Bonsoir à tous !
j'aurais besoin de votre aide pour résoudre un problème . L'énoncé est le suivant :
a
+.f est la fonction numérique difinie par:
lim F(x)=(1-sin x)(1-sin²x)....(1-sinªx)/cos²ªx
xπ/2
bonjour
F(x)=[(1-sinx)/cos²x]*[(1-sin²x)/cos²x]*...*[(1-(sinx)^a)/cos²x]
en effectuant le changement de variable X=x-Pi/2 alors limF(x)=limF(X) quand X tend vers 0 et
F(x)=[(1-sin(X+pi/2)/cos²(X+Pi/2)]*[(1-sin²(X+Pi/2)/cos²(X+Pi/2]*...*[(1-(sin(X+Pi/2))^a)/cos²(X+Pi/2)]
Chaque terme Gp(X)=[(1-sin^p(X+Pi/2))/cos²(X+Pi/2)] se simplifie en utilisant les formules sin(X+Pi/2)=cos(X) et cos(X+Pi/2)=-sinX et devient
Gp(X)=[(1-cos^p(X))/sin²(X)]
On a F(x)=G1(X)*G2(X)*...*Gn(X)
Gp(X)=[(1-cos^p(X))/X²]*[X²/sin²(X)]
=(X/sinX)²[(1-cosX)/X²][1+cosX+cos²X+...+(cos(X))^(p-1)]
tu as lim(X/sinX)=0 quant X tend vers 0 et lim(1-cosX)/X²=1/2 quand X tend vers 0
donc
limGp(X)=1*(1/2)*(1+1+...+1) ; p termes égaux à 1
=p/2 quand X tend vers 0
donc
limF(X)=(1/2)*(2/2)*(3/2)*...*(a/2)
=(1*2*3*...*a)/2^a
=a!/2^a quant X tend vers 0
comme limF(x)quandxtend vers Pi/2=limF(X)quand Xtend vers0
donc
limF(x)=a!/2^a quand x tend vers Pi/2
On t'a vraiment proposé ce problème en 1èreS?
Effectivement c'est une limite difficile.
En fait il faut décomposer un peu F(x)
Quand a=1
F(x)=(1-sin x)/cos²x
a=2
F(x)=[(1-sin x)/cos²x] * [(1-sin² x)/cos²x]
a=3
F(x)=[(1-sin x)/cos²x] * [(1-sin² x)/cos²x] * [(1-sin3 x)/cos²x]
etc...
En fait je propose seulement une écriture différente mais c'est F(x)
Tu remarques alors que si tu sais calculer
lim (x->Pi/2) [(1-sinn x)/cos²x] avec n alors c'est gagné parce qu'après c'est juste un produit de limites.
Donc on va travailler un peu la dessus, on va l'appeller gn(x)
gn(x)=(1-sinn x)/cos²x = (1-sinn x)/(1-sin²x) Ca c'est une identité trigonométrique : cos² + sin²=1
Ensuite tu t'interesses au numérateur :
Tu sais que 1-xn=(1-x)(1+x+x²+..+xn-1)
Tu appliques ça en remplaçant x par sin x
(1-sinn x)=(1-sin x)(1 + sin x + sin² x+..+sinn-1x)
Ok
Bon ton dénominateur c'était 1-sin²x = (1-sin x)(1 + sin x) ça c'est l'identité remarquable
Ensuite en simplifiant on obtient alors
gn(x)=(1 + sin x + sin² x+..+sinn-1x)/(1+sin x )
Donc en passant à la limite (ici plus de problème)
gn(x)=n/2
Donc au final ta limite pour F(x) c'est le produit de ces limites pour n allant de 1 à a
Soit:
limite = a!/2a
Le point d'exclamation c'est la factorielle. Si jamais tu ne la pas vu, c'est très bête, c'est juste le produit des entiers de 1 à a ou encore
1*2*3*4*5*..*a
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