des outils de première

Je donne ma langue au chat ( Non pas a Socrate )

Bonjour Solay,
Une démonstration qui n'utilise que des outils de 2nde ou de 1ère peut être difficile à trouver
Le niveau "Énigme" dans le forum "détente" est fait pour des questions un peu tordues dont l'auteur connait une solution.

En fait, j'espère un peu qu'une solution plus élégante que la mienne puisse émerger.

Bonjour Sylvieg

Apres 2 heures d'essaies, aucune réponse :[.

Par contre, je suis bien curieux de connaitre votre réponse.

Une réponse tarabiscoté (mais qui pourrait peut-être s'arranger). Je note et .

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On a alors . La condition équivaut donc à

Puisque (positivité du discriminant), on a
.
Au vu de l'inégalité (1), on en déduit .
Il reste à démontrer que , ce qui équivaut à

On sait déjà que . Par ailleurs, en utilisant et :
.
L'inégalité (2) est donc démontrée.

En prime, un petit crobard dans le plan :

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@GBZM,
Ta réponse est moins tarabiscotée que la mienne pour le début

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Poser s et p, permet de faire apparaître la factorisation par (a+b-2) beaucoup plus naturellement que sans !
J'aurais pu y penser, vu la symétrie.
La suite peut s'arranger en transformant 2(9c-18). La positivité du second facteur apparaît assez facilement.

Une réponse après de longues cogitations

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A partir de l'identité



On transforme l'équation en .

En traçant le graphe on voit qu'on a une droite de pente = -1 plus une bosse.
On change de coordonnées pour avoir une pente = 0 (avec un zoom pour simplifier les calculs):



L'équation devient:



Le graphe et l'énoncé nous pousse à une translation verticale :

On développe et simplifie et on obtient l'équation:



On factorise et on reconnait un carré parfait pour obtenir:



Le terme entre crochet est strictement positif, on peut donc diviser des deux côtés:



Puisque C > 2, le membre de droite est strictement positif. Donc

Au dénominateur on a . Donc

CQFD

(LittleFox : petite incursion qui n'a rien à voir avec le sujet... mais je t'avais répondu le 9 à 17:35 dans le problème "payez pour nous )

@matheuxmatou
Effectivement, ça n'a rien à voir avec le sujet :p
En relisant les messages, je crois que j'étais surtout fatigué et je vois bien que tu n'as pas cherché à m'ennuyer.
La solution avec les fonctions génératrice me semble vraiment bien mais hors de portée n'ayant j'amais appris les fonctions génératrices. Par exemple, je n'ai aucune idée de comment décomposer en éléments simples.
J'ai cru pouvoir les utiliser pour calculer le nombre de sommes impossibles mais je n'y suis pas arrivé. Nombres inatteignables
Du coup, je n'avais rien à rajouter.
Mais je ne t'en veux pas (plus ).

@Solay,
Je ne t'oublie pas.
Ci-dessous, les étapes de la démonstration de 2 < a+b inspirées de la méthode de GBZM.
Poser E = a³ + b³ + 6ab - 8 . On sait que E > 0 .
E est symétrique en a et b. C'est à dire que E est inchangé si on permute a et b.
Après le bac, on apprend qu'une expression symétrique en a et b peut s'exprimer avec a+b et ab .
Pour a³ + b³ , on peut l'obtenir en observant (a+b)³ :
(a+b)³ = a³ + b³ + 3ab(a+b)

En notant s = a+b et p =ab , vérifier que
E = s³ - 3sp + 6p - 8 .
Factoriser E par (s-2) .
Soit F le second facteur.
Démontrer s² 4p .
En déduire F 0 puis (s-2) > 0 .

@LittleFox,
La seconde partie de ta démonstration ressemble à ce que j'avais fait.
J'avais aussi factorisé 9C-18 par (a+b)-2 .
Puis écrit 2(9C-18) comme produit de (a+b)-2 par une somme de carrés.

Cependant, un point me semble à préciser :
Le pourquoi du strictement dans

Merci pour votre réponse mais.. y aurait-il une méthode de réflexion qui vous aurait permis de trouver la factorisation par s-2 ?   

A vrai dire, j'ai pas mal galéré pour trouver la factorisation par a+b-2.
Je n'avais pas pensé à introduire s et p comme l'a fait GBZM.
Ça facilite bien les choses :
Une fois obtenu E = s³ - 3sp + 6p - 8 , la factorisation par s-2 n'est pas difficile à trouver.
Si on remplace s par 2 , on trouve 0 ; On sait donc que E est factorisable par s-2 .
Si on sait factoriser x³-y³ , la factorisation est immédiate.

En fait, ta question est peut-être "Comment penser à factoriser par s-2 ? "
On veut démontrer s > 2 qui est équivalent à s-2 > 0 .
Pour utiliser C > 2 , on écrit l'équivalence
a³ + b³ + 6ab + 10 = 9C a³ + b³ + 6ab - 8 = 9(C-2)
Puis on cherche à factoriser le premier membre par (a+b-2) en espérant que l'autre facteur aura un signe positif démontrable.

Merci !

De rien
Pour que tu constates que c'est normal de ne pas trouver facilement, le lien vers le sujet qui m'a inspirée : Problème