Exponentielle : encyclopédie mathématiques
Cet article est issu de l'encyclopédie libre Wikipedia.Les fonctions exponentielles font partie des applications les plus importantes en analyse, ou plus généralement en mathématiques et dans ses domaines d'applications. Il existe plusieurs définitions équivalentes des fonctions exponentielles réelles:
Ces diverses définitions permettent d'étendre la définition des fonctions exponentielles à des fonctions de C vers C* ou même des espaces plus compliqués et s'utilise alors en géométrie riemannienne, dans la théorie des groupes de Lie, ou encore dans l'étude des algèbres de Banach.
Les applications élémentaires des fonctions exponentielles réelles ou complexes concernent la résolution des équations différentielles, la mise en place de la théorie de Fourier, .... mais les champs d'applications des fonctions exponentielles sont extrêmement vastes : étude de la croissance des groupes, etc.
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On considère un réel a strictement positif, il est facile de définir an comme le produit de a par lui-même n fois pour tout entier n supérieur ou égal à 1,
puis de définir a0 comme valant 1 puis a − n comme l'inverse de an. On démontre aisément la propriété . Cette construction, assez naturelle, permet l'observation de phénomènes dits à croissance ou décroissance exponentielle.
La question qui se pose est de déterminer la taille de la population ou la nombre de particules radioactives entre deux mesures (la décade pour la population ou la période pour la particule). Il s'agit donc de combler les trous entre les entiers. Une tentative peut être fait grâce à la racine nième : si la population a été multipliée en 10 ans par 1,3 , on cherche à déterminer par combien elle est multipliée chaque année. Elle est multipliée par un réel q tel que , c'est à dire
que l'on note
.
On est donc capable de définir pour des exposant non entier:
On a ainsi comblé les trous et défini pour tout r rationnel. Pour définir
pour tout réel x, il faut ajouter un argument de continuité, tout réel
est aussi proche que l'on veut d'un rationnel
, la valeur de
sera alors proche de
.
Cette idée intuitive de ce que pourrait être est présente très tôt dès que la notation exponentielle apparaît c'est à dire dès le XVIIe siècle [1]. Mais il faudra attendre les siècles suivants pour voir en
Ensuite se développe l'étude plus particulière de l'exponentielle de base e, réciproque de la fonction logarithme népérien. Dans cette base, la dérivée de la fonction exponentielle est égale à elle-même soit exp' = exp. C'est cette base qui est la plus utilisée, et c'est à elle que l'on se réfère généralement si on n'en précise pas une autre.
Les propriétés de la dérivée de la fonction exponentielle en font un outil privilégié pour la résolution des équations différentielles.
Il existe plusieurs points d'entrée possible pour la définition de la fonction exponentielle: par ses propriétés algébriques (transforme une somme en produit) , par la propriété de sa dérivée (dérivée proportionnelle à la fonction) ou par son développement en série
Définition — On appelle fonction exponentielle réelle, toute fonction continue de R dans R* transformant une somme en produit, c'est à dire toute fonction continue vérifiant l'équation fonctionnelle.
Si on note a la valeur de f(1). La fonction f est appelée exponentielle de base a et se note expa
Une telle fonction est appelée un morphisme continu du groupe additif (R,+) dans le groupe multiplicatif (R*, ×)
On remarque que la relation
assure que la fonction est toujours à valeurs dans l'ensemble des réels strictement positifs
Puis la relation
donne pour seule valeur possible pour f(0) la valeur 1 car f(u) ne peut être nul.
Si on note f(1) = a, des considérations analogues à celle développées dans la section précédente permettent d'écrire successivement
La valeur de f(x) pour x irrationnel s'obtient par prolongement par continuité.
L'existence d'une telle fonction provient de la possibilité de prolonger par continuité une fonction définie sur Q à une fonction définie sur R en conservant ses propriétés algébriques. La construction prouve l'unicité de la fonction vérifiant l'équation fonctionnelle
On prouve qu'alors f est dérivable et vérifie l'équation différentielle :
Pour démontrer qu'une fonction continue transformant une somme en produit est nécessairement dérivable, on peut s'appuyer sur le fait qu'une fonction continue possède des primitives. Si on note F une primitive de f, on peut écrire
mais aussi
la fonction f étant une fonction strictement positive, F est strictement croissante et F(1) - F(0) est alors non nul. En confrontant les deux égalités, on peut écrire
Ce qui prouve que, f s'exprimant comme combinaison linéaire de fonctions dérivables, f est dérivable.
