Algèbre (mathématiques élémentaires)

Algèbre (mathématiques élémentaires) : encyclopédie mathématique

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Mathématiques élémentaires

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L'algèbre élémentaire est une branche des mathématiques dont l'objet est l'étude des lois qui régissent les quantités numériques. Le qualificatif d'élémentaire apparaît en même temps que l'algèbre moderne afin de la différencier de celle-ci. Aujourd'hui, c'est la première approche de l'algèbre dans le cursus scolaire.

L'algèbre se différencie de l'arithmétique par l'introduction de lettres ( $a$ , $b$ , $c$ , ..., $x$ , $y$ , $z$ , ..., $α$ , $β$ , $γ$ , ...) représentant indifféremment tous les nombres et auxquelles sont appliquées les mêmes règles de calculs que s'il s'agissait de nombres.

Il est ainsi possible d'établir des lois ne dépendant que de la nature des opérations, indépendamment des nombres.

La résolutions d'équations et d'inéquations, l'étude des polynômes sont des applications de l'algèbre.

Sommaire

[modifier] Expressions algébriques

Une expression algébrique est constituée de nombres, de lettres et de signes opératoires :

le signe $+$ est utilisé pour marquer l'addition.
le signe $-$ est utilisé pour marquer la soustraction.
les signes $\times$ ou $\cdot$ sont utilisés pour marquer la multiplication. Quand la multiplication concerne deux lettres, il est possible d'écrire $a b$ au lieu de $a\times b$ .
le signe $\div$ est utilisé pour marquer la division, $a\div b$ pouvant également s'écrire $\cfrac{a}{b}$ .

Par exemple :

Le produit d'un nombre $x$ augmenté de 3 par lui-même s'écrit $(x + 3) x$ .
La différence des carrés de deux nombres $a$ et $b$ s'écrit $a 2 - b 2$

Évaluer une expression algébrique consiste à attribuer une valeur à chacune des inconnues, puis à effectuer le calcul arithmétique obtenu.

Par exemple évaluer l'expression $x 2 + x - 1$ pour $x = 2$ consiste à effectuer le calcul $22 + 2 - 1$ .

[modifier] Propriétés de l'addition

[modifier] Propriétés de la multiplication

[modifier] Factorisation et développement

Factoriser une expression algébrique, $E$ , consiste à en transformer l'écriture sous la forme d'un produit de deux ou plusieurs expressions ( $A$ , $B$ , ...) :

$E = A\times B\times \cdots$

Chacune des expressions $A$ , $B$ , ... est appelée un facteur.

Développer une expression algébrique, $E$ , consiste à en transformer l'écriture sous la forme d'une somme (ou différence) de deux ou plusieurs expressions. ( $A$ , $B$ , ...) :

$E = A + B + \cdots$

Chacune des expressions $A$ , $B$ , ... est appelée un terme.

[modifier] Exemple de résolution algébrique d'un problème

Problème simple : 2 billets valent 100 euros. Que vaut un billet ? Nous pouvons faire abstraction de la nature du billet (euro, rouble, dollar, ...), la résolution du problème sera toujours la même.

En notant $x$ la valeur d'un billet, le problème se traduit par l'équation $2 x = 100$ .

En divisant chacun des membres par 2, on obtient $x = 50$ .