Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Niveau 2 *
Partager :

Un rêve évanoui...

Posté par
littleguy
24-04-16 à 08:34

Bonjour,

La nuit dernière j'ai fait un rêve étrange…

Sur une table reposait une demi-sphère de rayon R posée sur sa base (la zone de contact entre la demi-sphère et la table était donc un cercle de rayon R ).

Tout autour de cette demi-sphère étaient déposées des sphères de rayon r,  tangentes à la demi-sphère et tangentes entre elles deux à deux.

A mon réveil,  je me suis juste rappelé  que l'un des rayons était égal au nombre d'or et que l'autre était un nombre entier. Pis, je ne sais plus combien il y avait de sphères.

Bref je ne me souviens ni de la valeur des deux rayons R et r, ni du nombre n de sphères entourant la demi-sphère.

Si vous me retrouvez ces valeurs je vous promets un .

Posté par
pondy
re : Un rêve évanoui... 24-04-16 à 09:32

gagnéBonjour
Je propose:
6 boules
2 pour le rayon de la demi-sphère
et le nombre d'or pour le rayon des 6 sphères

Posté par
Nofutur2
re : Un rêve évanoui... 24-04-16 à 09:57

gagnéLa formule est du style sin(pi/n)=r/((R+r)*cos(asin(r/(R+r))))
avec R=nombre d'or et r entier .. ou l'inverse.
Je trouve R=2, r=nombre d'or et n=6
Merci pour l'énigme trigo....

Posté par
trapangle
re : Un rêve évanoui... 24-04-16 à 10:28

gagnéBonjour,

Je trouve la relation :

\frac{R}{r} = \sqrt{\frac{1+\sin^{2}{\frac{\pi}{n}}}{\sin^{2}{\frac{\pi}{n}}}}-1

et la solution
n=6
R=2
r=


Je ne pense pas qu'il y ait d'autre solution, mais je n'ai vérifié que jusqu'à n=1000.

Merci et bon dimanche !

Posté par
dpi
re : Un rêve évanoui... 24-04-16 à 11:35

perduBonjour

Avec phi ca sent toujours le pentagone...

Je trouve r= et R=2
Il y a une demi-sphère entourée  de 5 sphères

Posté par
royannais
re : Un rêve évanoui... 24-04-16 à 17:56

gagné
R = 2
r = nombre d'or =(1+V5)/2
n = 6

merci pour cette énigme

Posté par
rschoon
re : Un rêve évanoui... 24-04-16 à 18:10

gagnéBonjour à tous.

Je propose : R=2, r=nombre d'or, n=6.

Merci pour l'énigme

Posté par
franz
re : Un rêve évanoui... 25-04-16 à 14:28

gagné\red 6 sphères de rayon \red \dfrac {1+\sqrt 5}{2} entourent la demi-shère de rayon \red 2
Merci pour l'énigme

Posté par
carita
re : Un rêve évanoui... 25-04-16 à 21:04

gagnébonsoir Littleguy,

rayon R = 2
rayon r = phi (nombre d'or)
nombre de sphères n = 6

je ne mets pas le détail de mes calculs, ni les schémas, mais pour la démarche :
1- j'ai recherché le lieu de contact (tangence) sur la demi-sphère (cercle)
2- puis trigonométrie avec sin(180/n)
je regarderai avec intérêt les méthodes des autres participants !

Merci beaucoup

Posté par
Achdeuzo
re : Un rêve évanoui... 26-04-16 à 17:41

gagnéSalut

Je pense que dans ton rêve, il y'avait six sphères de rayon égal au nombre d'or placées autour d'une demi-sphère de rayon égal à 2.

Autrement dit : R = 2, r = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}} et n = 6.

Merci pour cette énigme ! C'était trop

Posté par
LittleFox
re : Un rêve évanoui... 27-04-16 à 11:47

gagné
La valeur des deux rayons R et r et le nombre n de sphères entourant la demi-sphère sont respectivement 2, le nombre d'or et 6.

