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Vecteurs / bases
Bonjour les amis !
Je donne un coup de main à une élève de première. Une question est posée... j'ai bien trouvé une solution mais elle me semble un peu trop longue. C'est pour cela que je viens ici.
Commençons par l'énoncé :
est un carré de côté
est un carré de côté
Les points G, D et C sont alignés.
Les points A D et E sont alignés.
est l'intersection des droites
et
.
est l'intersection des droites
et
.
La question est la suivante : dans la base , donner les coordonnées du point H.
La réponse est
Il m'a fallu suivre un long chemin pour le trouver. Mon intuition était de partir de
La longueur se calcule simplement par le théorème de Thalès sur les droites parallèles
et
.
Ainsi .
La détermination de est plus laborieuse :
Application du théorème de Pythagore sur le triangle rectangle en
:
A noter que pour l'utilisation de théorème de Thalès sur les droites parallèles
et
:
Le calcul donne
Cependant seule la distance est déterminée et non le vecteur
. J'utilise donc la colinéarité entre
. Je détermine le réel
.
Sachant que :
Je finis par trouver que .
Voilà donc ma question : pouvais-je faire plus simple et plus rapide ?... L'élève en question a compris mais elle avait le cerveau en bouillie...
Merci !
PS
"sans équations de droites", on peut traduire une colinéarité par exemple de et
à partir des coordonnées (x; y) inconnues de H etc
mais ça c'est (cachée sans le dire) une équation de la droite (CF) !
Bonjour mathafou et merci.
J'ai oublié de préciser que le calcul par les équations de droites avaient déjà été demandé dans des questions précédentes. Les coordonnées de H sont déjà connues.
En revanche pour la colinéarité et
, je ne vois pas trop. Cela me donne l'équation de la droite (FC), qui est déjà connue à ce stade du devoir. J'aurais sans doute été plus sage de donner tout l'énoncé.
bien relire pas de travers :
et
certainement pas !
je parle de et
(ou mieux même de et
)
comme je dis, ça donne l'équation de la droite mais sans le dire
une équation de la droite car une droite possède une infinité d'équations cartésiennes équivalentes
de la forme kax+ kby +kc = 0 pour tout réel k non nul.
donc ce ne sera pas forcément la même que celle obtenue par d'autres moyens. et cela sera donc vu comme une méthode différente
exemple :
C coordonnées (1, 0)
F coordonnées (-1/2, -1/2)
H coordonnées inconnues (x, y)
la condition de colinéarité xy' = x'y donne
1/2 (x-1) = 3/2 y
c'est la première équation du système à résoudre pour obtenir x et y
etc
(et on ne dit surtout pas que c'est en fait une équation de la droite ! ça, on le garde pour soi
de même que résoudre le système équivaut au calcul d'un point d'intersection, ça aussi on le garde pour soi)
une autre méthode qui ressemble à la tienne de faire des calculs de vecteurs sans même utiliser les cordonnées, puis de faire apparaitre les coordonnées seulement à la fin en "interprétant" comme donnant les coordonnés de H
je définis les points I, J, K
on montre facilement (traduction vectorielle de divers Thalès) que
et que
Chasles donne ensuite
(aucun besoin de calculer avec Pythagore)
erreurs de calculs, mais le principe est là
ça vient de et
donc
et par conséquent (Thalès toujours)
etc
(et HJ faux par conséquent)
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