Bonjour,

1) L'heure associée à t3 est fausse !!
En effet : 97/12 = 96/12 + 1/12 = 8 + 1/12.
Il reste donc à convertir 1/12 en minutes, ce qui donne 1/12 * 60 = 5.
Ainsi : 97/12 => 8h05min.

2) Ok.
3)Le point J est la position de départ.
Le point G étant l'aiguille des minutes, pour chaque heure, elle aura fait un tour complet dans le sens des aiguilles d'une montre. Ainsi : (OJ;OG) = -2pi (2pi).

Le point P étant l'aiguille des heures, lorsque le point G aura fait un tour, le point se déplace d'1/12 de tour dans le sens des aiguilles d'une montre. Ainsi :
(OJ;OP) = (-2pi*t/12).

Je reviens dans un instant pour la suite de l'exercice.

D'ailleurs, je remarque une petite erreur d'écriture dans ta question 3.
C'est  (vecteur OJ, vercteur OG)= -2πt (2π), et non -2 tout court...

Suite :

4) Ok. En effet :
(vecteur OJ, vercteur OG)=-(122π/6) (2π) et (vecteur OJ; vecteur OP)=-(122π/72) (2π).
Ainsi :
(OG;OP) = (OJ;OP) - (OJ;OG) = -122pi/72 + 122pi/6 = 671pi/36 = 18pi + 23pi/36.
Donc angle principal = 23pi/36.

5) Ce n'est l'angle principal que tu donnes là, car 29pi/24 > 1 !!
Ici t = 13 + 45/60 = 55/4.
Donc :   (vecteur OJ, vercteur OG)=-(110π/4) (2π) et (vecteur OJ; vecteur OP)=-(110π/48) (2π).
Ainsi :
(OG;OP) = (OJ;OP) - (OJ;OG) = -110pi/48 + 110pi/4 = 605pi/24 = 25pi + 5pi/24.
Donc angle principal = 5pi/24.

6) Ok.

Je continue à réfléchir pour les autres questions...

7) Si (OG;OP) = 0 (2pi), alors les points O, G et P sont alignés et les vecteurs OG et OP sont donc colinéaires !!...

Or :
(vecteur OJ, vercteur OG)= -2 (2)  et (vecteur OJ; vecteur OP)=-(2πt/12).
Et donc : (OG;OP) = 0 (2pi) <=> (OJ;OG) = (OJ;OP)

=> -2πt + 2kπ = -πt/6
<=>2kπ = 2πt - πt/6
<=> 2kπ = 11πt/6
<=> t = (6*2kπ) / 11π = (12/11)k.

Merci beaucoup beaucoup! Vous m'avez rendu un grand service. Je vais prendre maintenant le temps de lire tout ce que vous m'avez donné.


Pour la question 3) c'est bien -2pi t

J'ai un petit problème... Je ne comprend pas pour cela fait (25pi+5pi)/24 => angle principal = 5pi/24

OG;OP) = (OJ;OP) - (OJ;OG) = -110pi/48 + 110pi/4 = 605pi/24 = 25pi + 5pi/24.
Donc angle principal = 5pi/24.

Par définition d'une mesure principale, celle-ci doit se situer dans l'intervalle ]-π;π].

Or la réponse que tu donnes (29π/24) ne se situe pas dans l'intervalle !! En effet c'est plus grand que π.
Sinon je me suis trompé sur ma mesure principale. On a plutôt :

Or 605π/24 = 624π/24 - 19π/24 = 26π - 19π/24 = 13*2π - 19π/24.
La mesure principale est alors de -19π/24 (et non pas 5π/24).
(Il faut l'écrire sous la forme +k*2π avec kZ).

Comment passe-t-on  de 624π/24 - 19π/24 à
26π - 19π/24 = 13*2π - 19π/24.

Pourriez-vous m'aider s'il vous plaît pour la suite?  J'ai essayé de faire un tableau pour la question huit .

Ah non merci! J'ai bien compris comment on passe de 624 à 26 .
Mais pourquoi nous ne prenons pas 13*2pi ?

J'ai pas compris la notation

-19π/24 est la mesure principale.
k*2π signifie modulo 2π.
13*2π signifie alors qu'on a effectué 13 fois le tour du cercle trigonométrique.

605π/24 est égale à la mesure principale (-19π/24) auquel on a rajouté 13 fois le tour du cercle. (13*2π)

De plus par définition d'une mesure principale, celle-ci est toujours comprise dans l'intervalle ]-π;π]. Et il est clair que -19π/24 est bien compris dans cet intervalle.

Ah merci beaucoup j'ai bien compris.

