Bonjour,

des petits dessins dans les différents cas permettent de comprendre que si la bille émerge, V(x) > V(7)


etc

remarquer que V(x) - V(7) s'annule (évidemment !) pour x = 7 et donc on peut mettre (x-7) en facteur

v(x) = 4/3π (150x - x³ )
V(7) = 4/3π (150*7 - 7³ )

pour factoriser, le mieux est de ne pas effectuer les multiplications mais de commencer à factoriser tout de suite :

V(x) - V(7) = 4/3π*[150(x-7) - (x³-7³)]

chercher alors à factoriser x³ - 7³ = (x-7)(ax²+bx+c)

nota :
éviter formellement d'écrire 150 x 7 pour dire 150 multiplié par 7 car confusions avec la lettre x
on utilise * pour dire multiplier

bonjour,

" chercher alors à factoriser x3 - 73 = (x-7)(ax2+bx+c)  "


x³-7³ = (x-7) (x² +7x -101)   ?



je ne sais toujours pas trop comment expliquer pour la question a) ?

si tu développes ta factorisation, tu obtiens un terme constant =(-7) * (-101) = 707 ≠ -7³
elle est donc fausse
comment l'as tu obtenue ?

la question a) c'est comme j'ai dit et comme le dessin le montre "à l'évidence" :
si le niveau d'eau, de volume V(7), est au dessous, (la bille dépasse) alors il y a dans V(x) un volume en plus de V(7), au dessus du niveau de l'eau, donc V(x) > V(7)

si la bille est immergée il y a de l'eau en trop au dessus de la bille et V(x) < V(7)

bonjour,

j'essaie de factoriser avec un logiciel car je ne sais pas trop comment faire à la main.
je suis entrain de faire la méthode avec factorisation du 3ème degré mais sans succès puisque je bloque ...

voilà ma recherche pour le moment :

(x-7) (ax²+bx+c) [ je développe tout ça ]
x³ - 7³       =ax³+bx²+cx -7ax² -7bx - 7c


oui je trouvais aussi une constante lorsque je re-développe la factorisation


du coup pour la question a)

Le problème revient à étudier v(x)-v(7) car en faisant la différence on peut trouver à quelle hauteur la bille v(7) ou la bille v(x) se trouvera ? sous l'eau, sorti de l'eau ?

c'est normal qu'on trouve un des termes constants en redéveloppant
ce qui ne l'est pas est que ça doit donner la même chose à gauche (-7³) et à droite (-7)*(-101) ce qui n'est pas.

factoriser avec un logiciel :
sans doute n'as tu pas demandé de factoriser x³ - 7³ mais V(x) lui-même ? (ce serait tout de même faux ..., erreurs de signes)
et donc ce n'est pas juste x^3 - 7^3 qui serait égal à (x-7) (x^2 +7x -101)

ta méthode marteau pilon marche mais il faut absolument réduire
c'est à dire regrouper les termes en x^2, etc
(j'écris ^ pour "exposant" car un vrai exposant par le bouton X² n'est pas copier-collable de message en message et il faudrait le retaper à chaque copie)

x^3 - 7^3 = (x-7)(ax^2 + bx + c) = ax^3 + bx^2 + cx - 7ax^2 - 7bx - 7c
= ax^3 + (b-7a)x^2 + (c-7b)x -7c

on écrit alors que c'est la même chose que x^3 - 7^3
c'est à dire que le coefficient de x^3 est le même des deux côtés, que a = 1
que le coefficient de x^2 est le même des deux côtés , que b-7a = 0
(car il n'y a pas de termes en x^2 dans x^3 - 7^3,
0*x^2 pourrait on dire)
etc

autre méthode un peu moins bourrin :
on essaie de faire apparaitre des (x-7) petit à petit
x^3 - 7^3 = x^2(x-7) + 7x^2 - 7^3 (on compense le x^2 * (-7) en trop)
= x^2(x-7) + 7x(x-7) + 49x - 7^3 etc

pour la question a, on ne peut pas trouver directement la hauteur (c'est trop compliqué, volume de calottes sphériques) mais par contre on peut dire si elle est sous l'eau ou si une partie dépasse

plus explicite sur ce qu'est V(x) et V(7) sur mon dessin :

V(x) c'est la partie bleue (= V(7)) plus la partie rouge (du vide au dessus de l'eau)

et savoir si V(x) est > ou < V(7) c'est étudier le signe de V(x)-V(7)

Bonjour,

j'ai du mal avec la factorisation...
voilà ce que je suis arrivé pour le moment :

Sachant que x³ = 1 et a = 1
alors b-7a = 0
avec b-7x1 = 0
b -7 =0
b = 7

donc on a , a = 1 et b = 7
ce qui fait déjà  = (x-7) (x²+7x +c )
avec c = 49 car  
c-7b = 0
c -7x7 = 0
c = 49

du coup ça fait

(x-7) (x²+7x +49 )

?

