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Un rêve évanoui...

Posté par
littleguy
24-04-16 à 08:34

Bonjour,

La nuit dernière j'ai fait un rêve étrange…

Sur une table reposait une demi-sphère de rayon R posée sur sa base (la zone de contact entre la demi-sphère et la table était donc un cercle de rayon R ).

Tout autour de cette demi-sphère étaient déposées des sphères de rayon r,  tangentes à la demi-sphère et tangentes entre elles deux à deux.

A mon réveil,  je me suis juste rappelé  que l'un des rayons était égal au nombre d'or et que l'autre était un nombre entier. Pis, je ne sais plus combien il y avait de sphères.

Bref je ne me souviens ni de la valeur des deux rayons R et r, ni du nombre n de sphères entourant la demi-sphère.

Si vous me retrouvez ces valeurs je vous promets un .

Posté par
pondy
re : Un rêve évanoui... 24-04-16 à 09:32

gagnéBonjour
Je propose:
6 boules
2 pour le rayon de la demi-sphère
et le nombre d'or pour le rayon des 6 sphères

Posté par
Nofutur2
re : Un rêve évanoui... 24-04-16 à 09:57

gagnéLa formule est du style sin(pi/n)=r/((R+r)*cos(asin(r/(R+r))))
avec R=nombre d'or et r entier .. ou l'inverse.
Je trouve R=2, r=nombre d'or et n=6
Merci pour l'énigme trigo....

Posté par
trapangle
re : Un rêve évanoui... 24-04-16 à 10:28

gagnéBonjour,

Je trouve la relation :

\frac{R}{r} = \sqrt{\frac{1+\sin^{2}{\frac{\pi}{n}}}{\sin^{2}{\frac{\pi}{n}}}}-1

et la solution
n=6
R=2
r=


Je ne pense pas qu'il y ait d'autre solution, mais je n'ai vérifié que jusqu'à n=1000.

Merci et bon dimanche !

Posté par
dpi
re : Un rêve évanoui... 24-04-16 à 11:35

perduBonjour

Avec phi ca sent toujours le pentagone...

Je trouve r= et R=2
Il y a une demi-sphère entourée  de 5 sphères

Posté par
royannais
re : Un rêve évanoui... 24-04-16 à 17:56

gagné
R = 2
r = nombre d'or =(1+V5)/2
n = 6

merci pour cette énigme

Posté par
rschoon
re : Un rêve évanoui... 24-04-16 à 18:10

gagnéBonjour à tous.

Je propose : R=2, r=nombre d'or, n=6.

Merci pour l'énigme

Posté par
franz
re : Un rêve évanoui... 25-04-16 à 14:28

gagné\red 6 sphères de rayon \red \dfrac {1+\sqrt 5}{2} entourent la demi-shère de rayon \red 2
Merci pour l'énigme

Posté par
carita
re : Un rêve évanoui... 25-04-16 à 21:04

gagnébonsoir Littleguy,

rayon R = 2
rayon r = phi (nombre d'or)
nombre de sphères n = 6

je ne mets pas le détail de mes calculs, ni les schémas, mais pour la démarche :
1- j'ai recherché le lieu de contact (tangence) sur la demi-sphère (cercle)
2- puis trigonométrie avec sin(180/n)
je regarderai avec intérêt les méthodes des autres participants !

Merci beaucoup

Posté par
Achdeuzo
re : Un rêve évanoui... 26-04-16 à 17:41

gagnéSalut

Je pense que dans ton rêve, il y'avait six sphères de rayon égal au nombre d'or placées autour d'une demi-sphère de rayon égal à 2.

Autrement dit : R = 2, r = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}} et n = 6.

Merci pour cette énigme ! C'était trop

Posté par
LittleFox
re : Un rêve évanoui... 27-04-16 à 11:47

gagné
La valeur des deux rayons R et r et le nombre n de sphères entourant la demi-sphère sont respectivement 2, le nombre d'or et 6.

On obtient la formule R = r(\sqrt{1+\frac{1}{sin^2\frac{\pi}{n}}}-1). Qui n'a une solution entière pour R que quand sin\frac{\pi}{n} = \frac{1}{2} donc n=6 et r = \frac{\sqrt{5}+1}{2}, c'est le nombre d'or. Il n'y a pas de solution avec r entier.

Posté par
vham
re : Un rêve évanoui... 27-04-16 à 14:59

gagnéBonjour,

R=2,    r=nombre d'or,    n=6

6 boules dont le rayon est le nombre d'or
tangentes à la demi-sphère de rayon 2.