En dérivant l'égalité
par rapport à x, on obtient
puis en prenant x égal à 0
On prouve aussi que la continuité de la fonction en un seul point associée à la propriété algébrique assure sa continuité sur tout R.
Définition — On appelle fonction exponentielle toute fonction dérivable vérifiant l'équation différentielle
où k est un réel quelconque.
Une telle équation définie f de manière unique, k correspond alors à la dérivée de f en 0. On montre qu'une telle fonction transforme toujours une somme en produit; Donc que les deux définitions coïncident.
En supposant admise l'existence d'une fonction g vérifiant
que l'on peut construire grâce à la méthode d'Euler, on montre que g ne peut pas s'annuler, que est solution de l'équation différentielle et que c'est la seule.
la fonction g ne peut pas s'annuler
La fonction f est solution de l'équation différentielle
la fonction est l'unique solution au problème
La propriété algébrique est conservée
En particulier, on appelle fonction exponentielle (de base e) la fonction solution de
et on note
Elle sert à exprimer toutes les autres. En efffet si est solution de l'équation différentielle initiale alors
On peut se contenter d'étudier principalement celle-ci.
Enfin, en appliquant la méthode de recherche de solutions analytiques des équations différentielles linéaires, on peut définir l'application exponentielle exp ou encore comme la somme d'une série entière de rayon de convergence infini :
où n! est la factorielle de n.
Supposons qu'il existe une solution analytique f somme d'une série entière de rayon de convergence R>0, disons, pour fixer les notations :
La dérivée est donnée par :
De fait, l'équation f'(x)=f(x) s'écrit, par unicité des coefficients dans le développement en séries entières :
Par une récurrence immédiate, on établit :
Il existe de nombreux développements en fraction continue de la fonction exponentielle. On peut citer l'exemple suivant :
Une analyse détaillé des expressions de cette nature est proposée dans l'article Approximant de Padé de la fonction exponentielle.
La fonction exp étant définie comme l'unique fonction égale à sa dérivée et prenant la valeur 1 en 0. On peut en étudier les caractéristiques.
La fonction exp prend en 1 une valeur irrationnelle qui est noté e et vaut environ 2,718. Elle donc aussi appellelé fonction exponentielle de base e.
Du fait de la continuité, supposée dans les trois définitions donnée, si x est réel, alors exp(x) est un réel strictement positif. D'autre part la fonction exp de dans
est strictement croissante, continue, continûment dérivable, infiniment dérivable, et encore mieux analytique (ie développable en séries entières au voisinage de tout point).
De plus,
et
elle admet donc une application réciproque, qui est la fonction logarithme népérien ln, définie sur .
La fonction exp tend donc vers + ∞ quand sa variable tend vers + ∞ et ce plus rapidement que toute fonction polynôme, c'est à dire que
quel que soit l'entier naturel n. De même on a
Comme les dérivées successives de exp sont exp, la dérivée seconde est positive. Donc exp est convexe.
La tangente à la courbe au point d'abscisse x0 coupe l'axe des abscisses au point d'abscisse x0 − 1. La fonction exp est la seule fonction prenant la valeur 1 en 0 dont la sous-tangente est toujours le segment [x0 − 1;x0].
En utilisant la fonction logarithme népérien ln, on peut définir pour tout a > 0 la fonction exponentielle de base a notée expa ou , par :
Les fonctions exponentielles «transforment une somme en une produit», on en déduit les propriétés :
Elles sont valables pour tous réels strictement positifs a et b et pour tous réels x et y.
Pour a=1, la fonction exponentielle est constante et égale à 1, et n'est ainsi plus bijective.
Quand a ≠1, la fonction exponentielle est une bijection de sur
; strictement croissante si a>1 et strictement décroissant si a<1 dont la réciproque est la fonction logarithme de base a
On peut définir la fonction complexe de deux façons :
La fonction exponentielle vérifie alors les propriétés importantes suivantes, pour tous z et w :
Ces formules se montrent à l'aide des formules de trigonométrie ou à l'aide de la notion de produit de Cauchy de deux séries selon le mode de définition de l'exponentielle.