On obtient la formule R = r(\sqrt{1+\frac{1}{sin^2\frac{\pi}{n}}}-1). Qui n'a une solution entière pour R que quand sin\frac{\pi}{n} = \frac{1}{2} donc n=6 et r = \frac{\sqrt{5}+1}{2}, c'est le nombre d'or. Il n'y a pas de solution avec r entier.

Posté par
vham
re : Un rêve évanoui... 27-04-16 à 14:59

gagnéBonjour,

R=2,    r=nombre d'or,    n=6

6 boules dont le rayon est le nombre d'or
tangentes à la demi-sphère de rayon 2.

Posté par
benmagnol
re : Un rêve évanoui... 27-04-16 à 22:03

gagnéBonjour
La demi sphère centrale pour rayon 2.
Elle est entourée de 6 sphères de rayon RPO
Merci je me suis bien amusé avec cette énigme

Posté par
benmagnol
re : Un rêve évanoui... 27-04-16 à 22:04

gagnéRPO voulait dire nombre d'or j'espère que cela pouvait se comprendre

Posté par
torio
re : Un rêve évanoui... 27-04-16 à 22:12

gagnéR = 2                    (demi-sphère)
r = nb d'or        (sphères)
n = 6                    (nombre de sphères)

A+
Torio

Posté par
masab
re : Un rêve évanoui... 28-04-16 à 15:27

gagnéBonjour littleguy,

Valeurs des deux rayons R et r, ni du nombre n de sphères entourant la demi-sphère

n=6 \ ,\ R = 2 \ ,\ r = \frac{1+\sqrt{5}}{2}

Merci pour cette jolie énigme géométrique.

Posté par
albatros44
re : Un rêve évanoui... 29-04-16 à 09:56

gagnéBonjour

Voilà les réponses
R = 2
r = nombre d'or = 1,618...
nombre de sphères = 6

Bonne journée

Posté par
jugo
re : Un rêve évanoui... 29-04-16 à 10:21

gagnéBonjour,

   R = 2
   r = nombre d'or
   n = 6


Merci.

Un rêve évanoui...

Posté par
Lionelink
re : Un rêve évanoui... 30-04-16 à 15:36

gagnéR = 2
r = nombre d'or
n = 6

Merci pour cette énigme !

Posté par
Chatof
re : Un rêve évanoui... 03-05-16 à 19:07

gagnéR=2        r=nombre d'or      n=6

R=2  \:   \: r=\frac{\sqrt{5}+1}{2}  \:  \:   n=6

Posté par
Chatof
re : Un rêve évanoui... 03-05-16 à 19:41

gagnéJe ne sais pas prouver que c'est la seule solution.
Une réponse fausse de pas grand chose :

R=172124  \:  \:  \:   r=\frac{\sqrt{5}+1}{2}  \: \: \: \:    n=334201 \\(R\approx 172123.99999868777121)

Comment prouver que :

R=\frac{(-\sin\left(\frac{\pi }{n}\right)+\sqrt{\sin\left(\frac{\pi }{n}\right)^{2}+1})}{\sin\left(\frac{\pi }{n}\right)} \cdot \frac{(\sqrt{5}+1)}{2} n'est entier que pour n=6

Posté par
Sylvieg
re : Un rêve évanoui... 04-05-16 à 15:33

gagnéBonjour,
Je me réveille un peu tardivement  
Je propose  n= 6 ,  R = 2  et  r = nombre d'or (1+5)/2 .
Merci pour cette énigme sympa !

Posté par
veleda
re : Un rêve évanoui... 11-05-16 à 20:49

gagnébonsoir,
j'ai enfin trouvé un moment pour chercher cette énigme
je trouve
n=6
R=2
r=
j'espère ne pas avoir fait d'erreur
merci

Posté par
littleguy
re : Un rêve évanoui... 17-05-16 à 14:13

Bonjour,

Clôture de l'énigme. A une étourderie près , un sans faute !

Bravo !

Posté par
Sylvieg
re : Un rêve évanoui... 17-05-16 à 15:08

gagnéBonjour,
L'énigme a-t-elle été inspirée par ce topic     ?
En tous cas, merci pour cette très chouette énigme  

LittleFox  pourra-t-il nous indiquer comment il démontre l'unicité ?

