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1/m+...1/n
Posté le 05-11-06 à 15:51
Posté par 
Camélia Camélia 
Bonjour à tous!
Il s'agit de montrer que pour tout couple d'entiers m et n tels que 1
J'ai fini par trouver une solution qui me parait compliquée et de toute façon inabordable en première, surtout sans questions intermédiaires.
Si quelqu'un connaissait la "solution officielle" je lui serais très reconnaissante de me la dire.
Merci d'avance!
Camélia Camélia Bonjour à tous!
Il s'agit de montrer que pour tout couple d'entiers m et n tels que 1
J'ai fini par trouver une solution qui me parait compliquée et de toute façon inabordable en première, surtout sans questions intermédiaires.
Si quelqu'un connaissait la "solution officielle" je lui serais très reconnaissante de me la dire.
Merci d'avance!
re : 1/m+...1/n Posté le 05-11-06 à 17:39
Posté le 05-11-06 à 17:39Posté par Cauchy Cauchy
Bonjour,
pour m=1, si tu mets tout sur n! et que tu consideres p le plus grand diviseur premier de n! alors t'auras:
1+1/2+....1/n=((n!)+(n!/2)+......(n!/p)+...n!/n)/n!
p divise chaque terme au numerateur sauf n!/p donc si c'est un entier ca veut dire qu'il divise la somme mais c'est impossible. Oups en fait non ca marche pas n!/p peut etre divisible par p si t'as p<2p<n.
Ah bah non ca contredirait vu qu'il existe toujours un nombre premier entre p et 2p(il y a juste ca qui fait raté la preuve pour le lycée).
Sinon tu condiseres le plus grand k tel que 2^k divise n! et tu raisonnes comme au-dessus ca doit fonctionner.
Cauchy CauchyBonjour,
pour m=1, si tu mets tout sur n! et que tu consideres p le plus grand diviseur premier de n! alors t'auras:
1+1/2+....1/n=((n!)+(n!/2)+......(n!/p)+...n!/n)/n!
p divise chaque terme au numerateur sauf n!/p donc si c'est un entier ca veut dire qu'il divise la somme mais c'est impossible. Oups en fait non ca marche pas n!/p peut etre divisible par p si t'as p<2p<n.
Ah bah non ca contredirait vu qu'il existe toujours un nombre premier entre p et 2p(il y a juste ca qui fait raté la preuve pour le lycée).
Sinon tu condiseres le plus grand k tel que 2^k divise n! et tu raisonnes comme au-dessus ca doit fonctionner.
re : 1/m+...1/n Posté le 05-11-06 à 20:50
Posté le 05-11-06 à 20:50Posté par Cauchy Cauchy
J'ai une preuve par recurrence sinon, ou on montre que 1+1/2+....+1/n est de la forme impair/pair mais j'ai du suppose en plus dans l'hypothese de recurrence que si 2^a<=n<2^(a+1) :
alors 2^a divise le denominateur mais pas 2^a+1.
Apres j'ai fait 2 cas n pair et impair et normalement ca fonctionne je sais pas si on peut trouver plus simple.
Cauchy CauchyJ'ai une preuve par recurrence sinon, ou on montre que 1+1/2+....+1/n est de la forme impair/pair mais j'ai du suppose en plus dans l'hypothese de recurrence que si 2^a<=n<2^(a+1) :
alors 2^a divise le denominateur mais pas 2^a+1.
Apres j'ai fait 2 cas n pair et impair et normalement ca fonctionne je sais pas si on peut trouver plus simple.
re : 1/m+...1/n Posté le 06-11-06 à 14:25
Posté le 06-11-06 à 14:25Posté par Camélia Camélia
Bonjour cauchy et Blackdevil
L'énoncé est bien correct.
Moi aussi j'avais essayé avec des histoires de premiers, mais dans la version de m à n on ne maitrise plus du tout la position des premiers! Aujourd'hui je suis pressée, mais demain je mettrais ma "moche" solution et j'essayerais de comprendre le coup de la récurrence de cauchy.