Posté par
benmagnol
re : Un rêve évanoui... 27-04-16 à 22:03

gagnéBonjour
La demi sphère centrale pour rayon 2.
Elle est entourée de 6 sphères de rayon RPO
Merci je me suis bien amusé avec cette énigme

Posté par
benmagnol
re : Un rêve évanoui... 27-04-16 à 22:04

gagnéRPO voulait dire nombre d'or j'espère que cela pouvait se comprendre

Posté par
torio
re : Un rêve évanoui... 27-04-16 à 22:12

gagnéR = 2                    (demi-sphère)
r = nb d'or        (sphères)
n = 6                    (nombre de sphères)

A+
Torio

Posté par
masab
re : Un rêve évanoui... 28-04-16 à 15:27

gagnéBonjour littleguy,

Valeurs des deux rayons R et r, ni du nombre n de sphères entourant la demi-sphère

n=6 \ ,\ R = 2 \ ,\ r = \frac{1+\sqrt{5}}{2}

Merci pour cette jolie énigme géométrique.

Posté par
albatros44
re : Un rêve évanoui... 29-04-16 à 09:56

gagnéBonjour

Voilà les réponses
R = 2
r = nombre d'or = 1,618...
nombre de sphères = 6

Bonne journée

Posté par
jugo
re : Un rêve évanoui... 29-04-16 à 10:21

gagnéBonjour,

   R = 2
   r = nombre d'or
   n = 6


Merci.

Un rêve évanoui...

Posté par
Lionelink
re : Un rêve évanoui... 30-04-16 à 15:36

gagnéR = 2
r = nombre d'or
n = 6

Merci pour cette énigme !

Posté par
Chatof
re : Un rêve évanoui... 03-05-16 à 19:07

gagnéR=2        r=nombre d'or      n=6

R=2  \:   \: r=\frac{\sqrt{5}+1}{2}  \:  \:   n=6

Posté par
Chatof
re : Un rêve évanoui... 03-05-16 à 19:41

gagnéJe ne sais pas prouver que c'est la seule solution.
Une réponse fausse de pas grand chose :

R=172124  \:  \:  \:   r=\frac{\sqrt{5}+1}{2}  \: \: \: \:    n=334201 \\(R\approx 172123.99999868777121)

Comment prouver que :

R=\frac{(-\sin\left(\frac{\pi }{n}\right)+\sqrt{\sin\left(\frac{\pi }{n}\right)^{2}+1})}{\sin\left(\frac{\pi }{n}\right)} \cdot \frac{(\sqrt{5}+1)}{2} n'est entier que pour n=6

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Un rêve évanoui... 04-05-16 à 15:33

gagnéBonjour,
Je me réveille un peu tardivement
Je propose n= 6 , R = 2 et r = nombre d'or (1+5)/2 .
Merci pour cette énigme sympa !

Posté par
veleda
re : Un rêve évanoui... 11-05-16 à 20:49

gagnébonsoir,
j'ai enfin trouvé un moment pour chercher cette énigme
je trouve
n=6
R=2
r=
j'espère ne pas avoir fait d'erreur
merci

Posté par
littleguy
re : Un rêve évanoui... 17-05-16 à 14:13

Bonjour,

Clôture de l'énigme. A une étourderie près , un sans faute !

Bravo !

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Un rêve évanoui... 17-05-16 à 15:08

gagnéBonjour,
L'énigme a-t-elle été inspirée par ce topic trigonométrie ?
En tous cas, merci pour cette très chouette énigme

LittleFox pourra-t-il nous indiquer comment il démontre l'unicité ?

Posté par
littleguy
re : Un rêve évanoui... 17-05-16 à 15:22

Bonjour Sylvieg,

Non ça n'a été que pure coïncidence ; d'ailleurs j'ai hésité à la poser à cause de lui.

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Un rêve évanoui... 17-05-16 à 15:38

gagnéC'aurait été dommage !

Posté par
LittleFox
re : Un rêve évanoui... 17-05-16 à 18:21

gagnéPour r entier, on obtient que r < 1 pour n \ge 8 et il n'y a pas de solution entière pour n \in [3,7]. Donc pas de solution.

