées partielles".

En testant quelques idées naïves (carré etc...) je me rends compte que pour des grandes valeurs de N, il semblerait (?) qu'il est difficile d'avoir une surface (en unité^2 ) plus grande que le périmètre (en unité).

Bonne soirée

on "remarque" que en dégonflant une bulle pour en gonfler une autre, à périmètre constant l'aire diminue.



quant au quadrille à trou, c'est une excellente idée !
on obtient donc à partir de 8 un tapis de tels quadrilles à trous avec quelques "excroissances" avant d'atteindre le prochain quadrille

Ma deuxième question concernait surtout les situations "intermédiaires" , par exemple pour une aire A = 5 . Il y a sans doute plusieurs configurations et je crains que le calcul du périmètre dans ce cas soit plutôt difficile .

D'autre part , on voit sur l'illustration de la quadrille à trou que la physique ne répond pas complètement au problème .

Imod

pour les aires intermédiaires je pense avoir répondu à la question le 22-05-24 à 22:38

A propos des aires intermédiaires

le raisonnement précédent était à partir d'une aire extrême
il est faux pour une aire intermédiaire
on a effectivement intérêt à répartir le gonflement sur plusieurs arcs.
en effet si je fais varier deux arcs en gardant la longueur totale constante, l'aire maximale est lorsque ces deux arcs mis bout à bout forment un cercle (résultat connu !)
inversement pour une aire donnée le périmètre sera minimal lorsque les deux arcs seront des portions d'un cercle de cette aire là s'appuyant sur deux points de base



répartir sur plus de deux arcs est galère ... mais c'est le même principe.

C'est bien ce qui me semblait

D'un autre côté on a déjà un cadre solide pour les positions "étapes" . Le périmètre est alors constitué de quarts de cercles de longueur et l'aire de carrés d'aire 1 accompagnés de segments circulaires d'aire .  Pour ces positions le périmètre est clairement défini à partir de l'aire . Entre ces positions le périmètre va croître continûment en fonction de l'aire mais de quelle façon ?

Imod

partons du départ : le disque touchant juste les 4 premiers clous

gonflons ...
il est clair que jusqu'à avoir 4 demi cercles , on a intérêt à gonfler équitablement.

mais ensuite on a intérêt à dégonfler l'un pour gonfler l'autre au fur et à mesure que l'aire augmente
(comme déja dit équilibrer 4 arcs c'est galère, ici je n'en équilibre séparément que deux paires d'arcs)
jusqu'au moment où on a 4 autres clous
etc



(l'animation, est pilotée par la position du centre de l'arc de droite, on en déduit l'optimum puis l'aire et la longueur.

Je comprends le problème mais je ne suis pas sûr qu'il y ait autant de paramètres à gérer . Si on laisse de côté les "trous" qui compliquent "un peu" le travail , on peut supposer que les anneaux sont sur une ligne et alors il ne "reste" alors qu'à comprendre ce qui se passe sur la longueur et la largeur de la chenille . Après il faudrait intégrer les "trous" au modèle mais on ne peut pas tout faire à la fois

Imod

gérer les trous revient à replier sur elle même une chenille "assez longue"
ce qui fait diminuer son périmètre de deux arcs, mais aussi son aire de ces mêmes deux arcs
à aire constante, cela se produit bien avant que les arcs linéaires "équitablement gonflés" n'atteignent les clous :



donc le périmètre en fonction de l'aire est avec des "marches" à chaque fois qu'on peut replier ainsi la chenille pour former un nouveau trou.
on passe ici en franchissant l'aire = 10.28319 brusquement de la longueur 17.87 à 17.77 en repliant la chenille.

si la chenille est "suffisamment longue" en augmentant la surface répartie tout autour on atteint le seuil où la surface ajoutée équivaut à un anneau supplémentaire avant que cela n'atteigne les clous. et même avant que le dégonflage partiel soit nécessaire.
ce dégonflage n'est utile que au début quand la chenille est "assez petite".
sinon on augmente tout autour équitablement sans état d'âme jusqu'au moment où on peut ajouter un anneau.
ce qui là aussi provoque une diminution brutale de la longueur
(on ne touche que aux arcs "libres" en cas de chenille repliée)

