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Un triangle dans une parabole
Bonjour,
J'ai un exercice de maths à rendre à la rentrée.
L'énoncé est le suivant :
On considère la parabole P d'équation y= x². Soit D la droite d'équation y = mx + p (où m et p sont deux réels quelconques).
1) Déterminer les coordonnées des points d'intersection de la parabole P et de la droite D.
2) Soit M un point de P sur l'arc de parabole AB.
a) Si M a pour abscisse x, déterminer l'aire du triangle AMB en fonction de x. Conseil : on pourra utiliser les trapèzes AHQM, BPQM et ABPH.
b) Déterminer la position du point M qui rend l'aire de AMB maximale.
J'ai fourni la photo de la figure.
Pour le 1, j'ai calculé les solutions de l'équation suivante : x² - mx - p = 0. ∆ = m² + 4p. x1 = (m + 
m² + 4p) / 2
x2 = (m - m²+4p) / 2.
Et je sais que je dois calculer l'ordonnée de x1 et x2, mais leurs formes sont trop compliquées pour cela. Je suis donc bloquée.
Pouvez-vous m'aider s'il vous plaît ?
Bonjour,
Tu as 2 façons de faire:
y1=x1²=(2m²+4p+2m√(m²+4p))/4=(m²+2p+m√(m²+4p))/2
Ou
y1=mx1+p=..... et tu dois trouver le même résultat.
Même chose pour y2
Donc xA = (m - (m² + 4p))/2
yA = (m² + 2p - m(m² + 4p))/2
Et xB = (m + (m² + 4p))/2
yB = (m² + 2p + m(m² + 4p))/2
C'est bien ça ?
Pour la question 2, il faut calculer l'aire du triangle ABM. Il faut donc faire : aire de ABM = aire de APBPH - (aire de AHQM + aire de BPQM)
J'ai trouvé que pour l'aire de AHQM :
MQ = x²
HQ = (2x - m - (m² + 4p)) / 2
AH = (m² - m(m² + 4p)) / 2
Donc, l'aire de AHQM = 1/2 * (MQ + AH) * HQ. En remplacant par les valeurs, je trouve :
aire de AHQM = 1/2 * (x² + (m² - m(m² + 4p)) / 2) * (2x - m - (m² + 4p)) / 2), mais je n'arrive pas à développer.
Pour HQ, c'est (x-.....) au lieu de (2x-....)
A mon avis, il faut développer en considérant que c'est de la forme (x²+a)(x+b) et obtenir un polynôme de degré 3 en x.
Il faut espérer qu'il va se simplifier en prenant les autres trapèze en compte.
Je ne peux pas t'aider plus. Je suis dans le train sans papier ni crayon...
HQ = x - (m - m(m² +4p)/2)
Donc si on met le x au même dénominateur, ça devient:
HQ = (2x - m - m(m² + 4p)) /2
Non ?
C'est de la folie cette méthode !
Je te propose autre chose ce qui te permettra de vérifier tes calculs dont on peut se demander ce qu'ils cherchent à évaluer (virtuosité technique ?)
1/ Montrer que l'aire est maximale si et seulement si la distance du point M à la droite (AB) est maximale
2/ Montrer que la distance du point M à la droite (AB) est proportionnelle à la valeur absolue de -x²+mx+p
Si tu as vu la formule donnant la distance d'un point à une droite c'est rapide.
Sinon il faut calculer la hauteur MH' du triangle
3/ En déduire la valeur de x pour laquelle l'aire est maximale
Mais je suis bien conscient que ce n'est pas le travail demandé par ton professeur.