Par contre la suite ,
J'ai une indication :  choisir des entiers k  puis calculer t  tant que t  est compris entre 0 et 24.   Pourra également regrouper les résultats dans un tableau.
Donc j'ai essayé de faire un tableau

Merci pour ce post stephane185.  J'ai le même Dm sue toi

Et merci à vous fenamat.  Grâce à vous j'ai très bien compris mon DM,  de plus j'avais un même problème que  Stephane185  pour la même question mais par contre moi  C'est la 4)b).
Merci pour toutes vos explications je suis ce poste  Depuis hier,  vos postes sont très très compréhensible.

Je t'en prie 😊!

Pourrais-tu alors m'aider avec Fenamat stp ?

Je suis d'accord avec vous  mais nous devrons alors mettre le 13 car nous faisons 13 tour avec modulo de pi?

@fenamat

@stephane185 : mettre le 13 ne sers pas à grand chose, car en effectuant 13 fois le tour du cercle, tu retombes toujours sur la mesure principale !!

-19π/24 est aussi égal à -19π/24 + 2π = -19π/24 + 48π/24 = 29π/24, etc...
Tu avais écrit 29π/24. C'est en effet le même point, mais pas la mesure principale...

Merci beaucoup beaucoup pour vos aides.
Donc ai-je raison d'avoir fait un tableau pour la question 8) car @Delp a pour indication aussi de faire un tableau.

Moi de mon côté j'ai fait un tableau avec des nombre impaires car j'ai pi et 1pi est impaire.

Question 8 :
En effet faire un tableau est préférable car il y a beaucoup de possibilités...

Il faut tester chaque valeur de k :

k=0 => t = 0h (minuit)
k=1 => t = 12/11 à convertir en h, min et s, soit donc 1h05min27,27s
k=2 => t = 24/11 = 2h10min54,54s
....
k=11 => t = 12 (midi)
...
k=22 => t=24 (on revient à minuit)

Au final, il y a 22 possibilités pour lesquelles les aiguilles sont superposées.

Merci,  j'ai trouvé aussi 22 possibilités mais j'e n'en était pas du tout sûr de moi.

Pour la question 9)
J'ai tout simplement pas du tout du tout compris, car ici c'est symétrique à O

9) A présent, on souhaite déterminer les heures de la journée pour lesquelles les aiguilles sont symétriques par rapport à O.
Donc : (OG;OP) = -π

<=> -11πt/6 + 2kπ = -π
<=> 2kπ + π = 11πt/6
<=> π(2k+1) = 11πt/6

<=> t = 6(2k+1) / 11 avec kZ.

Puis rebelote...
k=0 => t = 6/11.
k=1 => t = 18/11.
...
k=16 => t = 18h
...
k=21=> t = 258/11.

Au final, 22 possibilités aussi pour lesquelles les aiguilles sont symétriques par rapport au point O.

Je reviens à la question 8, un résumé des heures possibles sous forme de tableau :

Merci, et je fait de même pour la dernière ?

10) La dernière question est beaucoup plus pénible en terme de calculs, mais la méthode reste la même.

On souhaite déterminer les heures de la journée pour lesquelles les aiguilles sont perpendiculaires.

Donc ici, on a cette fois ci 2 cas à distinguer :
1) (OG;OP) = -π/2
2) (OG;OP) = -3π/2.

Pour le 1er cas, on a ainsi :
-11πt/6 + 2kπ = -π/2
...
t = (3+12k) / 11 (k Z) après calcul.

Pour le 2e cas, on a :
-11πt/6 + 2kπ = -3π/2
...
t = (9+12k) /11  (k Z) après calcul.

Puis rebelote...
1er cas :
k=0 => t = 3/11
k=1 => t = 15/11.
...
k=21 => t = 255/11.

=> 22 possibilités pour ce cas donc.

2e cas :
k=0 => t = 9/11
k=1 => t = 21/11
...
k=21 => t = 261/11.

=> 22 possibilités aussi.

Au final, il y a 44 possibilités pour lesquelles les aiguilles sont perpendiculaires.

Certes, les calculs de cette question sont très longs et pénibles à faire...
Mais concernant la méthode cela n'est pas compliqué à comprendre.

Merci beaucoup,

Lors ce que je ressens sur la question trois j'ai un petit blocage,  je ne vois pas pourquoi le point P se déplace d'1/12 de tour dans le sens des aiguilles.

Pour la question 4) l'angle en radian entre les deux aiguilles est 18pi+23pi/36.

Et pour la 5)
13*2π - 19π/24.

?

4) Oui, tu peux aussi écrire : 671pi/36 = 18pi+23pi/36.

5) Idem tu peux écrire 605pi/24 = 26pi - 19pi/24.

pour la question : pourquoi le point P se déplace d'1/12 de tour dans le sens des aiguilles ?

Car la petite aiguille fait 1 tour en 12 h donc (OJ, OP) = -2pi
Ainsi en 1 heure, elle fait : (OJ, OP) = -2pi / 12
et en t heures, elle fait : (OJ, OP) = -2pi * t / 12.

