bonjour

F(x)=[(1-sinx)/cos²x]*[(1-sin²x)/cos²x]*...*[(1-(sinx)^a)/cos²x]

en effectuant le changement de variable X=x-Pi/2 alors limF(x)=limF(X) quand X tend vers 0 et
F(x)=[(1-sin(X+pi/2)/cos²(X+Pi/2)]*[(1-sin²(X+Pi/2)/cos²(X+Pi/2]*...*[(1-(sin(X+Pi/2))^a)/cos²(X+Pi/2)]

Chaque terme Gp(X)=[(1-sin^p(X+Pi/2))/cos²(X+Pi/2)] se simplifie en utilisant les formules sin(X+Pi/2)=cos(X) et cos(X+Pi/2)=-sinX et devient
Gp(X)=[(1-cos^p(X))/sin²(X)]

On a F(x)=G1(X)*G2(X)*...*Gn(X)

Gp(X)=[(1-cos^p(X))/X²]*[X²/sin²(X)]
     =(X/sinX)²[(1-cosX)/X²][1+cosX+cos²X+...+(cos(X))^(p-1)]
tu as lim(X/sinX)=0 quant X tend vers 0 et lim(1-cosX)/X²=1/2 quand X tend vers 0
donc
limGp(X)=1*(1/2)*(1+1+...+1)  ; p termes égaux à 1
        =p/2 quand X tend vers 0
donc
limF(X)=(1/2)*(2/2)*(3/2)*...*(a/2)
       =(1*2*3*...*a)/2^a
       =a!/2^a  quant X tend vers 0
comme limF(x)quandxtend vers Pi/2=limF(X)quand Xtend vers0
donc
limF(x)=a!/2^a quand x tend vers Pi/2

On t'a vraiment proposé ce problème en 1èreS?

Effectivement c'est une limite difficile.

En fait il faut décomposer un peu F(x)

Quand a=1

F(x)=(1-sin x)/cos²x

a=2

F(x)=[(1-sin x)/cos²x] * [(1-sin² x)/cos²x]

a=3

F(x)=[(1-sin x)/cos²x] * [(1-sin² x)/cos²x] * [(1-sin³ x)/cos²x]

etc...

En fait je propose seulement une écriture différente mais c'est F(x)

Tu remarques alors que si tu sais calculer

lim (x->Pi/2) [(1-sinⁿ x)/cos²x] avec n alors c'est gagné parce qu'après c'est juste un produit de limites.

Donc on va travailler un peu la dessus, on va l'appeller g_n(x)

g_n(x)=(1-sinⁿ x)/cos²x = (1-sinⁿ x)/(1-sin²x)   Ca c'est une identité trigonométrique : cos² + sin²=1

Ensuite tu t'interesses au numérateur :

Tu sais que 1-xⁿ=(1-x)(1+x+x²+..+x^n-1)

Tu appliques ça en remplaçant x par sin x

(1-sinⁿ x)=(1-sin x)(1 + sin x + sin² x+..+sin^n-1x)

Ok

Bon ton dénominateur c'était 1-sin²x = (1-sin x)(1 + sin x) ça c'est l'identité remarquable

Ensuite en simplifiant on obtient alors

g_n(x)=(1 + sin x + sin² x+..+sin^n-1x)/(1+sin x )

Donc en passant à la limite (ici plus de problème)

g_n(x)=n/2

Donc au final ta limite pour F(x) c'est le produit de ces limites pour n allant de 1 à a

Soit:

limite = a!/2^a

Le point d'exclamation c'est la factorielle. Si jamais tu ne la pas vu, c'est très bête, c'est juste le produit des entiers de 1 à a ou encore

1*2*3*4*5*..*a

Bon et bien il aura deux versions...!

mercie beucoup