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Un souci de boite

Posté par
emmaa2
27-02-22 à 12:30

Bonjour à tous, j'ai un exercice de maths à effectuer,  sachant qu'en ce moment les chapitres que l'on à étudié sont la dérivation, polynômes du second degré, le début des suites..
Je vous remercie d'avance pour votre aide.

Voici l'énoncé:
On enlève des coins carrés (hachurés sur la figure) à une feuille de carton carrée de côté 30 cm. On replie suivant les pointillés pour obtenir une boîte, sans couvercle. (Je met la figure en pièce jointe)

Question : Déterminer les dimensions d'une telle boîte pour que son volume soit maximal.
Combien vaut alors ce volume ?

Merci d'avance, Emma.

** Fichier supprimé **
*** en image visible directement plutôt que en pdf qu'il faut ouvrir à part ***
Un souci de boite

Posté par
hekla
re : Un souci de boite 27-02-22 à 12:35

Bonjour

Que proposez-vous ?

Volume de la boîte ?

Posté par
emmaa2
re : Un souci de boite 27-02-22 à 12:39

Le volume de la boîte est Lxl

Sans enlever les carrés il serait égal à 90cm3

On peut utiliser les polynomes ?

Posté par
hekla
re : Un souci de boite 27-02-22 à 12:44

Qu'appelez-vous  x ?  La longueur du côté du carré que l'on ôte ?

Le volume serait 0 car 30\times 30\times 0=0

Posté par
emmaa2
re : Un souci de boite 27-02-22 à 12:46

Non j'ai appelé x la longueur 30 cm.

Pourquoi x 0 ?

Posté par
hekla
re : Un souci de boite 27-02-22 à 12:54

Citation :
On replie suivant les pointillés pour obtenir une boîte,


si vous ne repliez rien, il n'y a pas de volume.
Quelle serait la hauteur de la boîte  ?  C'est bien cela qui va varier

Posté par
emmaa2
re : Un souci de boite 27-02-22 à 12:59

Et bien comment savoir la hauteur?

Elle vaut y (valeur du carré qu'on enlève) ?

Posté par
hekla
re : Un souci de boite 27-02-22 à 13:09

Si vous voulez la longueur du côté du carré que l'on enlève, mais dans ce cas il n'y a plus besoin de x.

Faites un modèle.

Posté par
malou Webmaster
re : Un souci de boite 27-02-22 à 13:20

Bonjour

une image peut-être...

Un souci de boite

Posté par
emmaa2
re : Un souci de boite 27-02-22 à 13:21

On peut dire que  la longueur du carré en enlevant les carrés vaut 30-2x ?

Un souci de boite

Posté par
hekla
re : Un souci de boite 27-02-22 à 13:30

Bien, maintenant vous pouvez écrire le volume de la boîte.

Comme ce volume ne dépend que de x  vous pouvez alors étudier la fonction qui à x associe son volume.

Posté par
emmaa2
re : Un souci de boite 27-02-22 à 14:18

le volume est (30-2x)3 ?
Sous la forme de f(x) = 30-2x ?

Posté par
hekla
re : Un souci de boite 27-02-22 à 14:30

L'aire de la base est bien (30-2x)^2 mais la hauteur n'est pas 30-2x

Développez, vous aurez un polynôme de degré 3.

Posté par
emmaa2
re : Un souci de boite 27-02-22 à 14:40

Ah oui nous n'avons pas vu les polynômes de degré 3..
La hauteur est 30 cm non ?

Un souci de boite

Posté par
hekla
re : Un souci de boite 27-02-22 à 14:43

Si vous repliez un morceau de longueur x il y a peu de chances d'obtenir autre chose comme longueur.

Posté par
emmaa2
re : Un souci de boite 27-02-22 à 14:48

Je ne comprend pas alors quelle est la hauteur

Posté par
hekla
re : Un souci de boite 27-02-22 à 15:00

On redresse selon les pointillés  Quelle hauteur peut-on avoir ?    

Posté par
emmaa2
re : Un souci de boite 27-02-22 à 15:11

Et bien cela dépend qu'elle valeur on prend de x ?

Posté par
hekla
re : Un souci de boite 27-02-22 à 15:18

Implicitement, vous venez de reconnaître que la hauteur est x

Le volume est alors ?

Posté par
emmaa2
re : Un souci de boite 27-02-22 à 15:24

Le volume est x(30-2x)2 ?

Posté par
hekla
re : Un souci de boite 27-02-22 à 15:26

Oui

Vous développez et vous étudiez la fonction x\mapsto x(30-2x)^2

Dérivée, signe de la dérivée, maximum

Posté par
emmaa2
re : Un souci de boite 27-02-22 à 15:33

Développé cela donne 30x - 2x3

Sa forme dérivée est alors f'(x) = 30 - 6x2
Pour avoir le signe de la dérivée on résout f'(x) = 0
Ce qui donne  30 - 6x2 = 0
soit -6x2 = - 30
et x2 = -30/-6 = 5 ?
Donc le signe de la dérivée est positif ? La fonction est alors croissante ?

Posté par
emmaa2
re : Un souci de boite 27-02-22 à 15:35

Ah non je me suis trompée, j'ai oublié le carré pour développer donc ca fausse tout.
Je vais recommencer

Posté par
emmaa2
re : Un souci de boite 27-02-22 à 15:47

f(x) = x(30-2x)2
On a l'identité remarquable (a-b)2
Donc (30-2x)2 est égal à 900 - 120x +4x2 ?
Ainsi x(900 - 120x + 4x2) ?
Ce qui donnerait 900x -120x2 + 4x3
On retrouve bien le polynôme de 3e degré dont vous m'avez parlé ?