Entre temps peut-être que la lumière se ferra!
Camélia Camélia Bonjour cauchy et Blackdevil
L'énoncé est bien correct.
Moi aussi j'avais essayé avec des histoires de premiers, mais dans la version de m à n on ne maitrise plus du tout la position des premiers! Aujourd'hui je suis pressée, mais demain je mettrais ma "moche" solution et j'essayerais de comprendre le coup de la récurrence de cauchy.
Entre temps peut-être que la lumière se ferra!
re : 1/m+...1/n Posté le 06-11-06 à 18:47
Posté le 06-11-06 à 18:47Posté par Cauchy Cauchy
Bonjour Camelia,
en fait ma premiere preuve marche toujours même de m à n.
Tu consideres A=m*(m+1).....n et tu prend le plus grand diviseur premier p de A et tu reecris la somme avec A au denominateur.
Au numerateur il divise tous les termes A/k(sauf A/p) donc si c'etait un entier il diviserait le numerateur et tous les A/k donc il diviserait la difference A/p.
C'est impossible ca voudrait dire que A/p contient un facteur p donc on aurait deja forcement 2p dans la decomposition de A mais dans ce cas d'apres le postulat de Bertrand p ne serait pas le plus grand nombre premier qui divise A car il y a toujours un nombre premier entre p et 2p.
Elle est pas compliquée mais ca utilise un gros resultat.
Sinon la recurrence avec m quelconque j'ai pas essaye.
Cauchy CauchyBonjour Camelia,
en fait ma premiere preuve marche toujours même de m à n.
Tu consideres A=m*(m+1).....n et tu prend le plus grand diviseur premier p de A et tu reecris la somme avec A au denominateur.
Au numerateur il divise tous les termes A/k(sauf A/p) donc si c'etait un entier il diviserait le numerateur et tous les A/k donc il diviserait la difference A/p.
C'est impossible ca voudrait dire que A/p contient un facteur p donc on aurait deja forcement 2p dans la decomposition de A mais dans ce cas d'apres le postulat de Bertrand p ne serait pas le plus grand nombre premier qui divise A car il y a toujours un nombre premier entre p et 2p.
Elle est pas compliquée mais ca utilise un gros resultat.
Sinon la recurrence avec m quelconque j'ai pas essaye.
re : 1/m+...1/n Posté le 07-11-06 à 16:53
Posté le 07-11-06 à 16:53Posté par Camélia Camélia
Bonjour cauchy
Il se pourrait que le plus grand diviseur premier de A soit strictement inférieur à m, et alors A/p ne se rencontre pas au numérateur. De toute façon, ça m'étonnerait que l'on fasse comme ça au lycée.
Voici ma solution, tout aussi inabordable.
On fixe k>2. On pose A(X)=X(X+1)...(X+k-1) et B(X)=(X+1)...(X+k-1)+X(X+2)...(X+k-1)+...+X(X+1)...(X+k-2).
Il se trouve que B=A', mais je n'ai pas su l'exploiter!
Comme A est de degré k et B de degré k-1, on peut faire la division euclidienne pour trouver A(X)=(aX+b)B(X)+c.
En regardant le terme du plus haut degré, puis en faisant X=0 et X=-1, on finit par trouver
=\(\frac{X}{k}+\frac{1}{2k}\)B(X)-\frac{(k-1)!}{k})
Il se trouve que
}{A(m)})
et je suppose que ça vaut q avec q entier.
En reprenant l'équation on finit par trouver
}{(k-1)!}=\frac{1}{k-(2m+1)q})
ce qui est impossible, car le premier membre vaut
et est donc entier plus grand que 1, ce qui n'est certainement pas le cas du second membre!
OUF! La question reste posée: quel était le corrigé attendu?
Camélia Camélia Bonjour cauchy
Il se pourrait que le plus grand diviseur premier de A soit strictement inférieur à m, et alors A/p ne se rencontre pas au numérateur. De toute façon, ça m'étonnerait que l'on fasse comme ça au lycée.