La fonction exponentielle dans le plan complexe est une fonction holomorphe qui est périodique, de période imaginaire 2iπ et vérifie :
La fonction exponentielle complexe s'exprime donc à l'aide de la fonction exponentielle réelle et des fonctions trigonométriques. Sa périodicité empêche la création d'une réciproque, c'est la raison pour laquelle prolonger le logarithme naturel à l'ensemble des nombres complexes, donne naturellement une fonction multiforme , appelée logarithme complexe.
L' exponentielle plus générale :
est alors aussi une fonction multiforme. Les propriétés ci-dessus des exponentielles restent vraies à condition de les interpréter convenablement comme des relations entre fonctions multiformes.
Si on peut représenter graphiquement, dans l'espace, les fonctions
,
,
et
Pour d'autres représentations de l'exponentielle à base e, se référer à l'article en anglais de wikimedia commons.
La définition de l'exponentielle comme série entière permet de définir l'exponentielle d'une matrice carrée comme
Les exponentielles de matrices sont utiles dans la résolution des équations différentielles ordinaires.
La définition de l'exponentielle comme un morphisme continu d'un groupe additif vers un groupe multiplicatif permet de définir une fonction exponentielle de R vers tout groupe topologique; Plus généralement, pour un groupe topologique G, on appelle sous-groupe à un paramètre tout morphisme continu R→G. Certains ouvrages peuvent remplacer l'hypothèse de continuité par la mesurabilité.
La définition de la fonction exponentielle comme solution d'une équation différentielle se généralise pour les groupes de Lie et les géodésiques dans les variétés riemanniennes
La définition de l'exponentielle comme série entière permet de la définir sur des algèbres de Banach.
La fonction exponentielle est d'une utilité capitale en trigonométrie. Les formules d'Euler (que l'on démontre à partir de la définition exp(iz) = cos(z) + isin(z)) nous donnent un lien direct entre les fonction cosinus et sinus, réelles ou non, et la fonction exponentielle complexe.
Ces formules permettent de retrouver la plupart des formules trigonométriques, en particulier
à partir desquelles on peut retrouver quasiment toutes les autres.
La fonction exponentielle est aussi un moyen facile (bien que les calculs puissent être longs) de linéariser des fonctions trigonométriques.
Il suffit alors de développer la somme grâce à la formule du binôme de Newton, à regrouper les termes sachant que
La fonction exponentielle trouve aussi son utilité quand on veut démontrer la formule de Moivre.
A partir de la fonction exponentielle, on peut définir les fonctions de trigonométrie hyperbolique, définissant les fonctions hyperboliques cosinus hyperbolique, ch (ou cosh en anglais) et sinus hyperbolique, sh (ou sinh en anglais), utilisées en partie dans les résolutions des équations différentielles de second ordre.
Les fonctions exponentielles où t est un réel sont utilisées dans la théorie de Fourier. Elles permettent d'exprimer toute fonction périodique comme somme de fonctions trigonométriques, ce sont les séries de Fourier. Elles permettent aussi de définir la transformée de Fourier d'une fonction de carré sommable.
L'importance majeure des fonctions exponentielles en sciences, provient du fait qu'elles sont des multiples constants de leur propre dérivée. a étant un nombre réel ou complexe, on a :
ou plus exactement, on a si et seulement si
Si une grandeur croît ou décroît, en fonction du temps et que la vitesse de «sa course» est proportionnelle à «sa taille», comme dans le cas de la croissance d'une population, des intérêts composés continus ou de la décroissance radioactive, alors cette grandeur peut être exprimée comme une constante fois une fonction exponentielle du temps.
La fonction exponentielle de base e est solution de l'équation différentielle élémentaire :
et on la rencontre fréquemment dans les solutions d'équations différentielles. En particulier, les solutions d'une équation différentielle linéaire peuvent être écrites à l'aide des fonctions exponentielles. On les trouve aussi dans les solutions des équations différentielles de Schrödinger, de Laplace ou dans l'équation différentielle du mouvement harmonique simple.
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