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Nombre de Fermat


Nombre de Fermat : encyclopédie mathématiques

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Pierre de Fermat étudie les propriétés des nombres portant maintenant son nom.

Un nombre de Fermat est un entier naturel qui peut s'écrire sous la forme 22n + 1, avec n entier. Le ne nombre de Fermat, 22n + 1, est noté Fn.

Ces nombres doivent leur nom au mathématicien français Pierre de Fermat (1601-1665) qui émit la conjecture que tous ces nombres étaient premiers. Cette conjecture se révéla fausse, F5 étant composé, de même que tous les nombres de Fermat jusqu'à F32. On ne sait pas si les nombres à partir de F33 sont premiers ou composés. Les seuls nombres de Fermat premiers connus sont donc F0, F1, F2, F3 et F4.

Ces nombres disposent de propriĂ©tĂ©s intĂ©ressantes, en gĂ©nĂ©ral issues de l'arithmĂ©tique modulaire ; en particulier, Carl Friedrich Gauss a Ă©tabli un lien entre ces nombres et la construction Ă  la règle et au compas des polygones rĂ©guliers : un polygone rĂ©gulier Ă  n cĂ´tĂ©s peut ĂŞtre construit Ă  la règle et au compas si et seulement si n est une puissance de 2, ou le produit d'une puissance de 2 et de nombres de Fermat premiers distincts.

Sommaire

[modifier] Histoire

En 1640, dans une lettre adressĂ©e Ă  Bernard FrĂ©nicle de Bessy, Pierre de Fermat Ă©nonce, et probablement dĂ©montre son petit thĂ©orème : « Et cette proposition est gĂ©nĂ©ralement vraie en toutes progressions et en tous nombres premiers ; de quoi je vous envoierois la dĂ©monstration, si je n'apprĂ©hendois d'ĂŞtre trop long Â»[1]. Ce thĂ©orème lui permet d'Ă©tudier les nombres portant maintenant son nom. Dans cette mĂŞme lettre[2], il Ă©met la conjecture que ces nombres sont tous premiers sans parvenir Ă  trouver une preuve « je n'ai pu encore dĂ©montrer nĂ©cessairement la vĂ©ritĂ© de cette proposition Â». Cette hypothèse le fascine, deux mois plus tard, dans une lettre Ă  Marin Mersenne, il Ă©crit : « Si je puis une fois tenir la raison fondamentale que 3, 5, 17, etc. sont nombres premiers, il me semble que je trouverai de très belles choses en cette matière, car j'ai dĂ©jĂ  trouvĂ© des choses merveilleuses dont je vous ferai part Â»[3]. Il Ă©crit encore Ă  Blaise Pascal : « je ne vous demanderais pas de travailler Ă  cette question si j'avais pu la rĂ©soudre moi-mĂŞme Â». Dans une lettre Ă  Kenelm Digby, non datĂ©e mais envoyĂ©e par Digby Ă  John Wallis le 16 juin 1658, Fermat donne encore sa conjecture[4] comme non dĂ©montrĂ©e[5]. Toutefois, dans une lettre de 1659 Ă  Pierre de Carcavi[6], il s'exprime en des termes qui, selon certains auteurs, impliquent qu'il estime avoir trouvĂ© une dĂ©monstration[7].

Cette conjecture se rĂ©vèlera fausse, c'est d'ailleurs la seule conjecture erronĂ©e de Fermat. Leonhard Euler prĂ©sente[8] un diviseur de F5 en 1732. Il ne dĂ©voile la construction de sa preuve[9] que quinze ans plus tard. Elle correspond exactement aux travaux de Fermat lui ayant permis de dĂ©montrer[10] en 1640 la non primalitĂ© des candidats de paramètres 23 et 37 pour les nombres de Mersenne.[rĂ©f. insuffisante]

[modifier] Propriétés

[modifier] Premières propriétés

La suite des nombres de Fermat possède plusieurs relations de rĂ©currence. On peut citer par exemple si n est supĂ©rieur ou Ă©gal Ă  2 :

  • F_n \ = \ (F_{n - 1} -1)^2 + 1 \quad ou \quad F_{n} = F_{n-1}^2 - 2(F_{n-2}-1)^2\;

Ou encore, avec des produits de nombres de Fermat :

  • F_n \ = \ \prod_{i=0}^{n-1} F_i  \ + \ 2 \quad ou \quad F_{n} = F_{n-1} + 2^{2^{n-1}}\prod_{i=0}^{n-2} F_i\;

On en dĂ©duit le thĂ©orème de Goldbach[11] affirmant que :

Soit D(n, b) le nombre de chiffres utilisés pour écrire Fn en base b.