Voici ma solution, tout aussi inabordable.
On fixe k>2. On pose A(X)=X(X+1)...(X+k-1) et B(X)=(X+1)...(X+k-1)+X(X+2)...(X+k-1)+...+X(X+1)...(X+k-2).
Il se trouve que B=A', mais je n'ai pas su l'exploiter!
Comme A est de degré k et B de degré k-1, on peut faire la division euclidienne pour trouver A(X)=(aX+b)B(X)+c.
En regardant le terme du plus haut degré, puis en faisant X=0 et X=-1, on finit par trouver
Il se trouve que
et je suppose que ça vaut q avec q entier.
En reprenant l'équation on finit par trouver
ce qui est impossible, car le premier membre vaut
OUF! La question reste posée: quel était le corrigé attendu?
re : 1/m+...1/n Posté le 07-11-06 à 23:05
Posté le 07-11-06 à 23:05Posté par Cauchy Cauchy
Bonjour,
je poste ma solution avec recurrence:
Tout d'abord je note:
=max\{k, 2^k \text {divise} n\}})
et
Pour
:
Je prend comme hypothese de recurrence
:
Si
alors 
mis sous forme irreductible est de la forme 
(avec p impair et q pair) et =2^a})
.
Initialisation: pour
et on a bien =2})
.
On suppose l'hypothèse vraie au rang n et on veut la montrer au rang n+1.
L'hypothèse etant verifiée au rang n avec on a : 
avec 2 qui ne divise pas k'.
Montrons que})
avec 
.
On traite deux cas:
1)
est impair dans ce cas on a (n+1)+k'2^a}{k'(n+1)2^a}})
et comme impair on a 
donc 
est vraie.
2) est pair. On traite deux sous-cas:
a)
.
Dans ce cas,
2+k'}{k'2^{a+1}}})
et 
est vraie car le numérateur est impair.
b)
avec 
qui ne divise pas 
.
On a nécessairement
et .
Doncp+k'2^{a-b}}{k'p2^a}})
et est vérifiée.
On a montre par recurrence que
.
P.S: effectivement dans ma démonstration du cas général il y a un problème si le plus grand diviseur premier de A est strictement inférieur à m.
Cauchy CauchyBonjour,
je poste ma solution avec recurrence:
Tout d'abord je note:
et
Pour
Je prend comme hypothese de recurrence
Si
Initialisation: pour
On suppose l'hypothèse vraie au rang n et on veut la montrer au rang n+1.
L'hypothèse etant verifiée au rang n avec
Montrons que
On traite deux cas:
1)
et comme
2)
a)
Dans ce cas,
b)
On a nécessairement
Donc
On a montre par recurrence que
P.S: effectivement dans ma démonstration du cas général il y a un problème si le plus grand diviseur premier de A est strictement inférieur à m.
re : 1/m+...1/n Posté le 09-11-06 à 00:52
Posté le 09-11-06 à 00:52Posté par Cauchy Cauchy
De rien,
Pareil pour moi j'ai pas encore bien regardé ta preuve je regarderai ca demain.
Cauchy CauchyDe rien,
Pareil pour moi j'ai pas encore bien regardé ta preuve je regarderai ca demain.
re : 1/m+...1/n Posté le 10-11-06 à 18:31
Posté le 10-11-06 à 18:31Posté par Cauchy Cauchy
J'ai reflechi à ta remarque sur le fait qu'il se peut que le plus grand diviseur premier de A soit strictement inférieur à m.
Si tu supposes que la somme est 1/m+.....1/n est un entier tu auras:
donc 1/m+.....1/n>=1 et 1/m+.....1/n<(n-m+1)/m donc (n-m+1)/m>1 et donc n-m>=m cad n>=2m (m<=2m<=n) donc il y aura toujours un nombre premier entre m etn donc qui divise A.