Je suis entièrement d'accord qu'il faut répartir équitablement l'augmentation de périmètre sur chaque arc et je ne vois pas pourquoi il faudrait arrêter cette répartition à un moment donné . J'ai sans doute mal compris ton idée quand tu dis que le périmètre diminue d'un coup , il est clairement croissant avec l'aire .  Pour ce qui est de la répartition des efforts pour le périmètre , je ne suis plus sûr que les "trous" fassent une grosse différence : chaque carré participe avec deux de ses arcs :



Imod

Pour une aire donnée il y a plusieurs configurations différentes avec des périmètres différents

on choisit toujours ("quoi qu'il en coute") celle qui donne le plus petit périmètre pour avoir la fonction globale périmètre minimum = f(Aire)
(l'énoncé dit pour une aire donnée on veut le périmètre minimal)

d'où les "marches" (fatalement descendantes) dans cette fonction quand on doit passer d'une configuration à une autre de même aire et de périmètre inférieur.

voir mon dernier graphique

d'autre part des trous plus grands n'offrent aucun intérêt pour avoir le périmètre minimal en fonction de l'aire.
je n'ai pas tellement l'intention de faire une animation démontrant l'intérêt de replier la chenille en anneau serré le plus tôt possible et à chaque fois que possible, montrant la marche descendante qui correspond sur la fonction périmètre_min(aire)
les valeurs numériques de ma figure statique du 23-05-24 à 15:49 me semblent suffisantes pour le prouver.

erratum !

pour supprimer les décrochements il faut changer de configuration plus tôt, avec dans la nouvelle des arcs plus dégonflés que un cercle remplissant le carré
et donc qui se traduit par un cercle de même aire ne touchant pas encore les clous !

bref beaucoup plus compliqué ...
à suivre

la mise à jour de ce cas de la bulle initiale et sa transformation brusque en 2 bulles "dès que possible" (dès que la longueur des deux bulles devient inférieure à celle de la bulle "boursouflée")
comme attendu la double bulle est plus petite que les prochains clous.



et ceci se produit avant (ouf !) que l'on soit amené à dégonfler les arcs de façon dissymétrique comme dans le cas précédent

l'avantage de tout ça est que désormais il n'y a plus de saut sur la longueur en fonction de l'aire mais un simple changement de pente pour cause de changement de configuration (au X vert)

et ce jusqu'à ce que la nouvelle double bulle atteigne les clous et se sépare en 6 arcs que l'on gonflera etc ...

le même genre de phénomène se produit pour le passage de la chenille à l'anneau serré sans saut (mais avec un anneau qui ne touche pas encore les clous !)

la double bulle qui devient brusquement une triple bulle, avec toujours à cet instant la triple bulle ne touche pas encore les clous.

Si on récapitule , il me semble que l'étude est quasi-complète ( il ne manque que les calculs ) .

1°) Les étapes clés sont celles où le périmètre n'est constitué que de quarts de cercles et l'aire de carrés et des segments circulaires associés . Il faut tout de même être attentif à l'apparition de bulles tous les 5 carrés à partir du huitième .

2°) Entre deux étapes clés le périmètre évolue linéairement en fonction de l'aire ( pas sûr ) et se répartit équitablement entre les arcs .

Imod

tu as raté les étapes intermédiaires où on passe de n anneaux surgonflés à n+1 anneaux sous gonflés



à l'aire 2.51 les deux anneaux sous gonflés (ne touchent pas encore les clous) ont un périmètre inférieur a un seul anneau surgonflé, pour la même valeur de l'aire

de même à Aire 3.95 où on passe de 2 anneaux surgonflés à 3 anneaux sous gonfles
etc.

et pareil d'ailleurs plus loin pour passer de 7 anneaux surgonflés à un cycle (avec un trou) de 8 anneaux sous gonflés (ne touchant pas encore les clous)
puis encore plus loin pour passer de 1 cycle avec une "queue" à deux cycles etc

à équivalence près car on peut "tordre" une chaine d'anneaux ou la ramifier sans en changer ni l'aire ni le périmètre.
donc effectivement je pense qu'on a fait le tour de la question, à part les calculs des valeurs clés que l'on souhaiterait calculer (des équations à la sin(x) = P(x)) au lieu de les les "ajuster" avec Geogebra ...