Bonjour,

je ne fais que passer,

mathafou : quelque chose m'échappe

explications vaseuses mais résultat final juste
Sachant que x³ = 1 certainement pas

le coefficient de x^3 est 1

b-7x1 = 0

déja dit que on ne doit pas utiliser "x" pour dire multiplier

b -7*1 = 0
c= 49

pour valider la démonstration il faut aussi vérifier le dernier coefficient
que -7³ = -7*c = -7*49, (ouf c'est vrai !)

donc maintenant on termine la factorisation de
V(x) - V(7) = 4/3π*[150(x-7) - (x³-7³)] = 4/3π*[150(x-7) - (x-7)(x²+7x +49)] = 4/3π (x-7)[ ... ]

Pirho
parce que l'identité remarquable a³ - b³ = (a-b)(a² + ab + b²) n'est pas sensée être connue ...

si elle l'était, je suis d'accord avec toi et ça s'écrit directement.

au temps pour moi, merci

il l'étudie en terminale alors?

peut être, ou pas ...
(sous forme d'exercice ou de question "au passage" dans un exo plus vaste)

Bonjour,

je ne comprends pas pour la suite.
On nous demande de étudier le signe ce qui vient logiquement d'utiliser la forme factoriser qui est le pôlynome sauf que si je finis la factorisation j'obtiens :

v(x) - (v7) = 4/3  π [ 150 (x-7) - [ (x-7) (x²+7x+49)]
                     = 4/3  π [ 150 (x-7) - [ x³ +7x² +49x - 7x² -49x -343]

après simplification on obtiens :

                   = 4/3  π [150 (x-7) - [ x³ -343]
                   = 4/3  π[150 (x-7) - x³ +343 )

ce qui ne reviens à rien pour étudier le signe de v(x) - v(7) car il faut faire un tableau de signes... ?

que ne comprends tu pas dans le mot "factoriser" ??
(et ne pas recopier de travers des parenthèses fausses)
ce que j'avais écrit :

                   début de cette parenthèse    fin de cette parenthèse
                    [                            ]
v(x) - v(7) = 4/3 π [ 150 (x-7) -(x-7) (x²+7x+49)] 

                                  ouverture de parenthèse en trop qui ne rime donc à rien
                                  |
v(x) - (v7) = 4/3 π [ 150 (x-7) - [ (x-7) (x²+7x+49)]

Bonjour,

donc je m'arrête  à ça :

v(x) - (v7) = 4/3 π (x-7) (x²+7x+49)] ?

je suis d'accord avec vous que en developpent ça fait que tourner en rond mais je n'avais pas compris "finir la factorisation".

mais le 150 (x-7) va où ? je ne peux pas passé de ça :

v(x) - (v7) = 4/3 π [ 150 (x-7) - [ (x-7) (x²+7x+49)]

à ça : v(x) - (v7) = 4/3 π (x-7) (x²+7x+49)]

enfin peut-être pour vous ça vous paraît "bidon" mais moi je ne vois pas trop comment ou pourquoi ...

mais non !!!

un exercice sur la factorisation

v(x) - v(7) = 4/3 π (x-7) [ 150 - ( x²+7x+49) ]
v(x) - v(7) = 4/3 π (x-7) [ 150 - x² -7x -49) ]
v(x) - v(7) = 4/3 π (x-7) [ - x² -7x +101 ) ]

?

voui, c'est ça
au passage on peut écrire ça sous la forme
v(x) - v(7) = 4/3 π (7-x) [ x² +7x -101 ]
pour éviter de perdre un signe moins au passage

et c'est presque (erreur de signe 7-x au lieu de x-7) ce que disait "le logiciel" à 13h11 d'ailleurs !
d'où ma remarque de 14h03 que cette factorisation "au logiciel" serait celle de l'expression complète et pas seulement de x³ - 7³

Il reste donc à faire un tableau de signes de ça, et donc entre autres d'étudier le signe du trinome x² +7x -101 (cours) : Delta etc

Bonjour,

"Il reste donc à faire un tableau de signes de ça, et donc entre autres d'étudier le signe du trinome x² +7x -101 (cours) : Delta etc "
- x² -7x +101 moi je trouvais ça. Pourquoi remettre x<sup>[/sup] + 7x - 101 ?