Je pense que maintenant la preuve fonctionne
Cauchy CauchyJ'ai reflechi à ta remarque sur le fait qu'il se peut que le plus grand diviseur premier de A soit strictement inférieur à m.
Si tu supposes que la somme est 1/m+.....1/n est un entier tu auras:
donc 1/m+.....1/n>=1 et 1/m+.....1/n<(n-m+1)/m donc (n-m+1)/m>1 et donc n-m>=m cad n>=2m (m<=2m<=n) donc il y aura toujours un nombre premier entre m etn donc qui divise A.
Je pense que maintenant la preuve fonctionne
re:1/m+........+1/n Posté le 10-11-06 à 18:33
Posté le 10-11-06 à 18:33Posté par veleda veleda
bonjour Camélia,bonjour Cauchy
je viens depasser mon aprés midi sur cet exercice sans résultats intéressants mais j'ai aussi étudier vos démonstrations
>cauchy je crois que j'ai à peu prés tout compris (v(2) ce n'est pas plutôt 1?)
>camelia :tu fais la division de A(X) par un polynome inconnu aX+b pour que le quotient soit B(X) pourquoi est-on sûr qu'un tel polynome existe d'accord on trouve bien un triplet(a,b,c) solution du système ecrit en prenant des valeurs particulières (je ne trouve du reste pas le m^me b(1/k2au lieu de 1/k) donc pas le même c ça ça ne veut rien dire car je suis coutumière des erreurs de calcul
si je prends A(X)=X(X+1)(X+2)=X3+3X2+2X
A'(X)=3X2+6X+2
je cherche aX+b tel que A(x)=(aX+b)(3X2+6X+2)+c
on identifie:
termes en X3=>a=1/3
termes en X2=>6a+3b=3=>b=1/3
termes en X=>2a+6b=2
termes constants 2b+c=0
si l'on n'utilise pas les termes en X on a c=-2/3 et un triplet(a,b,c) qui semble convenir
mais l'identification des termes en X=>1/3=0 !
donc ça ne marche pas
c'est un execice désespérant,je chercherai ce week-end
j'espère qu'il n'y a pas trop de fautes de frappe car je n'arrive pas à obtenir un aperçu
bonne soirée
veleda veledabonjour Camélia,bonjour Cauchy
je viens depasser mon aprés midi sur cet exercice sans résultats intéressants mais j'ai aussi étudier vos démonstrations
>cauchy je crois que j'ai à peu prés tout compris (v(2) ce n'est pas plutôt 1?)
>camelia :tu fais la division de A(X) par un polynome inconnu aX+b pour que le quotient soit B(X) pourquoi est-on sûr qu'un tel polynome existe d'accord on trouve bien un triplet(a,b,c) solution du système ecrit en prenant des valeurs particulières (je ne trouve du reste pas le m^me b(1/k2au lieu de 1/k) donc pas le même c ça ça ne veut rien dire car je suis coutumière des erreurs de calcul
si je prends A(X)=X(X+1)(X+2)=X3+3X2+2X
A'(X)=3X2+6X+2
je cherche aX+b tel que A(x)=(aX+b)(3X2+6X+2)+c
on identifie:
termes en X3=>a=1/3
termes en X2=>6a+3b=3=>b=1/3
termes en X=>2a+6b=2
termes constants 2b+c=0
si l'on n'utilise pas les termes en X on a c=-2/3 et un triplet(a,b,c) qui semble convenir
mais l'identification des termes en X=>1/3=0 !
donc ça ne marche pas
c'est un execice désespérant,je chercherai ce week-end
j'espère qu'il n'y a pas trop de fautes de frappe car je n'arrive pas à obtenir un aperçu
bonne soirée
re : 1/m+...1/n Posté le 10-11-06 à 18:41
Posté le 10-11-06 à 18:41Posté par Cauchy Cauchy
Bonjour veleda ,
tu parles dans l'initialisation oui c'est 1 bien sur.
Tu n'as pas vu d'autres erreurs?