Nota :
pour les trois anneaux sous gonflés, les petits arcs complètent les grands pour former deux cercles exacts (de diamètre puisque ne touchent pas les clous)

En effet dès qu'on change le nombre d'arcs , la charge sur le périmètre se répartit différemment ( changement de pente ? ) . Pour le problème des boucles , on augmente l'aire sans changer le nombre d'arcs de cercle mais en incrémentant le nombre de carrés . J'ai du mal à croire que le périmètre puisse baisser dans cette transition ( peut-être stagner à un moment ? ) .

En attendant , une formule donnant le nombre d'arcs n en fonction du nombre de carrés c pour c>2 : .

Imod

le périmètre ne baisse pas, on a une fonction continue et monotone avec changement de pente :
vue exagérée au voisinage d'une transition.


avant la transition, le périmètre des n anneaux surgonflés est inférieur au périmètre de n+1 anneaux sous gonflés pour la même aire
après c'est le contraire.

Il me semble que les points de transition sont assez facile à repérer , c'est lorsque la longueur des arcs de la position initiale est la même que celle de la figure finale limitée à ses carrés .



Imod

visiblement non !! (les deux figures n'ont pas même aire !)

erratum sur le 23-05-24 à 15:49 :

ceci était en supposant arriver au cycle "rempli", touchant tous les clous

mais bien avant cela une chenille à seulement 6 anneaux "surgonflée" devient de périmètre supérieur à un cycle de même aire sous gonflé



la transition se produit à une aire d'environ 8.8
au dela de cette aire, le cycle a un périmètre inférieur pour une aire égale (!!) et on continue à le gonfler, lui, jusqu'aux clous, puis au delà.

Tu vas bien trop vite pour moi  

En regardant l'illustration que tu proposes , on passe de 6 à 8 carrés tout en ajoutant une boucle  . Je m'enferme peut-être dans un mauvais cadre en me basant sur les carrés occupés .

Imod

Je voulais dire complètement occupés .

Imod

amélioration du cas 1 anneau -> 2 anneaux (cf 23-05-24 à 20:42)

si on déséquilibre les deux arcs des deux anneaux, à aire égale on obtient un périmètre inférieur, donc la transition a lieu plus tôt
(aire = 2.474 au lieu de 2.51 précédemment)



Aire = 2.473635
L = 6.08894405 alors que L = 6.08894406 pour un seul anneau gonflé. de même aire

c'est ça l'erreur : opérer une transition trop tard vers des anneaux entièrement occupés
cela conduit aux escaliers précités (c'était comme ça que je faisais au début, à tort)

et puis ne pas oublier que on a toujours la règle de base :
à aire égale, le périmètre minimum est pour un (arc de) cercle
donc un carré borné par des segments de droite n'a pas le périmètre minimum par rapport à un cercle de même aire que le carré.

tout le problème est là il faut comparer les périmètres de figures de même aire. pour décider quelle est la meilleure dans l'objectif :

Je n'ai pas ta facilité à illustrer et mes figures ne reflètent pas toujours très bien ce que je veux dire .  Il me semble en plus que je n'ai encore pas vraiment en tête ce qu'est une fin d'étape . On pourrait peut-être les définir simplement à partir du nombre de carrés complètement occupés ( il ne peut que progresser ) .  Après il peut y avoir des épisodes entre le début et la fin d'une étape . La première étape se termine avec un disque d'aire   . Quelle sera la fin de la deuxième étape , de la troisième ... ?

Plus simplement , il n'y a à priori aucune raison qu'une étape se termine avec un périmètre constitués de quarts de cercles . D'un autre côté on ne voit pas pourquoi ces arcs seraient différents .

