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Un exercice sur les barycentres un peu coriace.
Bonsoir à tous,
Voila j'ai un dm de mathématiques à rendre pour demain, je l'ai entièrement rédigé, cependant tout est douteux, mes parties b et c me semblent confuses, pourriez-vous s'il vous plait y jeter un œil et m'informer des éventuelles erreurs, confusions, ou encore s'il y a des développements dont je peux me passer? Voici l'énoncé.
Soit un triangle ABC dont tous les angles sont aigus. La hauteur de ce triangle issue de A coupe [BC] en H.
a) Démontrer que tanB/tanC=HC/HB
b) Déterminer les coefficients y et z de B et de C pour que H soit le barycentre de [( B;y),(C ;z)].
c) Quel est le barycentre du système de points : [(A ;tanA),(B ;tanB),(C ;tanC)]
Voici ma résolution :
1) Nous avons l'égalité tanB= HA/HB dans le triangle rectangle ABH.
De même dans le triangle rectangle AHC on a : tanC=HA/HC
On a par conséquent les égalités suivantes : TanB/TanC = (HA/HB) / (HA/HC)
= HA* HC / HA* HB
= HC / HB
2) Soit H le barycentre du système [(B;y),(C;z)] si :
Condition d'existence : yHB + zHC = 0. (on parle de vecteurs)
Définissons y et z :
Pour tout point M on a : (y+z)MH= yMB+zMC (on parle de vecteurs toujours)
Pour M=H, nous obtenons : vecteur nul =yHB + zHC (vecteurs tjrs)
Par conséquent : -zHC=yHB (vecteurs tjrs)
Les vecteurs HC et HB sont colinéaires de sens contraire, y et z sont du même signe.
On a donc : yHB=zHC
Sachant que d'après la question 1, nous avons cette égalité :
tanB/tanC = HC/HB
or HC/HB = y/z donc y= tanB et z=tanC
H est donc le barycentre du système [(B;tanB),(C;tanC)]
3) Soit le barycentre du système : [(A ;tanA),(B ;tanB),(C ;tanC)]
Soit H le barycentre du système [(B;tanB),(C;tanC)]
D'après le théorème d'associativité, il est aussi le barycentre de [(A ;tanA),(H ;tanB+tanC)]. Il existe car tanA+tanB+tanC différent de 0 (tangente tjrs positive)
On appelle O le barycentre de [(A ;tanA),(H ;tanB+tanC)]
Donc les points O,H et A sont donc alignés.
Ainsi la droite passant par O est la hauteur issue de A, de même on pourrait dire que la droite passant par O est la hauteur issue de B et de C.
O est le point de concours des hauteurs, soit l'orthocentre du triangle.
L'orthocentre O est donc le barycentre du système: [(A ;tanA),(B ;tanB),(C ;tanC)].
Merci aux éventuelles personnes qui prendront la peine de me répondre 
2)
tu dis
Pour M=H, nous obtenons : vecteur nul =yHB + zHC (vecteurs tjrs)
mais auparavant, tu disais :
Condition d'existence : yHB + zHC = 0. (on parle de vecteurs)
Tu te répètes.
ce qui me gène ensuite est le 'donc'
Les coefficients sont donnés à un facteur près.
Donc on peut prendre y=tan(B) et z=tan(C)
On aurait pu prendre y=2*tan(B) et z=2*tan(C)
Ah bon? pourquoi serait-ce -AH/BH dans le cas où B n'est pas un angle aigu? Je n'ai pas étudié cette propriété pour l'instant il me semble ^^
Pour le 2 et 3, qu'en pensez-vous?
Pour le 3) : ok tu justifies l'existence. Aigu veut dire strictement < angle droit !
Tu utilises associativité. Bien.
Ce serait bien de généraliser à un triangle quelconque sans angle droit.
Ah bon? pourquoi serait-ce -AH/BH dans le cas où B n'est pas un angle aigu? Je n'ai pas étudié cette propriété pour l'instant il me semble ^^
Angle obtu : cos<0, tan <0
Autre manière de voir : cos(pi-x)=-cos(x)
2)
Oui je me disais bien que la condition d'existence était de trop, en fait je me posais la question, pouvons parler d'un barycentre sans énoncer forcément la condition d'existence au début? Fin j'ai vu ça comme une inéquation où on donne le domaine de définition dés le début^^
3)
"Ainsi la droite passant par O est la hauteur issue de A, de même on pourrait dire que la droite passant par O est la hauteur issue de B et de C."
Ne devrais-je pas plutôt dire : ... de même on pourrait dire que la droite passant par O perpendiculaire à [AC] est la hauteur issue de B, ainsi que la droite passant par O perpendiculaire à [AB] serait la hauteur issue de C"
Ou c'est plus du blabla?
Merci pour vos réponses
Oui je me disais bien que la condition d'existence était de trop
Non, la condition d'existence est nécessaire au contraire.
c'est plus du blabla
Il me semble bien.
Par contre, tu peux ajouter que cette méthode est une autre manière de montrer que les 3 hauteurs sont concourantes en un unique point.
Merci bien
2) donc au contraire, si je garde la condition d'existence, il est préférable de supprimer ces deux démonstrations:
"Pour tout point M on a : (y+z)MH= yMB+zMC (on parle de vecteurs toujours)
Pour M=H, nous obtenons : vecteur nul =yHB + zHC (vecteurs tjrs)"
Soient y et z deux réels de somme non nulle.
Déterminons une condition nécessaire pour que {(B,y),(C,z)} ait pour barycentre H
La condition sur les angles fait que le point H est situé strictement entre les points B et C.
Donc les deux poids y et z doivent être de même signe.
Et la condition vectorielle se résume à la condition suivante sur les longueurs :
yBH=zCH
Or BH et CH sont non nuls (H n'est confondu ni avec B, ni avec C)
Donc puisque leur somme est non nulle, ni y, ni z ne peuvent être nuls.
Donc la condition
yBH=zCH
peut s'écrire
Une condition nécessaire est donc de poser
Ca me parait suffisant comme justifications.
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