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Un problème sur des PROBABILITES !! SVP aidez moi

Posté par Willow83 (invité) 16-02-05 à 12:53

Voici l'exercice:
Une machine à sou comporte 4 roues, chacune portant sur son pourtour 8 images de fruits différents.
Une mise de 1€ la déclenche.
On admettra que tous les évènements sont équiprobables.

1)calculez la probabilité des évènements :
   A : les 4 fruits sont différents
   B : il y a exactement 3 fruits identiques
   C : les 4 fruits sont les mêmes
   D : il y a exactemetn 2 fruits identiques


Merci beaucoup d'avance !

Posté par
Belge-FDLE
re : Un problème sur des PROBABILITES !! SVP aidez moi 16-02-05 à 19:01

Salut Willow83 ,

Alors, un peu d'aide :

1)calculez la probabilité des évènements :
A : les 4 fruits sont différents


En probabilité, de manière généralle, un simple raisonnement logique sufffit à trouver le résultat facilement.
On a 4 roues avec sur chacune 8 fruits qui ont la même probabilité d'apparaître. On veut que les 4 fruits obtenu soient différents. Peu importe quel fruit apparaitra sur la première roulette, il faut que le second soit différent de ce fruit (il reste 7 fruits possible sur 8), que le troisième soit différents des deux premiers (il ne reste plus que 6 fruits sur les 8 possibles) et enfin que le 4ème soit différent des 3 premiers (il ne reste plus que 5 fruits possibles sur 8).
Ainsi, on se rend compte que l'on a :

2$\rm~p(A)~=~\frac{7}{8}\times\frac{6}{8}\times\frac{5}{8}~=~\frac{7\times3\times5}{8\times4\times8}~=~\frac{105}{256}~\approx~~0,410


B : il y a exactement 3 fruits identiques

Celui-ci est déjà quelque peu plus dur, mais il suffit toujours de rester logique. On veut que trois fruits exactement soient identiques. Les dispositions possibles sont :
- F.F.F.x
- F.F.x.F
- F.x.F.F       (F désigne les fruits identiques et x est n'importe quel autre fruit)
- x.F.F.F
Jusque là c'est relativement simple, c'est à présent que ca va se compliqué . Essaye de t'accrocher (de toute façon n'hésite pas à poster pour me demander des explications supplémentaires).
On a déjà vu qu'il y a 4 dispositions possibles.
Ensuite, il faut remarquer que F peut être n'importe lequel des 8 fruits possibles.
Enfin, il ne faut pas oublier le x qui peut être n'importe lequel des 7 autres fruits possibles (tous sauf F car sinon on a 4 fruits identiques).

Cela nous fait donc un total de :

2$\rm~4\times8\times7~=~224~possibilites

De plus il y a 4 roulettes de 8 fruits, ce qui donne un total de cas égal à :

2$\rm~8^4~=~4096~possibilités

Ainsi, on a :

2$\rm~p(B)~=~\frac{224}{4096}~=~\frac{7}{128}~\approx~~0,055


C : les 4 fruits sont les mêmes

Alors, ici c'est assez simple. Je vais te donner deux raisonnements qui aboutissent au même résultat :

* Pour que les 4 fruits soient les mêmes, peut importe le premier fruit que l'on obtient, il faut que le second, le troisième et le quatrième soient également les mêmes (1 fruit sur les 8 à chaque fois), ce qui nous donne ainsi :

2$\rm~p(C)~=~(\frac{1}{8})^3~=~\frac{1}{512}~\approx~~0,002

** La seule disposition possible qui convient est F.F.F.F. De plus il y a 8 fruits ainsi, il y a 8 possibilités sur les 4096 possibles, ce qui nous donne :

2$\rm~p(C)~=~\frac{8}{4096}~=~\frac{4}{2048}~=~\frac{2}{1024}~=~\frac{1}{512}

On retombe bien sur le même résultat, ce qui montre bien que peut importe ton raisonnement, s'il est logique, tu es assuré de tomber sur le bon résultat .


D : il y a exactement 2 fruits identiques
Il suffit de reprendre le même raisonnement qu'au B avec une petite nuance. Les dispositions qui conviennent sont :
  -F.F.x.x
  -F.x.F.x
  -F.x.x.F
  -x.F.F.x
  -x.F.x.F
  -x.x.F.F
On a donc 6 dispositions auxquelles sont associées 8 fruits F possibles. Ensuite, pour ce qui est des x, il faut faire attention, car les deux x ne sont pas les mêmes fruits (sinon il y a 4 chiffres identiques 2 a 2, ce qui est incompatible avec ce que l'on veut). Ainsi, un x sera un des 7 autres fruits et il ne restera plus que 6 fruits possibles pour le deuxième x.
Cela nous donne donc :

2$\rm~6\times8\times7\times6~=~2016~possibilites

On a donc :

2$\rm~p(D)~=~\frac{2016}{4096}~=~\frac{63}{128}

Remarque : Si on additionne les 4 probabilités on trouve un résultat différent de 1 car on a pas compté les cas de 4 fruits identiques 2 à 2 (par exemple Poire-Banane-Banane-Poire) et qui selon moi n'entraient dans aucune des quatre catégories ci-dessus. Cependant, ton prof attendait peut être que tu les compte dans la catégorie D et que tu calcules p(D) en soustrayant (p(A)+p(B)+p(C)) à 1.

Voili, voiloù .
Si tu as des questions, n'hésite pas .

À +

Posté par Willow83 (invité)Merci 17-02-05 à 19:25

Merci beaucoup pour ton aide,elle m'a était d'un grand secours.
T'es bien meilleur prof que le mien ! J'ai enfin compris !
Avec ça, je vais essayer de finir mon exercice, en cas de problème, je reviens quémander de l'aide !
Merci encore !
Bye bye !

Posté par Willow83 (invité)Est ce que j ai juste ? 18-02-05 à 17:42

J'ai fait la fin de mon exo, j'aimerai savoir si j'ai fait juste . Voici la question :

Certain résultats permettent de gagner de l'argent:
  # 50€ pour 4 fruits identiques
  # 5€ pour 3 fruits identiques
  # 1€ pour 4 fruits différents
Soit X la variable aléatoire qui à chaque résultat associe le gain réalisé, c'est à dire la différence entre la somme gagnée (éventuellement nulle) et la mise de 1€.

a) Déterminer la loi de probabilité de X.
  Sur U={x1;x2;...xi;...xn} on associe à chaque xi un réel pi, tel que pi>O pour tout i   Ensemble pi=1
  Ici :
0.41+0.055+0.002+0.49=0.959<1 car l'on a n'a pas compté les cas de 4 fruits identiques 2 à 2 etc

b) Calculer son espérance mathématique et sa variance.
  Espérance de X:  
E(X)= 0*0.41+4*0.055+49*0.002+(-1)*0.49 = 0.238
  Variance de X:
V(X)= [0.055*4²+0.002*49²+0.49*(-1)²] - 0.238² = 6.12
  Ecart type X:
S(X)= racine de 6.12 = 2.47

Voilà, ben j'espère avoir fait juste, si quelqun pouvait me répondre, ça serait sympa

Bye



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