Cauchy CauchyBonjour veleda ,
tu parles dans l'initialisation oui c'est 1 bien sur.
Tu n'as pas vu d'autres erreurs?
re : 1/m+...1/n Posté le 10-11-06 à 21:30
Posté le 10-11-06 à 21:30Posté par nazzzzdaq (invité)
On ne peut pas calculer directement 1/n+1/(n+1)...+1/m ?
On ne peut pas calculer directement 1/n+1/(n+1)...+1/m ?
re : 1/m+...1/n Posté le 10-11-06 à 21:42
Posté le 10-11-06 à 21:42Posté par Cauchy Cauchy
Bonjour nazzzzdaq,
tu veux dire trouver une expression générale comme pour la somme des n ?
Cauchy CauchyBonjour nazzzzdaq,
tu veux dire trouver une expression générale comme pour la somme des n ?
re : 1/m+...1/n Posté le 10-11-06 à 21:45
Posté le 10-11-06 à 21:45Posté par nazzzzdaq (invité)
Est ce que quelqu'un pourrait calculer l'intégrale de f
f(x)=(X^n-1)/(X-1)
Est ce que quelqu'un pourrait calculer l'intégrale de f
f(x)=(X^n-1)/(X-1)
re : 1/m+...1/n Posté le 10-11-06 à 21:46
Posté le 10-11-06 à 21:46Posté par nazzzzdaq (invité)
**************
Bonjour nazzzzdaq,
tu veux dire trouver une expression générale comme pour la somme des n ?
****************
Oui
**************
Bonjour nazzzzdaq,
tu veux dire trouver une expression générale comme pour la somme des n ?
****************
Oui
re : 1/m+...1/n Posté le 10-11-06 à 21:49
Posté le 10-11-06 à 21:49Posté par Cauchy Cauchy
Je ne crois pas qu'une telle expression existe , je vois l'integrale de 0 à 1 de ta fonction nous donne bien 1+1/2....+1/n mais apres.
Cauchy CauchyJe ne crois pas qu'une telle expression existe , je vois l'integrale de 0 à 1 de ta fonction nous donne bien 1+1/2....+1/n mais apres.
re : 1/m+...1/n Posté le 10-11-06 à 21:52
Posté le 10-11-06 à 21:52Posté par nazzzzdaq (invité)
ben
1/m+1/(m+1)...+1/n=
1+1/2+1/3+...+1/(n) -
1+1/2...........+1/(m-1)
non?
ben
1/m+1/(m+1)...+1/n=
1+1/2+1/3+...+1/(n) -
1+1/2...........+1/(m-1)
non?
re : 1/m+...1/n Posté le 10-11-06 à 21:56
Posté le 10-11-06 à 21:56Posté par Cauchy Cauchy
Oui je sais mais comment tu te sers de ca apres pour montrer que ton intégrale n'as pas une valeur entiere?
Cauchy CauchyOui je sais mais comment tu te sers de ca apres pour montrer que ton intégrale n'as pas une valeur entiere?
re : 1/m+...1/n Posté le 10-11-06 à 22:04
Posté le 10-11-06 à 22:04Posté par nazzzzdaq (invité)
Ben il faudrait la calculer l'intégrale. Peut être qu'elle a une forme sympa...
Ben il faudrait la calculer l'intégrale. Peut être qu'elle a une forme sympa...
re : 1/m+...1/n Posté le 10-11-06 à 23:27
Posté le 10-11-06 à 23:27Posté par jeanseb jeanseb
Ouf...Enfin un peu de poésie sur ce site austère!
jeanseb jeansebCitation :
Ben il faudrait la calculer l'intégrale. Peut être qu'elle a une forme sympa...
Ben il faudrait la calculer l'intégrale. Peut être qu'elle a une forme sympa...
Ouf...Enfin un peu de poésie sur ce site austère!
re : 1/m+...1/n Posté le 11-11-06 à 14:29
Posté le 11-11-06 à 14:29Posté par Camélia Camélia
Rebonjour à tous!