Imod

c'est là toute l'astuce !
il y a deux sortes de positions :
les "étapes normalisées" formés d'arcs de cercles circonscrits aux carrés
et entre ces étapes deux sortes de positions intermédiaires avec le même nombre d'anneaux :
- avec des arcs "sous gonflés" par rapport à cette position normale (Avant d'atteindre la position normale)

- avec des arcs sur gonflés par rapport à cette position normale (pour continuer à augmenter l'aire)

et il y a des points de basculement entre une configuration surgonflée vers une configuration sous gonflée avec une cellule de plus

j'ai illustré ces points de basculement de 1 cellule vers deux cellules et de 2 cellules vers 3 cellules
en variant l'aire de façon continue, la topologie change brusquement pour poursuivre, avec une variation continue du périmètre minimum
(illustrée par 24-05-24 à 10:18)

je donnerais des détails sur mes calculs et constructions plus tard
en attendant :

l'amélioration du passage 1->2 peut aussi se faire au passage 2->3 avec une transition à 3.93 au lieu de 3.95
cf 23-05-24 à 23:13 et 24-05-24 à 09:24



ici les arcs bleus sont gonflés à leur valeur "nominale" (arcs du cercle circonscrit au carré) et seulement les arcs rouge sont sous gonflés
Nota : ces deux paires d'arcs forment deux cercles, garantissant le périmètre minimum pour cette aire imposée.

moralité : on a intérêt à gonfler au maximum des arcs sous gonflés quitte à ce que d'autres soient encore plus dégonflés.

J'ai un peu de mal à rentrer dans ce schéma mais à la réflexion , il n'y a aucune raison que le carré central joue le même rôle que les deux autres . Il y a tout de même dans ton dessin une dissymétrie qui me gène , je n'aurais pas colorié les arcs de la même façon

Imod

la dissymétrie est choquante mais c'est le prix pour avoir un périmètre minimal pour cette aire donnée !

raisonnons déja sur le passage de 1 cellule à 2 cellules
je remets l'animation mise à jour :

on part de la position normale (le cercle circonscrit au carré) en en gonflant les arcs progressivement
il y a un problème si les arcs deviennent des demi cercles,
ce problème est important mais comme de toute façon on va s'arrêter avant, n'en parlons pas .

avec la même aire, si elle est suffisamment importante, on peut répartir la même surface couverte sur deux cellules mais partiellement remplies
le périmètre minimal serait un disque
si on essaie de glisser ce disque dans le réseau il est "étranglé" entre deux clous et prend la forme d'un "haricot"
on pourrait penser que ce haricot serait symétrique, une moitié dans chaque cellule
mais en vrai il a "tendance" à avoir le plus grand "rayon" possible, donc à "remplir" d'abord une cellule et en débordant sur l'autre :



l'aire noire est égale à l'aire rouge.
mais la fonction "périmètre en fonction de l'aire" est différente pour chacune !
au départ, dès que l'aire est > la position normale, le périmètre noir est inférieur au périmètre rouge
ces deux fonctions se croisent de sorte qu'il y a un moment où en augmentant l'aire, avec toujours aire noire = aire rouge, le périmètre noir devient plus grand que le périmètre rouge

il faut donc "basculer" vers la configuration à deux cellules qui devient dès à présent meilleure.

ceci se produit significativement avant que les arcs noirs deviennent des demi cercles.

mais ces deux cellules ne sont pas encore remplies
en augmentant encore l'aire on va finir par remplir les deux cellules pour atteindre la position "normale" à deux cellules,
puis ensuite on continuera à "gonfler"etc ...

Je ne suis pas sûr que nous ne parlions pas de la même chose sous un angle différent . Le périmètre en rouge de ton dernier dessin n'est-il pas celui d'un rectangle 2X1 ?

Imod

pas du tout.
le périmètre à la transition est de 6.089 > 6

_{valeur de périmètre déja fournie d'ailleurs.}

et puis lorsque le périmètre rouge vaut 6.00000, alors (pour la même aire) le périmètre noir vaut 5.9794 et donc la configuration noire est meilleure.
(pour une aire d'ailleurs de 2.4187 > deux carrés)

Je viens de comprendre ce qui m'empoisonne depuis un moment et qui brouillait tes messages .  En laissant les "trous" de côté la figure reste toujours symétrique mais les fins d'étapes ne sont pas là où je les avais placées . C'est le nombre d'arcs qui doit servir de compteur , voilà une transition :



Chaque transition déplace l'axe de symétrie vertical ce qui rend l'évolution un peu chaotique et difficile à voir .

Après il faudrait voir comment gérer les trous car un nouveau trou n'augmente pas le nombre d'arcs .

