Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Accueil l'île des mathématiques Forum de mathématiquesListe de tous les forums de mathématiques LycéeOn parle exclusivement de maths, niveau lycée. PremièreForum de première Géométrie analytiqueTopics traitant de géométrie analytique [tout]Lister tous les topics de mathématiques
Niveau première
Partager :

Une relation métrique dans un triangle

Posté par
Iris 24-04-08 à 22:28

bonjour,

Je veux juste de votre aide, ça serait sympa...


Un triangle ABC est donné
On se propose de déterminer à l'aide de la geometrie analytique une relation entre les longuers des cotés d'un triangle et celle d'une mediane de ce triangle.
On défini un repére orthonormal (0; i; j) tel que O soit le milieu de [BC] et "i" le vecteur unitaire colinéaire à vecteurBC et de sens contraire.
On note (a;a') les coordonnées de A et (b;0) celles de B.

1) a)Quelles sont les coordonnées de C ?

O est au milieu de BC, donc tu peux donner sa coordonnée en fonction de b.
donc C (c;0)


- Déterminer les coordonnées de AB et de AC en fontion de a,a' et b

Je crée 2points D et E non ?

En déduire vecteur AB²+ vecteur AC² en fonction de a,a' et b.


AB² + AC² = (AO + OB)² + (AO - OB)²
= 2AO² + 2OB² + 2AO . OB - 2AO . OB = 2AO + 2 OB

or  OB  = CB/2, donc OB² = CB²/4 et l'on obtient AB² + AC² = 2AO² + CB²/2


b) Déterminer AO²+OC² puis comparer AB²+AC² et AO²+OC²

c)  En déduire la détermination du carré de la longueur de la médiane issue de A du triangle ABC en fonction de la longueur des cotés de ce triangle. (Je ne comprends pas exactement..)

d) Généraliser le résultat précédent à la détermination des deux autres médianes du triangle ABC


Merci d'avance pour votre aide !

Posté par
Irisre : Une relation métrique dans un triangle 24-04-08 à 22:50

Voici le petit schèma

Une relation métrique dans un triangle

Posté par
Irisre : Une relation métrique dans un triangle 24-04-08 à 23:08

Posté par
dhaltere : Une relation métrique dans un triangle 24-04-08 à 23:08

Pas très orthonormé

Iris :: On te demnde une résolution "analytique". Tu as utilisé Chasles et les règles de calcul des produits scalaires pour arriver au résultat dès la question b). Celui-ci est juste , mais comme tu n'as pas suivi le plan de l'exercice, tu ne sais plus quoi faire à la question c)

Posté par
Irisre : Une relation métrique dans un triangle 24-04-08 à 23:19

AO²+OC² = (AB + BO)² + ( OB + BC)²
= 2AB² + 2BC² + 2AB . BO - 2AB . BC = 2AB + 2BC

or BC = CO/2, donc BC² = CO²/4 et l'on obtient AO² + OC² = 2AB² + CO²/2

Posté par
Irisre : Une relation métrique dans un triangle 24-04-08 à 23:30

non?

Posté par
dhaltere : Une relation métrique dans un triangle 25-04-08 à 14:25

Iris, ton problème est que tu tentes d'utiliser la méthode algébrique (avec les vecteurs, les produits scalaires, la relation de Chasles), et en plus, tu fais des erreurs de cacul, alors que l'exercice te demande de suivre une voie "analytique" (avec les coordonnées).

Voici la méthode algébrique :
on utilise le fait que 4$ \vec{BO}=\frac12\vec{BC}
Première étape
4$ \vec{AO}^2 = (\vec{AB}+\vec{BO})^2
4$ \vec{AO}^2 = (\vec{AB}+\frac12\vec{BC})^2
4$ \vec{AO}^2 = \vec{AB}^2+\vec{AB}\vec{BC}+ \frac14\vec{BC}^2

Deuxième étape
on utilise le fait que 4$ \vec{CO}=\frac12\vec{CB}
4$ \vec{AO}^2 = (\vec{AC} + \vec{CO})^2
4$ \vec{AO}^2 = (\vec{AC} + \frac12\vec{CB})^2
4$ \vec{AO}^2 = \vec{AC}^2 + \vec{AC}\vec{CB} + \frac14\vec{CB}^2
et on utilise le fait que 4$ \vec{CB} = -\vec{BC}
4$ \vec{AO}^2 = \vec{AC}^2 - \vec{AC}\vec{BC} + \frac14\vec{BC}^2