J'ai bien vérifié la récurrence (en 2^n) de Cauchy et je suis globalement d'accord.
Pour veleda: Tu as raison; en faisant la division de A par B je devrais avoir un reste de degré au plus k-2, donc je ne sais même plus si j'ai eu de la chance, ou si ma demonstration est complètement fausse!
Mon énorme étonnement est que l'exo sort du forum lycée,que je l'ai vu plusieurs fois... et qu'apparemment aucun des enseignants en exercice n'a l'air d'avoir une solution! J'ai même essayé de ranimer un de ces topics en demandant la correction donnée en cours, mais sans résultat.
Sinon, la dem de Cauchy qui utilise le postulat de Bertrand est la plus jolie, mais pour qui?
Merci à tous!
Camélia Camélia Rebonjour à tous!
J'ai bien vérifié la récurrence (en 2^n) de Cauchy et je suis globalement d'accord.
Pour veleda: Tu as raison; en faisant la division de A par B je devrais avoir un reste de degré au plus k-2, donc je ne sais même plus si j'ai eu de la chance, ou si ma demonstration est complètement fausse!
Mon énorme étonnement est que l'exo sort du forum lycée,que je l'ai vu plusieurs fois... et qu'apparemment aucun des enseignants en exercice n'a l'air d'avoir une solution! J'ai même essayé de ranimer un de ces topics en demandant la correction donnée en cours, mais sans résultat.
Sinon, la dem de Cauchy qui utilise le postulat de Bertrand est la plus jolie, mais pour qui?
Merci à tous!
re : 1/m+...1/n Posté le 12-11-06 à 01:24
Posté le 12-11-06 à 01:24Posté par Cauchy Cauchy
Bonjour,
Pour moi c'est la plus jolie
C'est clair que c'est bizarre que tu l'ai vu sur le forum lycee comme ca sans indications.Sommes-nous passés a cote d'une solution plus élémentaire? je pense pas mais bon qui sait.
Cauchy CauchyBonjour,
Pour moi c'est la plus jolie
C'est clair que c'est bizarre que tu l'ai vu sur le forum lycee comme ca sans indications.Sommes-nous passés a cote d'une solution plus élémentaire? je pense pas mais bon qui sait.
re : 1/m+...1/n Posté le 12-11-06 à 14:37
Posté le 12-11-06 à 14:37Posté par Camélia Camélia
Salut à tous!
Veleda a raison, ma solution n'est pas bonne! On attend, peut-être quelqu'un finira par donner la mystérieuse solution évidente!
Camélia Camélia Salut à tous!
Veleda a raison, ma solution n'est pas bonne! On attend, peut-être quelqu'un finira par donner la mystérieuse solution évidente!
re : 1/m+...1/n Posté le 15-11-06 à 00:25
Posté le 15-11-06 à 00:25Posté par nazzzzdaq (invité)
Je considère {n, n+1...p...m}
Il existe A et p tel que qquesoit x apprtenant à {n, n+1...m}/{p} divise A mais p ne divise par A
Soit
Sn=1/n+1/(n+1)...+1/m= An +1/p
(An étant la somme des 1/n+1/(n+1) en excluant le terme 1/p)
Sn x A = An x A + A/p
A/p n'étant pas entier, Sn xA n'est pas entier, Sn n'est pas entier
Je considère {n, n+1...p...m}
Il existe A et p tel que qquesoit x apprtenant à {n, n+1...m}/{p} divise A mais p ne divise par A
Soit
Sn=1/n+1/(n+1)...+1/m= An +1/p
(An étant la somme des 1/n+1/(n+1) en excluant le terme 1/p)
Sn x A = An x A + A/p
A/p n'étant pas entier, Sn xA n'est pas entier, Sn n'est pas entier
re : 1/m+...1/n Posté le 15-11-06 à 00:26
Posté le 15-11-06 à 00:26Posté par nazzzzdaq (invité)
Je considère {n, n+1...p...m}
Il existe A et p tel que qquesoit x apprtenant à {n, n+1...m}/{p} divise A mais p ne divise par A
Soit
Sn=1/n+1/(n+1)...+1/m= An +1/p
(An étant la somme des 1/n+1/(n+1) en excluant le terme 1/p)
Sn.A = An.A + A/p
A/p n'étant pas entier, Sn.A n'est pas entier, Sn n'est pas entier
Je considère {n, n+1...p...m}
Il existe A et p tel que qquesoit x apprtenant à {n, n+1...m}/{p} divise A mais p ne divise par A
Soit
Sn=1/n+1/(n+1)...+1/m= An +1/p
(An étant la somme des 1/n+1/(n+1) en excluant le terme 1/p)
Sn.A = An.A + A/p
A/p n'étant pas entier, Sn.A n'est pas entier, Sn n'est pas entier
re : 1/m+...1/n Posté le 15-11-06 à 13:41
Posté le 15-11-06 à 13:41Posté par lafol lafol
Bonjour à tous,
une hypothèse sur le fait qu'aucun corrigé ne semble avoir été donné : il ne s'agirait pas d'un exercice donné dans le cadre des olympiades ? c'est encore assez leur style...
lafol lafol Bonjour à tous,
une hypothèse sur le fait qu'aucun corrigé ne semble avoir été donné : il ne s'agirait pas d'un exercice donné dans le cadre des olympiades ? c'est encore assez leur style...
re : 1/m+...1/n Posté le 15-11-06 à 13:45
Posté le 15-11-06 à 13:45Posté par Tigweg Tigweg
Bonjour lafol
Effectivement, je n'y avais pas songé mais c'est tout-à-fait plausible!
nazzzzdaq > je ne comprends pas ce que tu entends par
Tigweg
Tigweg TigwegBonjour lafol
Effectivement, je n'y avais pas songé mais c'est tout-à-fait plausible!
nazzzzdaq > je ne comprends pas ce que tu entends par
Citation :
qquesoit x apprtenant à {n, n+1...m}/{p} divise A
, pourrais-tu préciser s'il-te-plaît? qquesoit x apprtenant à {n, n+1...m}/{p} divise A
Tigweg
re : 1/m+...1/n Posté le 15-11-06 à 14:15
Posté le 15-11-06 à 14:15Posté par Camélia Camélia
Bonjour à tous
Moi aussi j'aimerais voir le détail de la solution de nazzzzdaq!
Camélia Camélia Bonjour à tous
Moi aussi j'aimerais voir le détail de la solution de nazzzzdaq!
re : 1/m+...1/n Posté le 15-11-06 à 14:21
Posté le 15-11-06 à 14:21Posté par Tigweg Tigweg
Oh pardon désolé, tu viens de dire que non!
Dans ma tête, nazzzzdaq était le lycéen qui avait ce problème à résoudre!!
Désolé!
Tigweg TigwegOh pardon désolé, tu viens de dire que non!
Dans ma tête, nazzzzdaq était le lycéen qui avait ce problème à résoudre!!
Désolé!
re : 1/m+...1/n Posté le 15-11-06 à 14:23
Posté le 15-11-06 à 14:23Posté par Tigweg Tigweg
Plus exactement, dans ma tête le lycéen en question et la personne à qui j'ai demandé si elle pouvait préciser étaient confondues, c'est pire!
Bon je crois que je vais faire une sieste, cela s'impose!!
Tigweg TigwegPlus exactement, dans ma tête le lycéen en question et la personne à qui j'ai demandé si elle pouvait préciser étaient confondues, c'est pire!
Bon je crois que je vais faire une sieste, cela s'impose!!
re : 1/m+...1/n Posté le 15-11-06 à 14:25
Posté le 15-11-06 à 14:25Posté par Camélia Camélia
Salut Tigweg,
Un des lycéens qui avait ce problème était marie_curie et je crois qu'il y avait aussi un billy numéroté! mais pas de solution!