j'ai déjà fait un tableau de signes :
le voici
tout d'abord les résultats :

delta = 453 car 49 - 4 * (-1) x 101 = 453
donc il y a deux solutions :

x1 = 7 + √453
         -------------
                   - 2

x2 = 7 - √453
          -----------
              -2


soit le tableau de signe le suivant :

x                           '                 0                         7                             7.14 ou x2                           10
                              ' -----------------------------------------------------------------------------
                              '
4/3 π (x-7)       '             +                             0                      -                                                 -
-----------------------------------------------------------------------------------------------
-x[sup]2</sup>-7x+101 '   -                                           -                 0                    +
-------------------------------------------------------------------------------------------------
v(x) - V(7)       '          -                                    0                 +                    0            -


?

lorsque x < 7 alors x-7 est positif ?? tu es sûr ?
réviser aussi le signe du trinome :
le trinome est "du signe de a" où ça ?
quel est le signe de "a" de -x²-7x+101 ?

nota : dessiner en texte est une quasi gageure
on est obligé de faire des aller-retours entre l'aperçu et la saisie jusqu'à ce que ce soit bon
ce n'est pas garanti selon le système de celui qui rédige et le système (différent à priori) de celui qui lit

attention aussi aux balises [ sup][ /sup] détruites ou mal placées :
là aussi faire Aperçu avant de poster est nécessaire.

Bonjour,

"quel est le signe de "a" de -x²-7x+101 ? "

comme a est négatif on a - + -
et comme l'autre racine n'entre pas dans le tableau enfin dans l'intervalle on a donc - - et +

ce n'est pas ca ?

comme a est négatif on a - + - oui

mais pourquoi donc alors avoir écrit - - + dans le tableau sur la ligne du trinôme ?
où est x1 ? (en dehors du tableau certes, mais de quel côté ?)

et pour x-7 ??

auto vérification rapide et quasiment obligatoire : pour x = 0, c'est facile de calculer les signes de tout ça ...

Bonjour,

x1 a une valeur de -14.14
ce qui n'entre pas dans l'intervalle demandé par l'énoncé d'où mon tableau qui encadre entre 0 et 10
avec x - 7 = 0 , x = 7 comme vous pouvez le voir dans le tableau,
ensuite 7.14 comme vous pouvez le voir ou écrit à côté x2

tu n'as pas répondu au questions ni fait ce que j'ai dit

signe correct de x-7 ?? (ce que tu as écrit dans le tableau est faux)
signe correct de -x²-7x+101 (ce que tu as écrit dans ton tableau est faux

valeur directe (sans aucune "théorie") du signe de x-7 lorsque x = 0 (pour vérifier le tableau)
valeur directe du signe de -x²-7x+101 (idem pour vérifier le tableau)

remplir correctement le tableau
en étant déja simplement cohérent entre ce que tu écris dans le tableau et ce que tu calcules et dis:
tu dis -+- (juste) et tu écris (+) - + (faux) !!



puis ensuite seulement supprimer la partie hachurée x <0
ça t'évitera de te mélanger les pinceaux dans les signes des différents intervalles !
voire même de les identifier correctement ces intervalles...

j'ai oublié que il faut aussi supprimer (après coup) la partie > 10

Bonjour,

mais ce n'est pas que x-7 mais 4/3 PI (x-7) non ?

tableau désormais correct


ça ne change rien du tout aux signes de multiplier par une constante positive 4/3 pi !

et il n'y a aucune raison de faire figurer le 4/3 pi dans le tableau sauf à expliciter en détail V(x) - V(7) :

V(x) - V(7) = 4/3 π (x-7) (-x²-7x+101)

trois facteurs :
4/3 π une constante dont il est bien inutile de faire figurer le signe dans le tableau
le facteur (x-7)
le facteur (-x²-7x+101)

merci beaucoup pour votre aide !

encore quelque chose :

Pour x appartenant à ]0 ; 7 [ la bille est sous l'eau
Pour x appartenant à ]7 ; - 7 + racine de 453 / 2 [  la bille sort de l'eau
Pour x appartenant à ]- 7 - racine de 453 / 2 ; 10 [ la bille est sous l'eau

?

c'est bon.

à condition d'écrire (- 7 + racine de 453) / 2
parenthèses (ajoutées ) obligatoires car "/" est une opération de division et pas du tout une barre de fraction, (de quelle longueur ???)
opération donc soumise aux règles de priorité des opérations (on effectue la division avant la soustraction en l'absence de parenthèses)
règles d'écriture absolument obligatoires quand on écrit ici

ou alors utiliser le LaTeX, mais ça reviendra au même vu qu'il y aura des accolades en LaTeX ...)

oui, excusé moi pour les parentheses, c'est tellement pas pratiques ...

merci à vous !

oui, c'est vrai mais je veux dire pas trop pratique dans les forums mais malgré cela j'essaie de les mettres ( les propriétés ).

Merci encore pour votre aide !