Salut!!!
Je vais essayer de t'aider

1. Définir la loi de probabilité Z=(X, Y)
L'étude à été réalisée sur un échantillon de 50 clients (on te le dis dans
l'énoncé).
Remarque : Pas très représentatif comme échantillon mais bon c'est
pas nous qui avons fais l'énoncé .
Dans ton tableau, la case la plus en haut à gauche signifie par exemple
que sur ces 50 cients, 4 on acheté 1 packs de marque A et 1 packs
de marque B on a donc :

p(X=1,Y=1)=4/50=2/25

En procédant de même avec les autres cases, tu obtiens :

p(X=1,Y=2)=10/50=1/5
p(X=1,Y=3)=6/50=3/25

p(X=2,Y=1)=6/50=3/25
p(X=2,Y=2)=15/50=3/10
p(X=2,Y=3)=9/50

Donc, pour répondre à l'énoncé, présentons la loi de proba Z dans
le tableau indiqué :

     Y         1           2           3
X
1              2/25    1/5       3/25
2              3/25    3/10     9/50



2. En déduire les lois de probabilité de chacune des variables aléatoires
X et Y
À la question précédente, nous avons traiter les variables X et Y ensemble,
il suffit à présent de les traiter séparément.

  *Intéressons nous d'abord à X. Si l'on lit les lignes
du tableau, on voit que 20 clients sur 50 (4+10+6, 1ere ligne) achète
1 pack de la marque A et nous voyons également que 30 clients sur
50 (6+15+9,2eme ligne) achètent 2 packs de la marque A. Nous avons
donc :
p(X=1)=20/50=2/5
p(X=2)=30/50=3/5

Remarque : On te demande "En déduire"donc une autre méthode, que je
te conseille lors de la rédaction (car elle me semble plus adaptée
à la question posée) serait simplement d'additionner les probas
de chaque ligne, tu retombe directement sur 2/5 (2/25+1/5+3/25, 1ere
ligne) et 3/5 (3/25+3/10+9/50, 2eme ligne). Je n'ai peut-être
pas été très clair, c'est pour ça que je vais adopter cette
méthode que je viens de décrire pour la variable Y.

   **Intéressons nous à présent à la variable Y. D'après le tableau
que nous avons établi à la question 1), nous nous rendons compte
que l'on a 3 chances sur 25 qu'un client achètes 1 pack
de marqe B et 1 pack de marque A, et 2 chances sur 25 qu'un
client achète 1 packs de marque B et 2 packs de marque A (1ere colonne
tableau réponse 1) ). On ne s'intéresse qu'à Y et donc
qu'à la marque B, et on a donc :

p(Y=1)=2/25+3/25=5/25=1/5

En raisonnant de même pour les 2eme et 3eme colonnes, on trouve :

p(Y=2)=1/5+3/10=5/10=1/2
p(Y=3)=3/25+9/50=15/50=3/10


3. POur tout i appartenant à (1;2) et tout K appartenant à (1;2;3) comparer
"p((X,Y)=(xi,yK)" avec "p(X=xi)*P(Y=yk)".

Ici, on va devoir utiliser les résultats de la question 1) (en effet p((X,Y)=(xi,yk))
correspond selon moi à p(X=xi,Y=yk) ) et ceux de la questions 2 (
p(X=xi) * p(Y=yk) ):

Commençons par le commencement : i=1 et k=1. On a :
p(X=1,Y=1)=2/25
  et
p(X=1) * p(Y=1)= 2/5*1/5=2/25

Maintenant, pour i=1, k=2, on a :
p(X=1,Y=2)=1/5
  et
p(X=1) * p(Y=2)= 2/5*1/2=1/5

Maintenant, pour i=1, k=3, on a :
p(X=1,Y=3)=3/25
  et
p(X=1) * p(Y=3)= 2/5*3/10=6/50=3/25


Maintenant pour i=2, k=1, on a :
p(X=2,Y=1)=3/25
  et
p(X=2) * p(Y=1)= 3/5*1/5=3/25

Maintenant, pour i=2, k=2, on a :
p(X=2,Y=2)=3/10
  et
p(X=2) * p(Y=2)= 3/5*1/2=3/10

Maintenant, pour i=2, k=3, on a :
p(X=2,Y=3)=9/50
  et
p(X=2) * p(Y=3)= 3/5*3/10=9/50

CONCLUSION : Pour tout i appartenan à (1;2) et tout k appartenant à (1;2;3)
on a:

  p( (X,Y)=(xi,yK) )      =      p(X=xi) * P(Y=yk)

Remarque : On s'en doutait légèrement depuis le début.

Donc voilà j'espère avoir pu t'aider.
À +