Bonjour
le multicompte n'est pas autorisé sur l'île
stephane185 / Delp merci d'en désactiver un des deux si tu ne veux pas te faire bannir

Bonjour à tous, excusez moi de vous déranger, serait-ce possible que quelqu'un m'aide pour mon DM s'il vous plaît?
Mon DM repose sur le même sujet ci-dessus avec le même shéma, mais mes questions sont un peu diffèrentes les voici:

1a) Donner la valeur associé ( à la seconde près) à chacune des valeurs de t: t1 = 3,5 t2= 19,63 et t3=97/12

b) Donner la valeur exacte de t assoiée aux heures suivantes: h1=17h10 h2= 06h55 h3= 23h12.

2a) Quel est l'angle ( vecteur)(OJ,OG) parcourue en une heure ? Quel est l'angle (vecteurOJ,OP) parcouru en une heure?

b) En déduire que pour un temps t quelconque on a :
                 (vecteurOJ, OG)= -2t [2] et (vecteurOJ,OP)= [2].  

3a) Il est 10h10 . Calculer l'angle, en radian, entre les deux aiguilles. En donner la mesure principale.

b) Même question pour 13h45.

4a) Montrer que pour 0 t< 24 on a (  vecteur OJ,OP) =

b) Montrer que si ( veut OJ, OG)= 0 [2], alors il existe un entier k tel que t =

Indication: que signifie " = 0 [2]"?

c) En déduire à quelles heures de la journée les aiguilles sont superposées. On donnera les réponses à la seconde près.
Indication: choisir des entiers k, puis calculer t tant que t est compris entre 0 et 24. On pourra également regrouper les résultats dans un tableau.

5) En s'inspirant de la méthode de la question 4), déterminer les heures de la journée pour lesquelles les aiguilles sont symétrique par rapport à O.

6) De même, déterminer les heures de la journée pour lesquelles les aiguilles sont perpendiculaires.
Voila.
J'ai fait les deux premières questions mais à la question 2a) je suis complètement bloquée, je vous remercie d'avance !!

Bonjour Sohia,

2a) Pour répondre à cette question, c'est assez immédiat !!
Ton vecteur OG représente l'aiguille des minutes.
Donc en 1h, combien de tour aura parcouru ton aiguille des minutes ?

Bonjour fenamat86,
Il a fait 1 tour en une heure

Très bien !
Et donc à quel angle correspond un tour de cadran ?

1 tour correspond à 360°

Donc pour l'aiguilles des heures OP ca fait 15° ?!

On demande l'angle en radians ici, pas en degrés !!
Donc tu sais que le vecteur OG va parcourir un tour de cadran en 1h.

Donc l'angle (OJ;OG) = -2 (1 tr fait 2 rad, mais comme on tourne dans le sens indirect du cercle trigo, il y a un signe "-" devant)

De même, le vecteur OP parcourt 1/12 de tour en 1h.
Donc l'angle (OJ;OP) = -/12 rad.

Ah je pensait que c'était en degré, c'est pas préciser dans mon sujet, merci beaucoup !

Et donc pour la question 2b) je dois prendre en considèration [2 pi] ? donc je dois rajouter un tour et calculer le temps t

Oui.
Le point G étant l'aiguille des minutes, pour chaque heure, elle aura fait un tour complet dans le sens des aiguilles d'une montre.
Ainsi : (OJ;OG) = -2pi*t (2pi).

Le point P étant l'aiguille des heures, lorsque le point G aura fait un tour, le point se déplace d'1/12 de tour dans le sens des aiguilles d'une montre. Ainsi :
(OJ;OP) = (-2pi*t/12) (2pi).

D'accord mais pour  la b) Même question pour 13h45. j'ai trouver -715pi/24  alors que vous vous avez trouver 605pi/24 ?!

ah noon en faite c'est bon !! je me suis trompée

"Or 605π/24 = 624π/24 - 19π/24 = 26π - 19π/24 = 13*2π - 19π/24"
Excusez-moi je vous dérange encore ... vous pouvez m'expliquer ce calcul s'il vous plaît, j'ai pas compris

Tu es d'accord que est l'angle formé par les 2 aiguilles lorsqu'il est 13h45.

Or cet angle n'est pas la mesure principale !! En effet, par définition, la mesure principale est un angle appartenant à l'intervalle ]-;]. Ce qui n'est pas le cas ici.

Donc, déterminons la mesure principale de l'angle .
On cherche alors k de telle sorte que :
La méthode pratique la plus simple et facile est de faire la division euclidienne de 605 par 24. On a donc : 605 = 24*25 + 5

On a donc en multipliant par et en divisant les 2 membres par 24 :

.

Or ici on a un multiple impair de !!
On pose alors 25=26-.
Et ainsi :

(on a donc k=13)

Par conséquent, la mesure principale de est bien .

D'accord ! MERCI BEAUCOUP POUR VOTRE AIDE!
Et je vous souhaite une BONNE ANNEE!:D

Bonne annee 2017 aussi !!