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valeurs intermédiaires
bonsoir j'ai une question dans un DM que j'ai pas compris et voilà l'enoncé:
soit f(x)=x^3+x²=x-2
*monter que l'équation f(x)=0 admet au moins une solution alpha dans [0,1] donner un encadrement de alpha d'amplitude 0.1
* soit g(x)=x²-2[racine((2-x)/(x+1))]+1 montrer que g(alpha)=(1-alpha)²
voilà ce que je fais:
f est une fonction polynome donc continue dans IR en particulier dans [0,1]
f(0)=-2 et f(1)=1
0 appartient [-2;1] ==> 0 appartient [f(0);f(1)] donc f(x)=0 admet au moins une solution alpha dans[0,1]
je veux savoir comment je trouve un encadrement de alpha et pour g(alpha) j'ai rien compris je veux comprendre les résultats m'interresse pas... merci de passer ICI
Bonsoir,
la fonction est continue sur [0,1] il faut montrer qu'elle est monotone sur cet intervalle
si f(0)*f(1)<0 alors l'équation f(x)=0 admet une solution unique sur l'intervalle [0;1]
Bonjour,
Labo : on ne demande pas si la solution est unique mais s'il y en a au moins une
la monotonie est donc superflue.
Cleopatra :
il faut réduire progressivement l'intervalle [0; 1] jusqu'à avoir une taille de l'intervalle [a; b] inférieure à 0.1 (b-a < 0.1)
avec toujours f(b) et f(a) de signes contraires
(comme tu le sens : tableur, dichotomie, etc etc..)
pour g(
) il s'agit donc de montrer que si f() = 0, alors g()=(1-)²
c'est à dire de prouver (factorisations, développement etc ) que l'équation
x²-2[
((2-x)/(x+1))]+1 = (1-x)² est équivalente dans un certain domaine à définir (qui contient ) à f(x) = 0
Oups!! j'ai rien compris
il faut réduire progressivement l'intervalle [0; 1] jusqu'à avoir une taille de l'intervalle [a; b] inférieure à 0.1 (b-a < 0.1)
avec toujours f(b) et f(a) de signes contraires
(comme tu le sens : tableur, dichotomie, etc etc..)
et pour g(alpha) quel démarche dois-je utiliser? merci de m'aider
Labo il faut montrer qu'elle admet au moins une solution çà peut etre plus qu'une et j'utilise la démarche que j'ai vu en classe
Théoreme
Soit f : [a, b] →
une application continue, alors pour tout réel u compris entre f(a) et f(b), il existe au moins un réel c compris entre a et b tel que f(c) = u.un tableur c'est calculer les valeurs de f(x) pour x de 0 à 1 par pas "suffisament petits"
la dichotomie consiste à découper l'intervalle en deux de façon répétée et à ne garder à chaque fois que "la bonne moitié"
ici tu calcules f(0.5) et tu en déduis si est entre 0 et 0.5 ou bien entre 0.5 et 1
puis tu calcules f(0.25) ou f(0.75) selon le résultat du test précédent pour savoir dans quel intervalle de largeur 0.25 se trouve etc
pour g() je te l'ai donné mais tu n'as apparemment pas compris :
tu fais comme si tu cherchais à résoudre l'équation x²-2[((2-x)/(x+1))]+1 = (1-x)²
au cours de la résolution de cette équation (développement, simplifications, élévations au carré, etc ...)
tu vas finir par "tomber" sur "résoudre f(x) = 0", tout au moins dans un certain domaine de x du genre [0; 1] par exemple 
(pas partout à cause de l'élévation au carré)
montrant ainsi que une solution de l'équation g() = (1-)² dans [0; 1] est solution de f() et est donc bien ce fameux là
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