On ajoute les membres de deux équations suivantes
4$ \vec{AO}^2 = \vec{AB}^2 + \vec{AB}\vec{BC} + \frac14\vec{BC}^2
4$ \vec{AO}^2 = \vec{AC}^2 - \vec{AC}\vec{BC} + \frac14\vec{BC}^2
pour obtenir
4$ 2\vec{AO}^2 = \vec{AB}^2 + \vec{AB}\vec{BC} + \frac14\vec{BC}^2 + \vec{AC}^2 - \vec{AC}\vec{BC} + \frac14\vec{BC}^2
4$ 2\vec{AO}^2 = \vec{AB}^2 + \vec{AC}^2 + (\vec{AB}-\vec{AC})\vec{BC} + \frac12\vec{BC}^2
4$ 2\vec{AO}^2 = \vec{AB}^2 + \vec{AC}^2 + \vec{CB}\vec{BC} + \frac12\vec{BC}^2
4$ 2\vec{AO}^2 = \vec{AB}^2 + \vec{AC}^2 - \vec{BC}\vec{BC} + \frac12\vec{BC}^2
4$ 2\vec{AO}^2 = \vec{AB}^2 + \vec{AC}^2 - \vec{BC}^2 + \frac12\vec{BC}^2
4$ 2\vec{AO}^2 = \vec{AB}^2 + \vec{AC}^2 - \frac12\vec{BC}^2
4$ \vec{AO}^2 = \frac12(\vec{AB}^2 + \vec{AC}^2) - \frac14\vec{BC}^2

Cette méthode fonctionne, mais ce n'est pas ce qui est demandé par l'exercice.

Voici maintenant la méthode analytique
On choisit le repère orthonormé 4$ (O,\vec{i}, \vec{j}) de manière à ce que :
O soit le milieu de [CB] et 4$ \vec{i} colinéaire à 4$ \vec{CB}

Notons alors les coordonnées des différents points ainsi :
4$ A\(a\\a'\) \\ B\(b\\0\) \\ C\(-b\\0\)
Là, il faut bien comprendre que les coordonnées du point A sont quelconques, mais que celles des points B et C ne sont pas quelconques.
On note b l'abscisse de B, elle est quelconque.
Mais l'ordonnée de B est 0 car B est sur l'axe Ox
L'ordonnée de C est 0 pour la même raison.
Et l'abscisse de C est -b car O est le milieu de [BC]

Maintenant on calcule les coordonnées (toujours la méthode analytique) des différents vecteurs dont on va vouloir calculer la norme
4$ \vec{BA}=\(a-b\\a'-0\)=\(a-b\\a'\)
4$ \vec{CA}=\(a-(-b)\\a'-0\)=\(a+b\\a'\)
4$ \vec{OA}=\(a-0\\a'-0\)=\(a\\a'\)
et on calcule leur norme au carré, qui est aussi la longueur au carré des segments, qui est aussi la distance au carré qui sépare les deux extrémités du segment. C'est pourquoi on peut écrire indifféremment 4$ \vec{AB}^2 ou 4$ AB^2
et de plus 4$ AB^2=BA^2
donc on obtient, analytiquement :
4$ AB^2=(a-b)^2 + a'^2
4$ AC^2=(a+b)^2 + a'^2
4$ AO^2=a^2 + a'^2
On ajoute les membres des deux premières égalités pour obtenir
4$ AB^2+AC^2=(a-b)^2 + (a+b)^2+ 2a'^2
On développe et on simplifie
4$ AB^2+AC^2=a^2-2ab+b^2 + a^2+2ab+b^2+ 2a'^2
4$ AB^2+AC^2=2a^2+2b^2 + 2a'^2
4$ \frac12(AB^2+AC^2)=a^2+b^2 + a'^2
on a presque dans le membre de droite la valeur de 4$ AO^2=a^2 + a'^2
Mais que représente le terme supplémentaire 4$ b^2 ?
tout simplement 4$ b^2=OB^2=(\frac12CB)^2=\frac14BC^2

On obtient donc
4$ \frac12(AB^2+AC^2)=AO^2 + \frac14BC^2
ou réarrangé autrement
4$ \frac12(AB^2+AC^2) - \frac14BC^2 = AO^2

On peut exprimer cela sous la forme d'une jolie phrase, de celles qu'aime bien un mathématicien :

Citation :
Le carré de la longueur d'une médiane est égal à la demi somme des carrés des longueurs des cotés adjacents à cette médiane, d'où est soustrait le quart du carré de la longueur du coté opposé.


Capito ?


Rechercher
Menu
Espace membre
Changer d'île

Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :

Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1768 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !