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Puissance (mathématiques élémentaires)



Puissance (mathématiques élémentaires) : encyclopédie mathématiques

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\begin{array}{l} a^0 = 1 \\ a^1 = a \\ a^2 = a\times a \\ a^3 = a\times a \times a\end{array}
Premières puissances d'un nombre a

En alg√®bre, une puissance d'un nombre est le r√©sultat de la multiplication r√©p√©t√©e de ce nombre avec lui-m√™me. Elle est souvent not√©e en assortissant le nombre d'un entier, typographi√© en exposant, qui indique le nombre de fois qu'appara√ģt le nombre comme facteur dans cette multiplication.

a^n = \underbrace{a \times \cdots \times a}_{n\ \mathrm{facteurs}}

Elle se lit ¬ę a puissance n ¬Ľ ou ¬ę a exposant n ¬Ľ. L'entier n est appel√© exposant.

En particulier, le carré et le cube sont des puissances d'exposant 2 et 3 respectivement. Tout nombre est égal à sa propre puissance d'exposant 1, tandis que toute puissance d'exposant nul vaut 1 par convention.

2^3 = 8
Codage d'une puissance.

Pour chaque exposant, la puissance d√©finit donc une op√©ration, dont la notation est prioritaire sur les autres symboles d'op√©rations alg√©briques √©l√©mentaires. L'op√©ration binaire associ√©e est l'exponentiation, qui se note parfois √† l'aide du symbole ¬ę ^ ¬Ľ, notamment sur les calculatrices. On trouve aussi le symbole ** dans certains langages de programmation (par exemple Python ou Ada)

Lorsqu'un nombre possède un inverse, il est possible de définir ses puissances d'exposant négatif comme les puissances de cet inverse. Sous certaines conditions, il est même possible de définir des puissances d'exposant rationnel comme 1/2, qui correspond à la racine carrée pour les réels positifs. La fonction exponentielle permet ensuite d'étendre cette définition aux exposants réels ou complexes.

Les op√©rations alg√©briques sur les puissances d'un nombre ou de plusieurs poss√®dent des propri√©t√©s particuli√®res. Les puissances de dix, comme 10‚ąí5, sont d'une utilisation r√©guli√®re dans les autres sciences, notamment en physique et en chimie.

Puissance à exposant entier positif[modifier | modifier le code]

On consid√®re un nombre a quelconque et un entier naturel n non nul. La puissance √©ni√®me de a, not√©e an et lue ¬ę  a puissance n ¬Ľ, ou ¬ę a exposant n ¬Ľ est le r√©sultat de la multiplication de ce nombre a par lui-m√™me n ‚Äď 1 fois :

a^n = \underbrace{a \times \cdots \times a}_{n\text{ facteurs}\atop n-1\text{ signes }\times} = \prod_{i=1}^na

Le nombre n est appelé l'exposant de la puissance an.

Le nombre n est un entier naturel (donc positif) et an est une puissance à exposant entier positif de a.

Cas particuliers
  • a¬Ļ = a ;
  • On appelle a¬≤ la puissance carr√©e ou le carr√© de a ;
  • On appelle a¬≥ la puissance cubique ou le cube de a.

On remarque que, quel que soit l'entier naturel n non nul, 0n = 0 et 1n = 1.

Puissance à exposant zéro[modifier | modifier le code]

Pour tout réel a, on pose a0 = 1 d'après la convention sur les produits vides. Cette définition sera cohérente avec les opérations algébriques sur les puissances.

La convention 00 = 1 est utilis√©e dans un cadre abstrait plus large, par exemple pour identifier le polyn√īme X0 avec la fonction constante de valeur 1. De m√™me, dans le cadre de la th√©orie des ensembles, la notation 00 peut repr√©senter le nombre d'√©l√©ments de l'ensemble des applications de l'ensemble vide dans lui-m√™me et donc valoir 1.

Cependant, l'application (x,y)\mapsto x^y = \exp(y \ln(x)), bien définie sur \R^*_+\times \R, n'admet pas de prolongement par continuité en (0, 0), ce qui interdit le choix d'une convention acceptable en toute généralité. Néanmoins des conventions sont possibles, limitées à des domaines bien définis[1].

Puissance à exposant entier négatif[modifier | modifier le code]

On consid√®re maintenant un nombre a non nul et un entier naturel n. Le nombre a‚Äďn, lu ¬ę a puissance moins n ¬Ľ, ou ¬ę a exposant moins n ¬Ľ par abus de langage, est l'inverse de la puissance √©ni√®me de a, c'est-√†-dire :

a^{-n}=\dfrac{1}{a^{n}}.

On comprend qu'il ait fallu exclure 0 de cette définition car l'inclure serait revenu à vouloir diviser par 0, ce qui est impossible.

Le nombre ‚Äďn est l'exposant de la puissance a‚Äďn.

Le nombre ‚Äďn √©tant n√©gatif, car n est un entier naturel, a‚Äďn est une puissance de a √† exposant n√©gatif. On notera, en particulier, que a‚Äď1 = 1/a (l'inverse du nombre a ).

On peut appliquer cette r√®gle pour transformer une puissance positive en inverse d'une puissance n√©gative :

a^n=\dfrac{1}{a^{-n}}

Signe de l'exposant entier et signe du nombre[modifier | modifier le code]

Il n'y a pas de rapport direct entre le signe de l'exposant et le signe du résultat. Celui-ci dépend de la parité de l'exposant.

Un nombre √©lev√© √† une puissance paire donne un r√©sultat positif : si n est pair, alors (‚Äďa)n = an.

Un nombre √©lev√© √† une puissance impaire donne un r√©sultat du m√™me signe : si n est impair, alors (‚Äďa)n = ‚Äďan.

Exemples.
  • (‚Äď2)3, puissance cubique de ‚Äď2, vaut (‚Äď2)√ó(‚Äď2)√ó(‚Äď2) = ‚Äď8 < 0.
  • 3‚Äď4, l'inverse de la puissance quatri√®me de 3, vaut
\dfrac{1}{3^4}=\dfrac{1}{3\times3\times3\times3}=\dfrac{1}{81}>0
Remarque.

Il ne faut pas confondre les √©critures (‚Äďa)n, o√Ļ la puissance s'applique √† ‚Äďa (signe moins compris) et ‚Äďan, o√Ļ la puissance s'applique √† a uniquement. En effet :

  • (-a)^n = (-a)\times(-a)\times(-a)\times \dots \times(-a)
  • -a^n = - a\times a\times a\times \dots \times a

Opérations algébriques sur les puissances entières[modifier | modifier le code]

Il n'y a pas de formule g√©n√©rale sur les additions ou les soustractions de puissances, sauf la factorisation de an ‚Äď bn et le d√©veloppement de (a + b)n.

En revanche, pour les multiplications et les divisions de puissances, on sait que pour tous nombres a et b et pour tous entiers naturels m et n non nuls :

  • a^m\times{a}^{n}=a^{m+n} ;
  • \dfrac{a^m}{a^n}=a^{m-n} si a ‚Ȇ 0 ;
  • (a\times{b})^{n}=a^{n}\times{b^{n}}
  • (a^m)^n=a^{m\times{n}} ;
  • \left(\dfrac{a}{b}\right)^n=\dfrac{a^n}{b^n} si b ‚Ȇ 0.

Ces formules sont encore valables si m ou n sont des entiers strictement négatifs, à condition que a et b soient non nuls.

On remarque que la convention ¬ę a‚Āį = 1 pour tout nombre r√©el a ‚Ȇ 0 ¬Ľ est coh√©rente avec ces formules ; en effet, pour tout entier naturel n ‚Ȇ 0 et pour tout nombre r√©el a ‚Ȇ 0,

  • a^n\times{a}^{-n}=a^{n+(-n)}=a^{n-n}=a^0
  • a^n\times{a}^{-n}={a^n}\times\dfrac{1}{a^n}=\dfrac{a^n}{a^n}=1.

On remarquera qu'en prenant n = 0, les égalités précédentes restent vraies.

Puissances de dix[modifier | modifier le code]

Les puissances de 10 sont des cas particuliers de puissance. Leur intérêt réside dans le fait que notre écriture est décimale.

Table des puissances de dix
Puissance de dix
négatives ou nulle
Préfixe Puissance de dix
positives ou nulle
Préfixe
100 = 1 - 100 = 1 -
10‚ąí1 = 0,1 d (d√©ci-) 101 = 10 da (d√©ca-)
10‚Äď2 = 0,01 c (centi-) 102 = 100 h (hecto-)
10‚Äď3 = 0,001 m (milli-) 103 = 1 000 k (kilo-)
10‚Äď4 = 0,000 1 - 104 = 10 000 -
10‚Äď5 = 0,000 01 - 105 = 100 000 -
10‚Äď6 = 0,000 001 ¬Ķ (micro-) 106 = 1 000 000 M (m√©ga-)
etc. etc. etc. etc.

Le nombre 10 élevé à une puissance entière positive n est un chiffre 1 suivi de n zéros.

Le nombre 10 √©lev√© √† une puissance enti√®re n√©gative ‚Äďn est un 1 plac√© √† la n e position dans un nombre d√©cimal, i. e. pr√©c√©d√© de n z√©ros en comptant celui avant la virgule.