Si c'est ceci, la dérivée f'(x) vaut alors : 900 - 240x + 12x2 ?

Posté par
hekla
re : Un souci de boite 27-02-22 à 15:52

On a donc bien v'(x)= 12x^2-240x+900

Résolvez v'(x)=0 .

Posté par
emmaa2
re : Un souci de boite 27-02-22 à 16:05

f'(x) = 0
12x2 - 240x + 900 = 0
On a une expression du second degré donc on peut calculer le discriminant delta
= b2 - 4ac
= (-240)2 - 4 x 12 x 900
= 57 600 - 43 200
= 14 400 = 1202

On a donc deux solutions comme delta est positif
x1 et x2
x1 vaut = -b + / 2a soit 240 + 120 / 24 = 15
et x2 vaut : -b - / 2a soit = 240 - 120 / 24 = 5

Posté par
hekla
re : Un souci de boite 27-02-22 à 16:12

Que se passe-t-il dans chacun des cas ?

A-t-on un maximum ?

Posté par
emmaa2
re : Un souci de boite 27-02-22 à 16:14

Donc l'expression de f'(x) est du signe de a à l'extérieur des racines.
Je vous envoie mon tableau de signe en espérant que les racines trouvées précédemment soient justes.

Un souci de boite

Posté par
emmaa2
re : Un souci de boite 27-02-22 à 16:15

hekla @ 27-02-2022 à 16:12

Que se passe-t-il dans chacun des cas ?

A-t-on un maximum ?

C'est à dire ?
cela veut dire que pour 15 et 5 la fonction s'annule non ?

Posté par
hekla
re : Un souci de boite 27-02-22 à 16:18

Il faudrait d'abord les mettre dans l'ordre

Il ne faut pas confondre f et f'

Quel est l'ensemble de définition de x ?

Posté par
emmaa2
re : Un souci de boite 27-02-22 à 16:23

Mettre dans l'ordre les racines ? 5 avant15 oui

Oui lorsque f'(x) est positive la fonction f est croissante et inversement lorsque f'(x) est négative
L'ensemble de définition pour la dérivée ou la fonction ?

Posté par
hekla
re : Un souci de boite 27-02-22 à 16:27

C'est le même ensemble de définition

Pour quelle valeur, le maximum est-il atteint ?

Posté par
emmaa2
re : Un souci de boite 27-02-22 à 16:30

Le maximum est atteint en alpha ?

Posté par
hekla
re : Un souci de boite 27-02-22 à 16:32

Je n'ai point l'heur de connaître

Posté par
emmaa2
re : Un souci de boite 27-02-22 à 16:34

Comment ça ?
= -b / 2a
C'est l'a qu'est atteint le maximum non ?

Posté par
hekla
re : Un souci de boite 27-02-22 à 16:44

On ne parle pas du maximum de f'

  Si l'on reprend
vous avez défini une fonction f qui à  x associe le volume de la boîte.

Vous avez par la suite cherché à étudier cette fonction et pour ce faire dériver et étudier le signe de la dérivée.   Vous avez obtenu ceciUn souci de boite

Pour quelle valeur le maximum est-il atteint  

Posté par
emmaa2
re : Un souci de boite 27-02-22 à 16:47

Et bien.. pour 15 ?
Je ne vois pas trop

Posté par
hekla
re : Un souci de boite 27-02-22 à 16:50

Non si vous découpez un carré de 15 cm il ne vous restera rien donc le volume sera nul.

 x ne peut varier qu'entre 0 et 15.

Posté par
emmaa2
re : Un souci de boite 27-02-22 à 16:53

Et bien comment trouve ton ce maximum compris entre 0 et 15 alors ? Il y a une formule ou c'est de la "logique" ,

Posté par
hekla
re : Un souci de boite 27-02-22 à 17:06

Vous avez montré que la fonction était croissante jusqu'à 5 et qu'ensuite elle était décroissante.
Si on monte d'abord et qu'ensuite on redescend   cela veut bien dire qu'on est passé par un sommet.

C'est l'étude de la fonction qui a permis d'établir cela.

Posté par
emmaa2
re : Un souci de boite 27-02-22 à 17:09

Alors le maximum est atteint en 5 ?

Posté par
hekla
re : Un souci de boite 27-02-22 à 17:13

Oui le volume de la boîte sera maximal lorsque dans chaque angle, on découpera un carré de côté 5 cm.

Les dimensions de la boîte seront alors

Posté par
emmaa2
re : Un souci de boite 27-02-22 à 17:15

Les dimensions de la boîte seront 20x20 ? puisque (30-2x) = 30 - 2x5

Posté par
hekla
re : Un souci de boite 27-02-22 à 17:17

Vous avez oublié une dimension  20\times 20\times 5

Posté par
emmaa2
re : Un souci de boite 27-02-22 à 17:19

Ah oui!
Donc la hauteur est de 5cm, et la largeur et longueur 20 cm
Le volume de la boîte sera alors de 2000cm3

Posté par
hekla
re : Un souci de boite 27-02-22 à 17:21

Oui  

Posté par
emmaa2
re : Un souci de boite 27-02-22 à 17:23

Super, je crois que l'on a finit alors.
Merci beaucoup pour votre aide précieuse.
A bientôt et passer une bonne fin de journée

Posté par
hekla
re : Un souci de boite 27-02-22 à 17:27

Il vous reste à rédiger une solution. Bon courage
De rien  Bonne fin de journée



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