Centralisateur

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Le centralisateur C d'un groupe mathématique est un sous groupe de celui-ci répondant à certains critères de commutativité.

[modifier] Définition

Soit G un groupe, et S une partie de G. Le centralisateur de S dans G, noté C_G(S) (ou C(S) si le contexte n'est pas ambigu) est le sous-groupe de G des éléments qui commutent avec tous les éléments de S. Si S est un singleton {a}, son centralisateur est simplement noté C(a), et si S est G tout entier son centralisateur est appelé centre de G et noté Z(G) (en référence au mot allemand Zentrum). En symboles : C(S) = {x ∈ G ; ∀ s ∈ S sx=xs}.

[modifier] Propriétés

Le centralisateur de S rend S central d'une certaine façon : s'il existe un sous-groupe H de G tel que S soit inclus dans le centre de H, alors H est inclus dans le centralisateur de S. Autrement dit, le centralisateur de S est le plus grand (au sens de l'inclusion) sous-groupe de G dont le centre contient S, à condition qu'un tel sous-groupe existe effectivement (c'est toujours le cas si S est un singleton).

Dans le cas général, le centralisateur de S est un sous-groupe distingué du normalisateur de S. On peut donc considérer le groupe quotient N(S)/C(S), dont on montre si S est un groupe qu'il est isomorphe à Int(S), le groupe des automorphismes intérieurs de S.