Adhérence (mathématiques)

Adhérence (mathématiques) : encyclopédie mathématiques

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Sommaire

[modifier] Définitions

En topologie, l'adhérence d'une partie $X$ d'un espace topologique $E$ est le plus petit ensemble fermé de $E$ qui contienne $X$ .

L'existence d'un tel fermé est claire : il existe au moins un fermé contenant $X$ , à savoir l'espace $E$ lui-même ; d'autre part, l'intersection de tous les fermés contenant $X$ est un fermé contenant $X$ , et est le plus petit ayant cette propriété.

L'adhérence de $X$ est aussi appelée fermeture de $X$ et se note souvent $\overline{X}$ .

On dit d'un point $x$ de $E$ qu'il est adhérent à $X$ lorsque tout voisinage de $x$ rencontre $X$ .

[modifier] Caractérisations

[modifier] Ensemble des points adhérents

L'adhérence de $X$ est égale à l'ensemble des points qui lui sont adhérents.

En effet :

Si le point $x$ de $E$ est adhérent à $X$ , il ne peut appartenir à l'ouvert $E-\overline{X}$ , car celui-ci serait alors un voisinage de $x$ ne rencontrant pas $X$ ; donc il appartient à $\overline{X}$ .
Si le point $x$ de $E$ n'est pas adhérent à $X$ , il existe un voisinage de $x$ qui ne rencontre pas $X$ ; ce voisinage contient un ouvert $U$ qui contient $x$ et ne rencontre pas $X$ . Il s'ensuit que le complémentaire de $U$ dans $E$ est un fermé qui contient $X$ , et donc qui contient $\overline{X}$ . Puisque $x$ est dans $U$ , $x$ n'est pas dans $\overline{X}$ .

Intuitivement, l'adhérence d'une partie $X$ contient tous les points de l'espace qui sont dans $X$ ou qui sont trop près de $X$ pour que l'on puisse y « bricoler » localement sans toucher à $X$ .

[modifier] Espaces métriques et suites

Dans un espace métrique (la topologie est issue d'une distance sur l'espace considéré), l'adhérence d'un ensemble $X$ de $E$ est l'ensemble contenant toutes les limites de suites convergentes dans $E$ et formées des éléments de $X$ .

[modifier] Exemples

Caractère Archimédien de $\mathbb R$ : l'ensemble des réels $\mathbb R$ est l'adhérence de l'ensemble des rationnels $\mathbb Q$ . En effet, tout ouvert contenant un irrationnel contient un rationnel. Tout irrationnel est donc dans l'adhérence de $\mathbb Q$ .

L'adhérence d'un intervalle de $\mathbb R$ , c'est l'intervalle fermé de mêmes bornes : l'adhérence de $]-\infty,a[$ est l'intervalle $]-\infty,a]$ .

Assez souvent on parle de $\bar{\mathbb{R}}$ comme adhérence de $\mathbb{R}$ , mais cette notion veut simplement dire qu'on étend la notion de convergence aux valeurs infinies : ainsi la suite des entiers converge dans $\bar{\mathbb{R}}$ vers $+\infty$ . Cela permet de donner un sens différent à la notion de divergence : ce qui diverge n'admet pas de limite, fût elle infinie.

[modifier] Densité

Article détaillé : Densité (mathématiques).

On dit qu'une partie $X$ d'un espace topologique $E$ est dense lorsque son adhérence est l'espace $E$ tout entier. Une telle partie se caractérise donc par le fait que tout ouvert non vide en contient un point.

Ainsi, le caractère Archimédien de $\mathbb{R}$ fait que $\mathbb{Q}$ est dense dans $\mathbb{R}$ .

Un point $x$ de $X$ est dense si ${$ $x$ $}$ est dense. On l'appelle parfois aussi point générique.

Intuitivement, les parties denses d'un espace sont donc des parties qui sont très grosses : on ne peut pas les éviter.

[modifier] Pièges

[modifier] Boules ouvertes et boules fermées

Celui qui n'est jamais tombé dans celui-ci, n'a jamais fait de topologie ! Dans un espace métrique, on définit des boules ouvertes et des boules fermées, et la tentation est grande d'utiliser $B_f=\overline B$ dans ce cadre. Il est vrai que dans un certain nombre de cas, cela marche bien, notamment les $\mathbb R^n$ avec la distance usuelle, et plus généralement pour la distance $\Vert x-y\Vert\,$ dans un espace vectoriel normé...

Néanmoins, c'est faux en général ; voyons l'exemple le plus simple : soit un ensemble $E$ , avec au moins deux éléments. On définit une métrique dessus ainsi : la distance entre deux points distincts est $1$ . La boule ouverte de rayon $1$ centrée en un point est donc ce point. La boule fermée de rayon $1$ centrée en un point est donc l'espace entier. L'adhérence de la boule ouverte de rayon $1$ centrée en un point est le point !

Si dans le cadre d'espaces vectoriels sur $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$ normés de dimension finie, les propriétés de l'adhérence restent assez intuitives, il faut aussi se méfier des caractéristiques des espaces de dimension infinie !

[modifier] Un point c'est petit

Un point, ça n'a l'air de rien, et pourtant, dans certains espaces, certains points peuvent prendre une grande place !

Considérons l'ensemble des nombres premiers, auxquels on rajoute $0$ . On définit une topologie (via des fermés) de la façon suivante :

un ensemble fini de nombre premiers est fermé ;
l'espace entier est fermé ;

dans ce cas, l'adhérence de $0$ est l'espace tout entier, ce qui signifie qu'on ne peut pas le mettre de côté pour travailler au voisinage d'un autre point. C'est un point dense/générique. (NB: en géométrie algébrique, ce genre de situation est très courant, car l'espace de base, le spectre d'anneau, vérifie souvent ce genre de propriétés ; en fait, cet exemple est $Spec\,\mathbb Z$ )