x^3/(x+1)=1
si
x^3-(x+1)=0

etudions f(x)=x^3-(x+1)
f'(x)=3x²-1

sur [1,2] f'(x) est positive strict donc f croit strictement.

f(1)=-1 f(2)=5

donc f coupe forcement l'axe x=0 une et une seule fois (fais un dessin)

on dit qu'elle réalise une bijection  de [1,2] sur [f(1),f(2)]

soit s cette solution, tu estime s ainsi:
on se met au milieu de l'intervalle:
f((1+2)/2)=f(1.5) si c'est >0 tu refais pareil avec l'intevalle [1,1.5]
sinon avec l'intervalle [1.5,2]
et ainsi de suite...
il faut toujours que les images des bornes soit de signe inverse (ca
veut dire que s est dans cet intervalle...)

tu t'arrete quand l'intervalle te donne s à moins de 0.1

par EXEMPLE si tu as s dans [1.25, 1.26] avec f(1.25) et f(1.26) de signe
opposés

A+

a)

x³/(1+x) = 1
x³ = x + 1
x³ - x - 1 = 0

f(x) = x³ - x - 1
f '(x) = 3x² - 1

f '(x) > 0 pour x dans ]-oo ; -1/V3[ -> f(x) croissante.
f '(x) = 0 pour x = -1/V3
f '(x) < 0 pour x dans ]-1/V3 ; 1/V3[ -> f(x) décroissante.
f '(x) = 0 pour x = 1/V3
f '(x) > 0 pour x dans ]1/V3 ; oo[ -> f(x) croissante.   (1)

Il y a un max de f(x) pour x = -1/V3, ce max vaut f(1/V3) = -0,615...
< 0
Il y a un min de f(x) pour x = 1/V3, ce max vaut f(1/V3) = -1,38...
< 0

Donc aucune valeur de x n'annule f(x) pour x dans ]-oo ; 1/V3]  
  (2)

f(1) = -1 < 0   (3)
f(2) = 5 > 0    (4)

De (1), (2), (3) et (4) , on conclut qu'il y a une et une seule
valeur de x qui annule f(x) et celle valeur est dans ]1 ; 2[.
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b)
f(1) = -1  
f(2) = 5
f(1,5) = 0,875
f(1,25) = -0,296875
f(1,375) = 0,2246...
f(1,3125) = -0,051...

Et donc f(x) = 0 pour  x = 1,4 à moins de 0,1 par excès.
-> x³/(1+x) = 1 pour  x = 1,4 à moins de 0,1 par excès.
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Sauf distraction.