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Une étude de fonction
Exercice1)
Soit f la fonction défini sur R \ {-2} par : (2x-4) / (x+2)
On note Cf la courbe représentative de la fonction f dans le repère ci-dessous.
1. Dans le repère ci-dessous, construire (en bleu) les deux droites (d1) et (d2) d'équations respectives y = 2 et x = -2, ainsi que la droite Δ d'équation y = 2x -2 (en rouge).
2. Soit a et b deux réels de l'intervalle ] - ∞; -2[.
a) Montrer que f (a) - f (b) = 8(a-b) / (a+2) (b+2).
b) En déduire que, si a < b alors f (a) - f (b) < 0.
c) Quel est le sens de variation de la fonction f sur l'intervalle ] - ∞; -2[ ? Justifier.
d) Montrer que la fonction f est strictement croissante sur l'intervalle ] -2 ; + ∞[.
3. Etudier la position relative de la courbe Cf et de la droite (d1).
4. Etudier la position relative de la courbe Cf et de la droite Δ.
5. a) Compléter le tableau de valeur ci dessous.
b) Construire le plus précisément possible la courbe Cf dans le repère ci-dessus.
tu n'es pas nouveau (velle) sur notre site et tu dois en connaître les habitudes...
Sujet ancien- ne plus donner ce lien-merci
pourquoi manquent-ils les points 0 et 4 ?
(modération)
bonjour voici ce que j'ai fait.
2.
a)
a < b <-2
f(a) = 2a-4 / a+2 f(b) = 2b -4 / b+2
f(a) - f(b) = (2a -4 / a+2) - (2b -4 / b+2)
= ( (2a -4 )(b+2) / (a+2)(b+2)) - ((2b - 4)(a+2) / (b+2)(a+2))
= (2ab + 4a - 4b - 8 - (2ba + 4b - 4a - 8)) / (( a + 2)(b +2))
=( 8a - 8b) / (( a + 2)( b + 2))
= (8 ( a - b )) / ((a + 2 ) (b+2))
b)
a < b a < -2 b < -2
a-b < 0 a + 2 < 0 b + 2 < 0
f(a) - f(b) = (8 ( a - b) / (( a + 2)( b + 2))
f(a) - f(b) < 0
donc f(a) < f(b)
c)
a < b
f(a) < f(b)
Il y a concervation du sens donc f(x) est croissant sur ] - ∞; -2[
d)
-2 < a < b
a < b -2 < a -2 < b
a - b < 0 0 < a + 2 0 < b + 2
f(a) - f(b) = ( 8( a - b )) / (( a + 2)( b+ 2))
f(a) - f(b) < 0
Donc f(a) < f(b)
Il y a concervation du sens donc f(x) est croissant sur ] -2; + ∞[
3.
f(x) - 2 = ( 2x - 4 / x + 2) - 2
= ( 2x - 4 - 2 ( x + 2)) / x+2
= 2x - 4 +2x - 4 / x + 2
= -8 / x +2
sur ] - ∞; -2 [ a < b < -2
f(a) = -8 / a + 2 f(b) = -8 / b+ 2
f(a) - f(b) = ( -8 / a+2) - ( -8 / b+2)
= ( -8 ( b + 2 ) +8 ( a + 2 )) / (( a - 2 ) ( b -2 ))
= 8 (a - b ) / (( a - 2) ( b - 2 ))
4.
f(x) - y = ( 2x - 4 / x + 2 ) - (2x - 2 )
= ( 2x - 4 - ( 2x - 2 ) ( x + 2 )) / x+ 2
= ( 2x - 4 - ( 2x ^2 + 4x - 2x - 4 )) / x+ 2
= (2x - 4 - 2x ^2 - 4x + 2x + 4) / x +2
=-2x^2 / x + 2
a < b < -2
-2a^2 > -2 b^2 > -8
a< b < -2
1/a > 1/b > -1/2 f(a) < f(b) donc f est au dessus de delta.
-2 < a < b f(a) > f(b) donc f est en dessous de delta
5.
x -10 -6 -4 -3 -1 0 2 6 14
f(x) 3 4 6 10 -6 -2 0 1 3/2
pouvez vous me dire si mes résultats sont bons svp. Par avance merci.
Bonsoir
un problème dans le texte si
si ou si
la fonction est bien croissante
3
si
par conséquent la courbe est en dessous de d1
si
donc la courbe est au dessus de la droite
pas besoin de a et b
4
même conclusion courbe au dessus de
courbe au dessous de
5 oui
bonjour, vous répondez à quelle question? Merci pour votre aide.
un problème dans le texte si a<-2<b
si a<b<-2 ou si -2<a<b la fonction est bien croissante.
b) En déduire que, si
on ne peut pas affirmer dans ce cas que
puisque
c'est bien pour cela qu'il faut que les deux appartiennent au même intervalle
on ne dit pas que
je ne peux continuer à répondre aujourd'hui s'il y a besoin je reviens demain
je n'ai pas dit cela ce sont plutôt des détails et des questions de rédaction
question 2a) pas de problème
question 2b) il n'y a pas de problème j'ai oublié que vous ne travaillez que sur pour a) b) et c)
par conséquent pas de problème de texte
j'écrirais plutôt b)
f(a) - f(b) = (8 ( a - b) / (( a + 2)( b + 2))
a < b a < -2 b < -2
a-b < 0 a + 2 < 0 b + 2 < 0
f(a) - f(b) < 0
la question s'arrête là
c) d'après la question précédente on a donc f(a) < f(b)
a<b entraîne f(a)<f(b) Il y a conservation du sens donc f est croissante sur ] - ∞; -2[
d)-2 < a < b
f(a) - f(b) = ( 8( a - b )) / (( a + 2)( b+ 2))
a < b -2 < a -2 < b
a - b < 0 0 < a + 2 0 < b + 2
f(a) - f(b) < 0
Donc f(a) < f(b)
Il y a conservation du sens donc f est croissante sur ] -2; + ∞[
à quelques détails près c'est bien ce que vous avez écrit
question 3
Étudions le signe de f(x)-2
f(x) - 2 = ( 2x - 4 / x + 2) - 2
= ( 2x - 4 - 2 ( x + 2)) /( x+2)
= (2x - 4 +2x - 4 )/ (x + 2)
= -8 / (x +2)
si donc
par conséquent la courbe est en dessous de d1
si donc
donc la courbe est au dessus de la droite d1
il n'y a rien d'autre à ajouter vous avez bien étudié la position de la courbe par rapport à d1
question 4
étudions le signe de
pour tout donc le signe de
est celui de
si donc
par conséquent la courbe est en dessous de
si donc
donc la courbe est au dessus de la droite
lorsque vous écrivez en ligne n'oubliez pas les parenthèses
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