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Variable aléatoire : Dix dixièmes ne font pas un
Bonjour,
Je vais recopiez un exercice de type QCM que j'ai vu dans un livre tout en le résolvant et ensuite je vous exposerai les points qui me posent problème.
Pour les trois questions suivantes, on a : des variables aléatoires indépendantes suivant la loi
.
1. Si alors E(X) =
a. 120 b. 40 c. 180
D'après le cours, une variable X suivant la la loi binomiale a pour espérance E(X) = np.
On a donc ici E(X) = =
(linéarité de l'espérance)
E(X) = 30 * 0,4 * 10 = 120
2. Soit .
Alors V(X) =
a. 720 b. 7,2 c. 72
Alors je pense qu'il y a une erreur de copie dans le livre dont je tire l'exercice, la limite supérieure de la sommation est 10 et non pas n sinon aucune réponse ne convient.
D'après le cours, une variable X suivant la la loi binomiale a pour variance V(X) = np(p-1).
Avec la linéarité de la variance, on a .
On a donc V(X) = 30 * 0,4 * 0,6 * 10 = 72
3. Soit .
Alors V(M) =
a. 0,72 b. c. 7,2
D'après le cours on a .
Ainsi, .
Mais on remarque aussi que la réponse b. fonctionne : .
Et c'est là qu'une interrogation m'est venue.
Si on a
.
Donc et je ne comprends pas pourquoi.
On peut penser que les prennent des valeurs différentes en cas de succès et dans ce cas on pourrait avoir les variables qui diffèrent entre elles.
Mais je remarque que l'espérance d'une variable n'indique pas ici la valeur mais le nombre de succès que l'on s'attend à obtenir après n répétitions.
Il faut multiplier l'espérance par la valeur obtenue en cas de succès pour avoir l'espérance de la valeur, sauf si la variable prend une valeur non nulle en cas d'échec, dans ce cas, avec S et les valeurs obtenues en cas de succès et d'échec, il faut faire :
Je pensais que l'espérance indiquait la valeur moyenne de la variable, mais peut-être est-ce là une signification exceptionnelle qui concerne les cas où une variable suit une loi binomiale ?
Mais il y a quand même le problème suivant : les variables peuvent possiblement être identiques. Et dans ce cas on devrait avoir et :
mais on a vu dans la question 3. que :
.
Il y a donc ici une contradiction, je ne peux pas poser que est égal à
et j'aimerais comprendre pourquoi.
J'aimerais que vous m'aidiez à améliorer ma comphrension sur ce sujet s'il vous plaît.
Merci !
Pour cette question 3, Il y a une seule réponse qui convient.
Je pense que tu t'es fait des noeuds dans la tête.
Je ne t'en dis pas plus. Laisse passer une nuit de sommeil, reviens sur l'exercice demain ou un autre jour. Oublie tout ce que tu as écrit, reviens avec uniquement l'énoncé du QCM.
Excusez-moi mais ces réponses sont dans la correction du livre (sans justification) mais j'ai en plus démontré ces réponses.
Voici l'énoncé du QCM :
Pour les trois questions suivantes, on a : des variables aléatoires indépendantes suivant la loi
.
1. Si alors E(X) =
a. 120 b. 40 c. 180
2. Soit .
Alors V(X) =
a. 720 b. 7,2 c. 72
3. Soit .
Alors V(M) =
a. 0,72 b. c. 7,2
Pour la deuxième question, comme je l'ai dit plus haut, le est probablement une erreur du livre, il s'agit en réalité de
.
Et j'avais oublié d'écrire "X =" à l'énoncé de la question 1. (bourdon)
Merci pour votre réponse !
Dans un autre exercice je vois:
(et non pas
comme je le pensais ), car les variables
sont indépendantes.
Je ne comprends pas pourquoi c'est comme ça.
Car si les variables sont identiques, et bien ça devrait donné et on aurait alors
.
Si quelqu'un pourrait m'expliquer ce serait bien.
Mais bon au moins maintenant je sais qu'il n'y a pas de contradiction...