Oui c'est vrai, mais je pense que je dois m'en tenir à la méthode qui m'ai donnée. Mais, je suis bloquée sur cette même méthode, en ce qui concerne le calcul des aires:
- Pour l'aire de ABPH: j'ai calculé les longueurs:
AH =(m² + 2p - m(m² + 4p)) /2
BP =(m² + 2p + m(m² + 4p)) /2
HP =(m² + 4p)
J'ai ensuite calculé l'aire: aire de ABPH = 1/2 * (AH + BP) * HP
Mais en développant, je me retrouve coincé à ce niveau: aire de ABPH = (m²(m² + 4p) + 2p(m² + 4p)) /2
- Pour l'aire de AHQM: j'ai également calculé les longueurs
AH =(m² + 2p - m(m² + 4p)) /2
MQ = x²
HQ =(2x - m +(m²+ 4p)) /2
J'ai ensuite calculé l'aire: aire de AHQM = 1/2 * (AH + MQ) * HQ
Mais en développant je me retrouve encore coincé et je n'arrive plus à avancer: aire de AHQM = ((m² + 2p - m(m² + 4p) + 2x²) /4) * ((2x - m +(m² + 4p) /2)
- Enfin pour l'aire de BPQM, j'ai calculé les longeurs:
MQ = x²
BP =(m² + 2p + m(m² + 4p)) /2
QP =(-2x + m +(m² + 4p)) /2 (-> possible qu'il y ai une erreur pour le calcul de QP)
J'ai ensuite calculé l'aire: aire de BPQM = 1/2 * (MQ + BP) * QP
Mais c'est toujours la même galère, je me retrouve une fois de plus coincé à ce niveau:
aire de BPQM = ((2x² + m² + 2p + m(m² + 4p) /2) * ((-2x + m +(m² + 4p) /2)
Voila, comme je suis bloquée dans les calculs de toutes les aires, je ne peux pas calculer l'aire du triangle (et donc je ne peut pas faire la question 2) b)). Alors si quelqu'un (qui n'est pas découragé par cet exercice très énervant 
) peut m'aider.
Tu as tout à fait raison de persévérer !
Je peux d'indiquer une piste:
1/ Appeler a et b les 2 racines. Ne pas utiliser leur expression
2/ Vérifier que a+b=m et que ab=-p
3/ Calculer les aires des 3 trapèzes en fonction de a, de b, de x
4/ Montrer que l'aire du triangle s'écrit sous la forme C(-x²+mx+p)
Il faudra développer puis factoriser par b-a qui est une constante
sauf erreur la constante C vaut sqrt(delta)
5/ Il ne reste plus qu'à étudier les variations de x->-x²+mx+p pour trouver que le maximum est atteint pour x=m/2
Merci beaucoup pour ta méthode ! Je l'ai suivie et j'ai trouvé que l'aire du triangle est égale à :
(-ab² + a²b + b²x - x²b - a²x - x²a) / 2
Par contre, je ne vois pas comment on peut factoriser cela par b-a..
Je suis encore à l'étape 3, mais je me pose une question concernant l'étape 4 : pourquoi est-ce que l'on étudie les variations de -x²+mx+p et non celle de C(-x²+mx+p) ?
Aucun problème tu fais comme tu veux, l'abscisse du maximum sera la même puisque la dérivée de C.g est C.g'
En revanche si veux la valeur du maximum il faut calculer C.g(m/2)
Donc tu as raison étudie d'emblée les variations de C.g
bonsoir 
je suis nouvelle sur ce forum pour cela excuser moi pour les erreurs que je pourrai faire!
je ne comprends pas d'ou sort le " m²-2p-m" dans l'équation suivant yA=(m²-2p-m(m²+4p))/2
enfin je voudrai savoir comment on est passé de:
yA=(m-(m²+4p))2
à: yA=(m²-2p-m(m²+4p))/2
j'attents votre réponse
C'est de la folie cette méthode !
Je te propose autre chose ce qui te permettra de vérifier tes calculs dont on peut se demander ce qu'ils cherchent à évaluer (virtuosité technique ?)
1/ Montrer que l'aire est maximale si et seulement si la distance du point M à la droite (AB) est maximale
2/ Montrer que la distance du point M à la droite (AB) est proportionnelle à la valeur absolue de -x²+mx+p
Si tu as vu la formule donnant la distance d'un point à une droite c'est rapide.