  • La valeur de D(n,b) est donnĂ©e par la formule suivante :
D(n,b) = \lfloor \log_{b}\left(2^{2^{\overset{n}{}}}+1\right)+1 \rfloor \approx \lfloor 2^{n}\,\log_{b}2+1 \rfloor

Les crochets désignent la fonction partie entière et logb le logarithme de base b.

  • Aucun nombre de Fermat n'est somme de deux nombres premiers Ă  l'exception de F1 = 2 + 3.
  • Aucun nombre de Fermat n'est la diffĂ©rence de deux puissances de nombres premiers impairs.
  • La somme des inverses de tous les nombres de Fermat est irrationnelle[12].

[modifier] Nombre de Fermat et primalité

La raison historique de l'Ă©tude des nombres de Fermat est la recherche de nombres premiers. Fermat connaissait dĂ©jĂ  la proposition suivante :

  • Soit k un entier strictement positif, si le nombre 2k + 1 est premier alors k est une puissance de 2.

Fermat a conjecturĂ© que la rĂ©ciproque Ă©tait vraie, il a montrĂ© que :

F0 = 3 est premier
F1 = 5 est premier
F2 = 17 est premier
F3 = 257 est premier
et F4 = 65537 est premier

Actuellement, on ne connaît que cinq nombres de Fermat premiers, ceux cités ci-dessus.

On ignore encore s'il en existe d'autres, mais on sait que les nombres de Fermat Fn, pour n entre 5 et 32, sont tous composĂ©s ; F33 est le plus petit nombre de Fermat dont on ne sait pas s'il est premier ou composĂ©.

À la date du 22 juin 2011, le plus grand nombre de Fermat dont on sait qu'il est composé est F2 543 548[13]

[modifier] Factorisation des nombres de Fermat composés

Euler utilise une mĂ©thode de Fermat pour dĂ©montrer que F5 n'est pas premier. Il dĂ©montre pour cela trois propositions :

  • Un facteur premier du nombre de Fermat Fn est de la forme k. 2 m + 1 oĂą k est un entier impair, et m > = n + 2.
  • L'entier k de la proposition prĂ©cĂ©dente possède un facteur premier impair.
  • F5 est divisible par 641.

Le cas général est un problème difficile du fait de la taille des entiers Fn, même pour des valeurs relativement faibles de n. Aujourd'hui, le plus grand nombre de Fermat dont on connaisse la factorisation complète est F11[14], dont le plus grand des cinq diviseurs premiers a 560 chiffres (la factorisation complète de Fn, pour n entre 5 et 10, est, elle aussi, entièrement connue). En ce qui concerne F12, on sait qu'il est composé mais c'est, à la date du 27 mars 2010, le plus petit nombre de Fermat dont on ne connaisse pas la factorisation complète[15]. Quant à F20, c'est, à la date du 3 février 2010, le plus petit nombre de Fermat composé dont on ne connaisse aucun diviseur premier[16]

[modifier] Polygone régulier

Article dĂ©taillĂ© : ThĂ©orème de Gauss-Wantzel.

Gauss et Wantzel ont Ă©tabli un lien entre ces nombres et la construction Ă  la règle et au compas des polygones rĂ©guliers : un polygone rĂ©gulier Ă  n cĂ´tĂ©s est constructible si et seulement si n est le produit d'une puissance de 2 (Ă©ventuellement Ă©gale Ă  20=1) et d'un nombre fini (Ă©ventuellement nul) de nombres de Fermat premiers distincts.

Par exemple, le pentagone rĂ©gulier est constructible Ă  la règle et au compas puisque 5 est un nombre de Fermat premier ; de mĂŞme, un polygone Ă  340 cĂ´tĂ©s est constructible Ă  la règle et au compas puisque 340 = 22.F1.F2.

[modifier] Généralisation

Il est possible de généraliser une partie des résultats obtenus pour les nombres de Fermat.

Pour que m = ab + 1 soit premier, a doit ĂŞtre pair (a = 2k) et b une puissance de 2 (b = 2n).

On appelle ces nombres les nombres de Fermat généralisés.

[modifier] Bibliographie

  • Michal Křížek, Florian Luca et Lawrence Somer, 17 Lectures on Fermat Numbers: From Number Theory to Geometry, Springer, New York, 2001, 257 p. (ISBN 978-0-387-95332-8) (Contient une bibliographie Ă©tendue.)