Posté par
littleguy
re : Un rêve évanoui... 17-05-16 à 15:22

Bonjour Sylvieg,

Non ça n'a été que pure coïncidence ; d'ailleurs j'ai hésité à la poser à cause de lui.

Posté par
Sylvieg
re : Un rêve évanoui... 17-05-16 à 15:38

gagnéC'aurait été dommage !

Posté par
LittleFox
re : Un rêve évanoui... 17-05-16 à 18:21

gagnéPour r entier, on obtient que r < 1 pour n \ge 8 et il n'y a pas de solution entière pour n \in [3,7]. Donc pas de solution.

Pour R entier, je n'ai pas de preuve . On obtient R = \frac{\sqrt{5}+1}{2} (\sqrt{1+x}-1) avec x = \frac{1}{sin^2\frac{\pi}{n}}}. Les solutions entières sont (x,R) = (1,0) ou  (4,2) (je ne suis même pas sûr qu'il n'y en a pas d'autres). Mais x n'est pas nécessairement entier. Un rapide test montre qu'il n'y a pas de R entier pour n \le 1000000 autre que n = 6.

Comme chatof l'a relevé, il y a des solution très proches (et probablement aussi proche que l'on veut) comme (n,R) = (23551, 12128.000004669528).

Donc non, je n'ai pas de preuve d'unicité, ça semble juste correct (une conjecture? ).

Posté par
Sylvieg
re : Un rêve évanoui... 17-05-16 à 18:59

gagnéMerci LittleFox pour cette réponse rapide !
Et merci à jugo pour ses jolies figures  

Posté par
dpi
re : Un rêve évanoui... 18-05-16 à 08:46

perduBien sûr 6 tapé 5...

Posté par
LittleFox
re : Un rêve évanoui... 18-05-16 à 14:21

gagné
En fait  quand n est grand, on a R = \frac{\sqrt{5}+1}{2\pi}n-\frac{\sqrt{5}+1}{2} + O(\frac{1}{n}). C'est plutôt irrationnel comme équation et donc ce ne serait pas étonnant qu'il n'y ait pas de R entier pour n grand. Mais ce n'est pas une preuve. Peut-être que l'un des matheux présents ici pourra utiliser ces indices pour trouver une preuve .

Posté par
castoriginal
re : Un rêve évanoui... 19-05-16 à 11:20

Bonjour,

je pense qu'il y avait une ambiguité dans l'énoncé.

en effet,

Citation :
Tout autour de cette demi-sphère étaient déposées des sphères de rayon r,  tangentes à la demi-sphère et tangentes entre elles deux à deux.


Il pourrait donc s'agir  là de l'empilement  spatial des sphères; problème évoqué par Kepler. ( on le trouve avec l'empilement des oranges chez l'épicier ou en cristallographie)
Le site suivant aborde la question

https://fr.wikipedia.org/wiki/Empilement_compact

Bien à vous

Posté par
LittleFox
re : Un rêve évanoui... 20-05-16 à 11:41

gagné
La clé est peut-être le théorème de Niven qui dit que les seuls n pour que sin \frac{\pi}{n} soit rationnel (et donc aussi x = \frac{1}{sin^2\frac{\pi}{n}}) sont \{1,2,6\}.

Et quelque chose me dit que les irrationels produit par des racines entières et ceux produits par les fonctions trigonométriques ne sont pas très compatibles. Et donc que x doit être un rationel.

Le domaine des nombres algébrique pourrait nous venir en aide mais je n'y connais rien .

Pourquoi est-ce que je me suis lancé là dedans moi?

Challenge (énigme mathématique) terminé .
Nombre de participations : 0
:)0,00 %0,00 %:(
0 0

Temps de réponse moyen : 93:15:36.
Répondre à ce sujet

Seuls les membres peuvent poster sur le forum !

Vous devez être connecté pour poster :

Connexion / Inscription Poster un nouveau sujet
Une question ?
Besoin d'aide ?
(Gratuit)
Un modérateur est susceptible de supprimer toute contribution qui ne serait pas en relation avec le thème de discussion abordé, la ligne éditoriale du site, ou qui serait contraire à la loi.


Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :


Rester sur la page

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !