L'île des mathématiques propose des cours et des exercices de maths et de physique.

L'île des Mathématiques

Image réciproque

Image réciproque : encyclopédie mathématique

wikipedia

Cet article est issu de l'encyclopédie libre Wikipedia.
Vous pouvez consulter l'article ici ainsi que son historique.
Les textes et les images sont disponibles sous les termes de la Licence de documentation libre GNU.

Aller à : Navigation, Rechercher

L'image réciproque d'une partie B d'un ensemble Y par une application $f:X\rightarrow Y$ est le sous-ensemble de X constitué des éléments dont l'image par f appartient à B : $f^{-1}(B) = \{x \in X / f(x)\in B\}$ .

Exemple : Considérons l'application $f:\{1, 2, 3\}\rightarrow \{a, b, c, d\}$ , définie par

$1\mapsto a, \quad 2\mapsto c, \quad 3\mapsto d$

L'image réciproque de {a,b} par f est $f - 1 ({a, b}) = {1}$ .

Notons qu'avec cette définition, f^-1 devient une fonction dont l'ensemble de définition est l'ensemble de toutes les parties de Y et dont l'ensemble d'arrivée est l'ensemble des parties de X.

Mise en garde : Lorsque f est une bijection, il ne faut pas confondre cette opération sur les parties avec l'application réciproque f_-1. Fort heureusement, l'image réciproque par f s'identifie avec l'image directe par f^-1.

[modifier] Propriétés élémentaires

Pour toutes parties B₁ et B₂ de Y,

$f^{-1}\left(B_1 \cup B_2\right) = f^{-1}(B_1) \cup f^{-1}(B_2)$ .

$f^{-1}\left(B_1 \cap B_2\right) = f^{-1}(B_1) \cap f^{-1}(B_2)$ .

pour toute partie B de Y, $f(f^{-1}(B)) \subset B$ .

$\forall B\subset Y, f(f^{-1}(B)) = B \Leftrightarrow f \ {\rm surjective}$

pour toute partie A de X, $A\subset f^{-1}(f(A))$

$\forall A\subset X, A = f^{-1}(f(A)) \Leftrightarrow f \ {\rm injective}$

pour toutes parties A et B de Y,

$f^{-1}\left(A\backslash B\right)=f^{-1}(A)\backslash f^{-1}(B)$

Pour toute famille $\left(B_i\right)_{i\in I}$ de parties de Y,

$f^{-1}\left(\bigcap_{i\in I}B_i\right)= \bigcap_{i\in I}f^{-1}(B_i)$

$f^{-1}\left(\bigcup_{i\in I}B_i\right)= \bigcup_{i\in I}f^{-1}(B_i)$

Nous disons en général qu' « avec l'image réciproque tout est possible ».

[modifier] Voir aussi

Image directe
Théorie des ensembles

wikipedia

Cet article est issu de l'encyclopédie libre Wikipedia.
Vous pouvez consulter l'article ici ainsi que son historique.
Les textes et les images sont disponibles sous les termes de la Licence de documentation libre GNU.

cours particuliers - cours de maths

retrouvez cette page sur

l'île des mathématiques

haut de page
© Tom_Pascal & Océane 2006

Menu

Membres

Zone membre :

s'inscrire
Nouveau les nouveautés
Livre d'or : y laisser un message ou le consulter.
Newsletter pour rester informé.