On utilise fr√©quemment les puissances multiples de 3, qui correspondent aux pr√©fixes du syst√®me international :

Table des puissances de dix multiples de trois
Puissance de dix
négatives
Préfixe SI Puissance de dix
positives
Préfixe SI
10‚Äď3 = 0,001
un millième
m (milli-) 103 = 1 000
mille
k (kilo-)
10‚Äď6 = 0,000 001
un millionième
¬Ķ (micro-) 106 = 1 000 000
un million
M (méga-)
10‚Äď9 = 0,000 000 001
un milliardième
n (nano-) 109 = 1 000 000 000
un milliard
G (giga-)
10‚Äď12 = 0,000 000 000 001
un millième de milliardième
p (pico-) 1012 = 1 000 000 000 000
mille milliards
T (téra-)
etc. etc. etc. etc.

Si la virgule signale la position des unit√©s dans l'√©criture d'un nombre d√©cimal, multiplier par 10 revient √† d√©placer la virgule d'un rang vers la droite et diviser par 10 revient √† d√©placer la virgule d'un rang vers la gauche. Donc multiplier par 10n pour tout entier positif n revient √† d√©placer la virgule de n rangs vers la droite ; diviser par 10n pour tout entier positif n revient √† d√©placer la virgule de n rangs vers la gauche. Ainsi,

  • 325,72 √ó 10 = 3 257,2
  • 325,72/10 = 32,572
  • 325,72 √ó 105 = 32 572 000
  • 325,72/105 = 0,003 257 2

Il faut savoir que ce sont la base des théories pour faire tous les calculs par la suite.

Les propriétés énoncées sur les puissances de a restent valables pour les puissances de 10.

L'utilisation des puissances de 10 intervient :

  • dans l'√©criture explicite en base 10 :
325,72 = 3¬∑102 + 2¬∑101 + 5¬∑100 + 7¬∑10‚ąí1 + 2¬∑10‚Äď2 ;
  • dans l'√©criture scientifique des nombres d√©cimaux :
325,72 est noté 3,257 2 × 102
o√Ļ le nombre est √©crit comme le produit d'un nombre, appel√© mantisse, compris entre 1 et 10 (strictement inf√©rieur √† 10), avec une puissance enti√®re de 10 appel√©e exposant ;
  • et dans la notation ing√©nieur :
325,72 est noté 325,72
32 572 est not√© 32,572 √ó 103
o√Ļ le nombre est √©crit comme produit d'un nombre compris entre 1 et 999 compris, avec une puissance de 10 dont l'exposant est un multiple de 3.

Généralisation aux puissances à exposant réel[modifier | modifier le code]

Article d√©taill√© : Exponentielle de base a.

On peut aussi élever un nombre a strictement positif à une puissance à exposant réel quelconque.

Pour cela, on peut d√©finir successivement :

  • d'abord des puissances fractionnaires simples : a1/n = n‚ąöa, o√Ļ n est un entier, qui co√Įncident avec les racines n-i√®mes pour tout a > 0. Voir racine carr√©e, racine cubique et racine d'un nombre ;
  • puis des puissances fractionnaires compos√©es : ap/q = (a1/q)p = (ap)1/q ;
  • et enfin, par continuit√©, des puissances √† exposant r√©el quelconque : ax peut ainsi √™tre d√©fini pour tout x r√©el et tout a > 0.

Pour un nombre a > 0 donn√©, la fonction x\mapsto a^x ainsi obtenue est appel√©e fonction exponentielle de base a. Elle peut s'exprimer √† l'aide des seules fonctions logarithme n√©p√©rien et exponentielle :

 a^x = \exp(x \ln(a))

Ces puissances fractionnaires et r√©elles r√©pondent aux m√™me r√®gles que les puissances enti√®res. Notamment, pour tous a > 0, b et c r√©els quelconques :

  • a^b \times a^c = a^{b+c}~;
  • (a^b)^c = a^{b \times c}.

On a en particulier :

  • a^{-1/b} = \dfrac{1}{\sqrt[b]{a}} pour tout entier b non nul ;
  • \sqrt[c]{a^b} = a^{b/c} si c est entier non nul ;
  • (a^b)^{1/b} = (a^{1/b})^b = \sqrt[b]{a^b} = \left ( \sqrt[b]{a} \right )^b = a^{b/b} = a si b est entier non nul.

Note et référence[modifier | modifier le code]

  1. ‚ÜĎ Jean Jacquelin, ¬ę Z√©ro puissance z√©ro ¬Ľ, Quadrature, vol. 66,‚Äé octobre 2007, p. 34-36 (lire en ligne).

Voir aussi[modifier | modifier le code]

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