Pour R entier, je n'ai pas de preuve . On obtient R = \frac{\sqrt{5}+1}{2} (\sqrt{1+x}-1) avec x = \frac{1}{sin^2\frac{\pi}{n}}}. Les solutions entières sont (x,R) = (1,0) ou  (4,2) (je ne suis même pas sûr qu'il n'y en a pas d'autres). Mais x n'est pas nécessairement entier. Un rapide test montre qu'il n'y a pas de R entier pour n \le 1000000 autre que n = 6.

Comme chatof l'a relevé, il y a des solution très proches (et probablement aussi proche que l'on veut) comme (n,R) = (23551, 12128.000004669528).

Donc non, je n'ai pas de preuve d'unicité, ça semble juste correct (une conjecture? ).

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Un rêve évanoui... 17-05-16 à 18:59

gagnéMerci LittleFox pour cette réponse rapide !
Et merci à jugo pour ses jolies figures

Posté par
dpi
re : Un rêve évanoui... 18-05-16 à 08:46

perduBien sûr 6 tapé 5...

Posté par
LittleFox
re : Un rêve évanoui... 18-05-16 à 14:21

gagné
En fait  quand n est grand, on a R = \frac{\sqrt{5}+1}{2\pi}n-\frac{\sqrt{5}+1}{2} + O(\frac{1}{n}). C'est plutôt irrationnel comme équation et donc ce ne serait pas étonnant qu'il n'y ait pas de R entier pour n grand. Mais ce n'est pas une preuve. Peut-être que l'un des matheux présents ici pourra utiliser ces indices pour trouver une preuve .

Posté par
castoriginal
re : Un rêve évanoui... 19-05-16 à 11:20

Bonjour,

je pense qu'il y avait une ambiguité dans l'énoncé.

en effet,

Citation :
Tout autour de cette demi-sphère étaient déposées des sphères de rayon r,  tangentes à la demi-sphère et tangentes entre elles deux à deux.


Il pourrait donc s'agir  là de l'empilement  spatial des sphères; problème évoqué par Kepler. ( on le trouve avec l'empilement des oranges chez l'épicier ou en cristallographie)
Le site suivant aborde la question

https://fr.wikipedia.org/wiki/Empilement_compact

Bien à vous

Posté par
LittleFox
re : Un rêve évanoui... 20-05-16 à 11:41

gagné
La clé est peut-être le théorème de Niven qui dit que les seuls n pour que sin \frac{\pi}{n} soit rationnel (et donc aussi x = \frac{1}{sin^2\frac{\pi}{n}}) sont \{1,2,6\}.

Et quelque chose me dit que les irrationels produit par des racines entières et ceux produits par les fonctions trigonométriques ne sont pas très compatibles. Et donc que x doit être un rationel.

Le domaine des nombres algébrique pourrait nous venir en aide mais je n'y connais rien .

Pourquoi est-ce que je me suis lancé là dedans moi?

Posté par
belinda247
re : Un rêve évanoui... 20-05-19 à 15:22

Je ne suis qu'en 5èmeQuelqu'un pourrait m'expliquer cette énigme? S'il vous plaît?

Posté par
Chatof
re : Un rêve évanoui... 20-05-19 à 19:43

gagné

belinda247 @ 20-05-2019 à 15:22

Je ne suis qu'en 5èmeQuelqu'un pourrait m'expliquer cette énigme? S'il vous plaît?

On pose un bol retourné sur une table et des oranges autour.
Il faut que les oranges forment un cercle sans vide entre 2 oranges.
Toutes les oranges doivent toucher le bol.
Première étape, trouver la relation entre le rayon des oranges et le rayon du bol.

voir :
Triangles rectangles : cosinus d'un angle aigu
puis
la trigonométrie dans les triangles rectangles : cosinus, sinus et tangente.
puis  
...
bref,  pas du niveau 5e

Posté par
emmanuel2002
re : Un rêve évanoui... 03-05-20 à 01:50

Bonsoir je suis en math sup , j'aimerais si possible savoir la démarche utilisé pour trouver r , R et n.
Merci

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Un rêve évanoui... 03-05-20 à 08:31

gagnéBonjour,
Je ne suis plus dans ce bain, mais tu peux aller voir le sujet indiqué dans mon message du 17/05 à 15h08.

Posté par
Chatof
re : Un rêve évanoui... 04-05-20 à 12:00

gagnéBonjour emmanuel2002

On a 2 équations:
Les n boules forment un cercle en se touchant.
Chacune de ces boules touchent la demi sphère et la table.

Challenge (énigme mathématique) terminé .
Nombre de participations : 0
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Temps de réponse moyen : 93:15:36.
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