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Un souci de boite
Bonjour à tous, j'ai un exercice de maths à effectuer, sachant qu'en ce moment les chapitres que l'on à étudié sont la dérivation, polynômes du second degré, le début des suites..
Je vous remercie d'avance pour votre aide.
Voici l'énoncé:
On enlève des coins carrés (hachurés sur la figure) à une feuille de carton carrée de côté 30 cm. On replie suivant les pointillés pour obtenir une boîte, sans couvercle. (Je met la figure en pièce jointe)
Question : Déterminer les dimensions d'une telle boîte pour que son volume soit maximal.
Combien vaut alors ce volume ?
Merci d'avance, Emma.
** Fichier supprimé **
*** en image visible directement plutôt que en pdf qu'il faut ouvrir à part ***
Le volume de la boîte est Lxl
Sans enlever les carrés il serait égal à 90cm3
On peut utiliser les polynomes ?
On replie suivant les pointillés pour obtenir une boîte,
si vous ne repliez rien, il n'y a pas de volume.
Quelle serait la hauteur de la boîte ? C'est bien cela qui va varier
Si vous voulez la longueur du côté du carré que l'on enlève, mais dans ce cas il n'y a plus besoin de .
Faites un modèle.
Bien, maintenant vous pouvez écrire le volume de la boîte.
Comme ce volume ne dépend que de vous pouvez alors étudier la fonction qui à
associe son volume.
Développé cela donne 30x - 2x3
Sa forme dérivée est alors f'(x) = 30 - 6x2
Pour avoir le signe de la dérivée on résout f'(x) = 0
Ce qui donne 30 - 6x2 = 0
soit -6x2 = - 30
et x2 = -30/-6 = 5 ?
Donc le signe de la dérivée est positif ? La fonction est alors croissante ?
Ah non je me suis trompée, j'ai oublié le carré pour développer donc ca fausse tout.
Je vais recommencer
f(x) = x(30-2x)2
On a l'identité remarquable (a-b)2
Donc (30-2x)2 est égal à 900 - 120x +4x2 ?
Ainsi x(900 - 120x + 4x2) ?
Ce qui donnerait 900x -120x2 + 4x3
On retrouve bien le polynôme de 3e degré dont vous m'avez parlé ?
Si c'est ceci, la dérivée f'(x) vaut alors : 900 - 240x + 12x2 ?
f'(x) = 0
12x2 - 240x + 900 = 0
On a une expression du second degré donc on peut calculer le discriminant delta
= b2 - 4ac
= (-240)2 - 4 x 12 x 900
= 57 600 - 43 200
= 14 400 = 1202
On a donc deux solutions comme delta est positif
x1 et x2
x1 vaut = -b + 
/ 2a soit 240 + 120 / 24 = 15
et x2 vaut : -b - / 2a soit = 240 - 120 / 24 = 5
Donc l'expression de f'(x) est du signe de a à l'extérieur des racines.
Je vous envoie mon tableau de signe en espérant que les racines trouvées précédemment soient justes.
Que se passe-t-il dans chacun des cas ?
A-t-on un maximum ?
C'est à dire ?
cela veut dire que pour 15 et 5 la fonction s'annule non ?
Il faudrait d'abord les mettre dans l'ordre
Il ne faut pas confondre et
Quel est l'ensemble de définition de ?
Mettre dans l'ordre les racines ? 5 avant15 oui
Oui lorsque f'(x) est positive la fonction f est croissante et inversement lorsque f'(x) est négative
L'ensemble de définition pour la dérivée ou la fonction ?
= -b / 2a
On ne parle pas du maximum de f'
Si l'on reprend
vous avez défini une fonction f qui à x associe le volume de la boîte.
Vous avez par la suite cherché à étudier cette fonction et pour ce faire dériver et étudier le signe de la dérivée. Vous avez obtenu ceci
Pour quelle valeur le maximum est-il atteint
Non si vous découpez un carré de 15 cm il ne vous restera rien donc le volume sera nul.
ne peut varier qu'entre 0 et 15.
Et bien comment trouve ton ce maximum compris entre 0 et 15 alors ? Il y a une formule ou c'est de la "logique" ,
Vous avez montré que la fonction était croissante jusqu'à 5 et qu'ensuite elle était décroissante.
Si on monte d'abord et qu'ensuite on redescend cela veut bien dire qu'on est passé par un sommet.
C'est l'étude de la fonction qui a permis d'établir cela.
Oui le volume de la boîte sera maximal lorsque dans chaque angle, on découpera un carré de côté 5 cm.
Les dimensions de la boîte seront alors
Ah oui!
Donc la hauteur est de 5cm, et la largeur et longueur 20 cm
Le volume de la boîte sera alors de 2000cm3
Super, je crois que l'on a finit alors.
Merci beaucoup pour votre aide précieuse.
A bientôt et passer une bonne fin de journée 
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