Sinon il faut calculer la hauteur MH' du triangle
3/ En déduire la valeur de x pour laquelle l'aire est maximale
J'ai peu d"espoir que alb12 lise une réponse à ce vieux message mais sait-on jamais. J'ai ce même problème sinon qu'il est précisé que a<0<b. et n'ayant pas étudié les trapèzes ou les dérivés, seulement les vecteurs et produits scalaires avec lesquels j'ai du mal, je pense que cette méthode est tout à fait adaptée. J'ai déjà le résultat en tête puisqu'il est simple de déduire que l'aire est maximale quand m = (a+ b)/2 sans valeur absolue si je ne me trompe pas. Je l'ai fait tout simplement dans Geogebra pour vérifier quelle position du point M maximisait l'aire et en observant la relation entre les abscisses. Note, j'appelle a, b et m les abscisses de mes point A B et B ici.
Mais je n'arrive pas à démontrer. Je ne sais pas calculer la distance d'un point à (AB) (pas encore étudié: je ne veux pas appliquer une formule toute faite pas encore étudiée en cours) donc je me sers de la hauteur du triangle. La base est le segment AB et donc b = |a-b| et donc puisque Aire = (bxh)/2 et que la base est un nombre positif, maximiser l'aire revient à maximiser la hauteur et donc la distance entre M et le point que vous appelez H' ici je crois.
Mais je ne comprends pas "2/ Montrer que la distance du point M à la droite (AB) est proportionnelle à la valeur absolue de -x²+mx+p". Poser x2=nx+p (j'utilise n pour ne pas confondre avec l'abscisse du point M) revient simplement à trouver les points d'intersection du la parabole et la droite (AB), non? Or ces points, je les connais: c'est A(a,a2 )et B(b,b2). Je n'arrive pas à faire le lien vers la valeur absolue de -x²+nx+p.
J'ai aussi une vague notion que la hauteur du triangle peut être représentée par le projeté orthogonal de M sur AB et que je peux en tirer des conclusions mais je ne vais pas plus loin, me demandant s'il s'agit là d'une alternative éventuelle pour ma réponse ou d'une autre manière de procéder dans l'explication de alb12.
Voilà. Je pense que que tape tout cela dans le vide un lundi de Pâques mais ça fait du bien quand même. Et merci à alb12 d'avoir proposé cette méthode qui me parait parfaite...mais que je n'arrive pas à mener à bien.
Bonjour
je n'ai pas lu tous les échanges pour le moment
mais je vois qu'en tant que parent d'élève vous postez toujours en 1re
n'utilisez pas la même lettre pour 2 choses différentes
dans les échanges a et b ont été introduits par alb12, ce sont les solutions d'une équation bien particulière
pour ça
Mais je ne comprends pas "2/ Montrer que la distance du point M à la droite (AB) est proportionnelle à la valeur absolue de -x²+mx+p". (voir le lien du fichier plus bas)
l'aire du triangle vaut 1/2*base AB*MZ si j'appelle Z le projeté de M sur (AB)
si je multiplie la hauteur par k, l'aire du triangle est multipliée par k, et inversement
non ?
ensuite une distance est toujours positive, donc une valeur absolue n'est pas incongrue
voilà quelques pistes, mais je pense que la solution ne viendra qu'en écrivant tout de A à Z sur son papier
je vous mets un lien vers un fichier qui va vous mettre sur la voie pour calculer la distance d'un point à une droite dans le plan
Calcul de distances dans le plancela devrait vous ouvrir quelques horizons...
edit
Merci beaucoup malou.
En fait, je retrouve la valeur absolue dans mes "calculs", effectivement, simplement en énonçant de que représente la base, dans mon premier message. Je pense que je montre aussi dans mon premier message qu'effectivement, maximiser l'aire revient à maximiser la hauteur. C'est la relation avec l'équation de la droite que je ne saisis pas, sinon pour trouver les points intersection entre la parabole et la courbe, mais je crois que cela deviendra moins opaque quand j'aurai utilisé la distance d'un point à une droite, que je ne pensais pas utiliser. Mais en fait, la fiche montre bien que raisonner en terme de projeté orthogonal revient au même: parfait. Merci beaucoup d'avoir pris le temps de répondre un jour férié. J'apprécie d'autant plus.
Je vais effectivement tout réécrire!
Bonne soirée.
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