[modifier] Notes et références

[modifier] Notes

  1. ↑ Lettre XLIV Ă  FrĂ©nicle, 18 octobre 1640, dans Ĺ’uvres de Fermat, t. 2, p. 209.
  2. ↑ Dans une autre lettre Ă  FrĂ©nicle il Ă©crit aussi : « Mais voici ce que j'admire le plus : c'est que je suis quasi persuadĂ© que tous les nombres progressifs augmentĂ©s de l'unitĂ©, desquels les exposants sont des nombres de la progression double, sont nombres premiers, comme 3, 5, 17, 257, 65537, 4 294 967 297 et le suivant de 20 lettres 18 446 744 073 709 551 617 ; etc. Je n'en ai pas la dĂ©monstration exacte, mais j'ai exclu si grande quantitĂ© de diviseurs par dĂ©monstrations infaillibles, et j'ai de si grandes lumières, qui Ă©tablissent ma pensĂ©e, que j'aurois peine Ă  me dĂ©dire. Â», Lettre XLIII, aoĂ»t ? 1640, dans Ĺ’uvres de Fermat, t. 2, p. 206.
  3. ↑ Lettre XLV, 25 DĂ©cembre 1640, dans Ĺ’uvres de Fermat, t. 2, p. 213. Édouard Lucas, dans ses RĂ©crĂ©ations mathĂ©matiques, tome II, p. 234 donne cette citation infidèle (7 n'a pas Ă  ĂŞtre dans la liste) : « Si je puis une fois tenir la raison fondamentale que 3, 5, 7, 17, 257, 65537 sont nombres premiers […]».
  4. ↑ « Potestates omnes numeri 2, quarum exponentes sunt termini progressionis geometricæ ejusdem numeri 2, unitate auctae, sunt numeri primi Â» « Toutes les puissances du nombre 2 dont les exposants sont des termes de la progression gĂ©omĂ©trique du mĂŞme nombre 2, donnent, si on les augmente d'une unitĂ©, des nombres premiers Â».
  5. ↑ « propositiones aliquot quarum demonstrationem a nobis ignorari non diffitemur (...) Quaeritur demonstratio illius propositionis, pulchræ sane, sed et verissimæ Â» (« quelques propositions dont nous ne nierons pas ignorer la dĂ©monstration (...) Il reste Ă  trouver une dĂ©monstration de cette proposition, certainement belle mais aussi très vraie Â», lettre XCVI dans Ĺ’uvres de Fermat, t. 2, p. 402-405.
  6. ↑ Lettre CI, point 5, dans Ĺ’uvres de Fermat, t. 2, p. 433-434. Fermat Ă©numère des questions qui se traitent par sa mĂ©thode de la descente infinie. Il place parmi ces questions sa conjecture (erronĂ©e) sur les nombres dits depuis nombres de Fermat et il ne dit plus, comme il l'avait fait dans des lettres antĂ©rieures, qu'il n'a pas encore trouvĂ© de dĂ©monstration de cette conjecture.
  7. ↑ C'est l'interprétation que donne H.M. Edwards, Fermat's Last Theorem, Springer, 1977, p. 24, prenant position contre les vues contraires de E.T. Bell, The Last Problem, New York, 1961, p. 256.
  8. ↑ (la) L. Euler, Observationes de theoremate quodam Fermatiano aliisque ad numeros primos spectantibus, Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae (6) 1738 p. 102-103 1732
  9. ↑ (la) L. Euler, Theoremata circa divisors numerorum, Novi commentarii academiae scientiarum Petropolitanae (1) 1750 p. 20-48 1747/48
  10. ↑ (en) John J. O’Connor et Edmund F. Robertson, « Marin Mersenne Â», dans MacTutor History of Mathematics archive, universitĂ© de St Andrews [lire en ligne] .
  11. ↑ L. Durman, Histoire des nombres de Fermat sur Distributed search for Fermat number divisors 2003
  12. ↑ (en) S. W. Golomb, On the sum of the reciprocals of the Fermat numbers and related irrationalities, Canad. J. Math. 15 (1963), 475-478.
  13. ↑ (en) World record prime Fermat divisor, PrimeGrid, 22 juin 2011.
  14. ↑ (en) Richard P. Brent, Factorization of the Tenth and Eleventh Fermat Numbers, février 1996.
  15. ↑ Depuis le 27 mars 2010, on connaît six des diviseurs premiers de F12, mais toujours pas sa décomposition complète. Voir [1].
  16. ↑ Avant le 3 février 2010, le plus petit nombre de Fermat composé dont on ne connaissait aucun diviseur premier était F14. Le 3 février 2010, un facteur premier de F14 a été découvert par Tapio Rajala, Département de Mathématiques et Statistiques, Université de Jyväskylä, Finlande. Voir le site prothsearch. Tapio Rajala a annoncé sur le mersenneforum que F14 est divisible par 116928085873074369829035993834596371340386703423373313.

[modifier] Référence

Ĺ’uvres de Fermat, t. 2, Paris, Gauthier-Villars, 1894 [lire en ligne] 

[modifier] Voir aussi

[modifier] Articles connexes

[modifier] Liens externes

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