Prenons une situation classique.
Je lance un dé.
Je peux obtenir 1,2,3,4,5 ou 6. Avec une proba 1/6 pour chacun.
Donc une moyenne 3.5, et un écart type ... que je te laisse calculer.
Maintenant je peux continuer l'expérience de 2 façons.
Méthode 1 : Je lance un seul dé, et je multiplie le nombre obtenu par 2.
Méthode 2 : Je lance 2 dés, et je fais la somme.
Peux-tu calculer les moyenne et variance pour ces 2 jeux.
Un calcul à la main ... en revenant à la définition de variance. C'est important de comprendre ce qui se passe, et d'interpréter ce qui se passe.
Salut,
Si X et Y sont indépendantes alors V(X+Y)=V(X)+V(Y)
Peut on appliquer cette formule pour le calcul de V(X+X) ?
Que représente V(X+X) ?
Ce n'est pas une colle, c'est une question, je veux comprendre.
Tu fais des choses trop compliquées. Commence par des trucs concrets avec des dés, et ensuite, passe à la généralisation.
Reformule ton message avec des dés.
J'ai un dé Jaune (Y=Yellow) et un Blanc (W=White).
Y = le résultat du dé jaune = une variable aléatoire, avec une espérance et une variance
W = pareil pour le dé blanc
Y+W : je vois ce que c'est.
Y+Y : c'est quoi ?
Tu dis : si X et Y sont indépendantes alors ...
Que veut dire ce mot indépendantes ?
Est-ce que dans le cadre de ta question, cette hypothèse est vérifiée ?
Bonjour,
Merci pour votre réponse !
Pour le premier jeu on a E(X) = 1/6 (2+4+6+8+10+12) = 42/6 = 7
Et V(X) = 1/6 ((2-7)^2 + (4 - 7)^2 + (6-7)^2 + (8 - 7)^2 + (10 -7)^2 + (12 - 7)^2 = 1/6 (70) = 11,6666
Pour le deuxième jeu,
Pour un dès normal sans doubler le score on a E(X) = 3,5 et V(X) =(1/6) ((1-3,5)^2 + (2 - 3,5)^2 + (3-3,5)^2 + (4- 3,5)^2 + (5 -3,5)^2 + (6 - 3,5 )^2)= (1/6)(17,5) = 2,91666
Donc:
E(Y) = E(X + X) = E(X) + E(X) = 2*3,5 = 7
V(Y) = V(X) + V(X) = 17,5 /3 = 5,83
L'espérance des deux jeux est identique mais la variance est différente.
La variance pour le premier jeu est inférieur à la variance pour le second jeu.
Ce qui signifie qu'en jouant au premier jeu on a plus de chance de tomber sur un résultat qui est proche de la moyenne qu'en jouant au second jeu, la moyenne des écarts entre la valeur et l'espérance étant plus faible.
Je comprends mieux pourquoi 2X n'est pas la même chose que X + X, 2X implique que les X prennent toujours la même valeur alors qu'avec X + X, chaque X peut avoir une valeur différente au même moment, comme avec les dès.
Sinon je ne suis pas Alb12 mais je peux bien répondre à sa place, les dès sont indépendants car le résultat de l'un n'influe aucunement sur le résultat de l'autre.
Par contre si on parle de 2X, on peut dire en quelque sorte que ces 2 dès (si on parle de 2 dès) ne sont pas indépendants car ils prennent toujours la même valeur, en fait on parle d'une somme de deux variables identique qui prennent toujours la même valeur.
Oui, dans les grandes lignes c'est ça.
Mais tu ne verras jamais écrit : calculer la variance de X+X.
On dira : Soit X et Y 2 variables aléatoires (les résultats de 2 dés de couleurs différentes pour être très terre-à-terre), calculer la variance de X+Y.
Si je lis dans un énoncé : "calculer la variance de X+X", je vais considérer que c'est exactement la même chose que Calculer la variance de 2X ... et donc, calculer la variance de X, puis multiplier par 4.
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