Imod

comme expliqué on doit faire une transition dès que possible pour avoir à tout instant le périmètre minimum pour cette aire là
en particulier pour la création de trou qui arrive bien plus tôt qu'on ne pense
(cf 24-05-24 à 12:00)
effectuer la transition plus tard va donner un périmètre en marche d'escalier :


en bleu la fonction Périmètre (Aire) pour n cellules
en rouge la fonction Périmètre(Aire) pour n+1 cellules (ou un cycle avec un trou supplémentaire)
en gras la fonction retenue P_min(Aire)

et tous les intermédiaires donneront aussi une marche.

C'est certainement de ma faute mais plus tu expliques et moins je comprends

Tu laisses pour moi trop de non-dits . Il est clair qu'il y a des étapes à définir et qu'il faut changer de paradigme le plus tôt possible , mais en fin de compte on fait quoi ?  Sur mon image précédente on passe de 4 à 6 arcs et bien sûr les deux carrés ne sont pas remplis . Ensuite on gonfle les arcs jusqu'au nouveau point clé qui va faire basculer la position en ajoutant deux arcs . On doit pouvoir laisser de côté le problème des trous un moment car trop c'est trop

Imod

la position vers laquelle on bascule de "1 carrés" à "deux carrés" ne doit pas être symétrique .
à aire égale la position symétrique a un périmètre plus grand que la position dissymétrique. cf 24-05-24 à 20:27

et cette bascule ne change pas le nombre d'arcs
4 arcs avant 3 + 1 = 4 arcs après
elle change juste "brusquement" la forme de la figure.
des arcs trop gonflés (noirs) se dégonflent brusquement au profit d'un seul qui gonfle d'un coup.

ce changement brusque est une étape en soi.

c'est seulement quand on aura atteint les deux carrés remplis, autre étape, qu'on ajoutera deux arcs et qu'on retrouvera une symétrie.

les étapes, dans leur principe sont repérées par tous les traits bleus dans

(même si des améliorations ont eu lieu entre temps avec des dissymétries et donc des valeurs numériques différentes, c'est toujours valable)

J'ai tout relu à tête reposée

Je comprends un peu mieux l'évolution du ballon quand l'aire augmente mais il y a encore des passages qui me grattent au niveau des changements de paradigmes . Dans le cas le plus simple  :  on doit ajouter un arc dont le centre n'est pas dans le premier carré . On bascule clairement dans une nouvelle configuration :



Pourquoi ne pas équilibrer en gonflant brusquement la présence du ballon dans le nouveau carré pour la rendre semblable à celle du précédent ?

Imod

ce qu'on demande est pour une aire donnée le périmètre minimal
il n'y a aucune raison de faire un saut sur les valeurs de l'aire donnée

ce que l'on étudie c'est les variations du périmètre (minimum) et de la configuration correspondante en fonction (continue) de l'aire.

Le périmètre est une fonction continue (strictement croissante) de l'aire
la configuration ne l'est pas.
il y a des valeurs de l'aire où la configuration doit changer brusquement si on veut continuer à augmenter l'aire à périmètre minimum.

quant aux symétries et à l'équilibrage ou pas des arcs c'est un leurre
rien ne permet d'affirmer que pour une aire donnée le périmètre minimum est ou pas avec une configuration symétrique ou régulière.
cela se détermine au cas par cas pour chaque valeur de l'aire.

le résultat est :
pour l'aire dans l'intervalle ]pi/2 , S[, S 2.47..., (bornes exclues) le périmètre minimum est pour une configuration symétrique



pour l'aire dans l'intervalle ]S , 3pi/4 +1/2[ (bornes exclues)
le périmètre minimum est pour une autre configuration dissymétrique



pour aire = S les deux configurations donnent exactement la même aire (!!) ET le même périmètre.
les limites du périmètre quand l'aire tend vers cette valeur à gauche ou à droite sont les mêmes, la fonction périmètre en fonction de l'aire est continue.

D'accord , j'ai "enfin" compris là où le bât blessait

En partant des arcs rouges , si on équilibre la figure en conservant l'aire , on augmente nécessairement le périmètre . Ce n'est pas évident au départ .

Imod