L'image réciproque d'une partie B d'un ensemble Y par une application f : X → Y est le sous-ensemble de X constitué des éléments dont l'image par f appartient à B :
 = \{x \in X~|~f(x)\in B\}~.)
[modifier] Exemples
- Considérons l'application f : {1,2,3} → {a,b,c,d} définie par f(1)=a, f(2)=c, f(3)=d. L'image réciproque de {a, b} par f est f-1({a,b)}={1}.
- Considérons une application quelconque f : X → Y et y un élément de Y. L'image réciproque f-1({y}) du singleton {y} par f est l'ensemble des antécédents par f de y.
[modifier] L'application « image réciproque »
Avec cette définition, f-1 est l'application « image réciproque (par f) » , dont l'ensemble de définition est l'ensemble des parties de Y et dont l'ensemble d'arrivée est l'ensemble des parties de X.
Mise en garde : Lorsque f est une bijection, il ne faut pas confondre cette application sur les parties avec la bijection réciproque de f, également notée f-1, de Y dans X. Fort heureusement, l'image réciproque par f s'identifie avec l'image directe par cette bijection réciproque f-1.
[modifier] Propriétés élémentaires
- Pour toutes parties B1 et B2 de Y,
.
.
- Pour toute partie B de Y,
)=B\cap\mathrm{Im}(f)~)
- (une démonstration est proposée dans l'article Image directe).
- En particulier si f est surjective alors f(f − 1(B)) = B.
- On peut même prouver que f et surjective si et seulement si pour toute partie B de Y on a f(f − 1(B)) = B.
- (Une démonstration est proposée dans l'article Surjection.)
- Pour toute partie A de X,
))
- L'inclusion dans l'autre sens est fausse en général si f n'est pas injective.
- On peut même prouver que f et injective si et seulement si pour toute partie A de X on a f − 1(f(A)) = A.
- Pour toutes parties A et B de Y,
=f^{-1}(A)\backslash f^{-1}(B))
- Pour toute famille non vide
de parties de Y,
= \bigcap_{i\in I}f^{-1}(B_i))
= \bigcup_{i\in I}f^{-1}(B_i))
- Si l'on considère de plus une application
, alors l'image réciproque d'une partie C de Z par la composée
est :
^{-1}\left(C\right)=f^{-1}(g^{-1}(C)).)