Bonjour Aiawaska,

Ce polygone est composé d'un carré central de côté a , de 4 rectangles de longueur a et de largeur a/2 et de 4 triangles rectangles isocèle dont les côtés de l'angle droit mesurent a/2

On calcule l'aire totale , puis celle de l'hexagone par soustraction .

Merci...
J'ai  décomposé  le problème  autrement.
Je devais démontrer que l' octogone faisait le double de l'hexagone, si possible sans calcul.
A vue de nez, j'en avais l'intuition.
Je me sui rapidement rendu compte, sachant que les polygones reguliers sont construits avec des triangles tous rectangles,  il me fallait trouver les points communs entre les deux figures, et j'ai tracé  les horizontales comme les  verticales par projection.
J'ai observé qu'y avait 4 triangles identiques sur les 4 coins.
Et 2 rectangles sur ma figure 2 identiques à la figure 1 qui en contient 4 dans un octogone.
J'ai tracé  les diagonales du carré  central restant sur l'octogone, et me suis rendu compte que les 4 triangles obtenus étaient les mêmes que les 4 triangles exterieurs communs aux deux polygones.
Don si on ôte  les 4 triangles du carré central égaux aux triangle des angles...
Et si on ôte les deux rectangles sur les 4 présents sur l'octogone. ..
La surface fait forcément la moitié.
Il reste 4 triangles sur les 8
Et
2 rectangles sur les 4.

Oui , c'est une solution astucieuse .
Je n'ai pas cherché dans cette direction et me suis lancée dans les calculs d'aires pas si compliqués finalement .
En tout cas , on est d'accord sur le rapport entre les 2 aires .

Je ne parviens pas à envoyer des photographies de ma démonstration avec cette tablette, mais si quelqu'un veut un jour résoudre ce problème sans calculer quoi que ce soit, j'ai un pliage très  explicite, que je partagerai volontier.

Merci encore à tous.
Le but de l'opération étant de démontrer sans calcul.

Merci babeth...
Moi aussi au départ j'tais parti à  fond dans le même sens...
Je suis un peu Matheux ...mais pas pédagogue  pour un ado...pour qu'il comprenne bien, je dois lui donner les images les plus claires possibles.
Il doit se souvenir du raisonnement à vie, sans s'en rendre compte.
Si la passion des maths lui vient un jour, il fera comme tout le monde, il s'amusera avec sa calculette et utilisera les raccourcis que nous connaissons.
Mer i encore.

En ôtant les deux rectangles restants, on tombe sur un carré. ,..
Il doit bien y avoir un théorème  qui démontre cela.
Je Continue à réfléchir.