Camélia Camélia Salut Tigweg,
Un des lycéens qui avait ce problème était marie_curie et je crois qu'il y avait aussi un billy numéroté! mais pas de solution!
re : 1/m+...1/n Posté le 15-11-06 à 18:15
Posté le 15-11-06 à 18:15Posté par nazzzzdaq (invité)
Bon pour être plus clair:
Soit une suite de m-n+1 entiers consécutifs n, n+1,...m
Il existe un entier A tel que:
m-n entiers des n-m+1 entiers consécutifs divise A
un et un seul entier p des m-n+1 entiers consécutifs ne divise pas A
(propriété à démontrer).
Ensuite je considère
S= 1/n+1/(n+1)+...+1/m
S.A= Q+A/p
Q entier, A/p non entier
etc...
Bon pour être plus clair:
Soit une suite de m-n+1 entiers consécutifs n, n+1,...m
Il existe un entier A tel que:
m-n entiers des n-m+1 entiers consécutifs divise A
un et un seul entier p des m-n+1 entiers consécutifs ne divise pas A
(propriété à démontrer).
Ensuite je considère
S= 1/n+1/(n+1)+...+1/m
S.A= Q+A/p
Q entier, A/p non entier
etc...
re : 1/m+...1/n Posté le 15-11-06 à 22:19
Posté le 15-11-06 à 22:19Posté par nazzzzdaq (invité)
Pour m=1, A peut se construire de la façon suivante:
A=n!/
où est un nombre premier inférieur à n ne divisant aucun entier inférieur à n (sauf lui même).
existe. Je considère la partie entière de n/2. Selon le postulat de Bertrand, il existe un nombre premier () inférieur au double de la partie entière de n/2 et donc inférieur à n. Ce nombre premier () ne peut diviser aucun entier inférieur à n (sauf lui m^me)
Pour m=1, A peut se construire de la façon suivante:
A=n!/
où est un nombre premier inférieur à n ne divisant aucun entier inférieur à n (sauf lui même). existe. Je considère la partie entière de n/2. Selon le postulat de Bertrand, il existe un nombre premier () inférieur au double de la partie entière de n/2 et donc inférieur à n. Ce nombre premier () ne peut diviser aucun entier inférieur à n (sauf lui m^me) re : 1/m+...1/n Posté le 15-11-06 à 22:30
Posté le 15-11-06 à 22:30Posté par nazzzzdaq (invité)
Allez, on y est presque!
Une âme charitable pour construire A dans le cas ou m>1.
Je rappelle les propriétés de A:
Soit G={m, m+1...,n}
A est un entier tel que un et un seul élément de G NE divise PAS A.
Allez, on y est presque!
Une âme charitable pour construire A dans le cas ou m>1.
Je rappelle les propriétés de A:
Soit G={m, m+1...,n}
A est un entier tel que un et un seul élément de G NE divise PAS A.
re : 1/m+...1/n Posté le 16-11-06 à 00:53
Posté le 16-11-06 à 00:53Posté par Cauchy Cauchy
Salut nazzzzdaq,
j'ai pas lu en détail mais en gros c'est la démo que j'ai proposé au-dessus,non ?
Cauchy CauchySalut nazzzzdaq,
j'ai pas lu en détail mais en gros c'est la démo que j'ai proposé au-dessus,non ?
re : 1/m+...1/n Posté le 16-11-06 à 14:15
Posté le 16-11-06 à 14:15Posté par Camélia Camélia
Rebonjour à tous!
Effectivement la solution utilisant le postulat de Bertrand était déjà proposée par Cauchy qui en donne une autre, par récurrence, un peu plus élémentaire.
La question est toujours la même: comment fait-on en première?
Camélia Camélia Rebonjour à tous!
Effectivement la solution utilisant le postulat de Bertrand était déjà proposée par Cauchy qui en donne une autre, par récurrence, un peu plus élémentaire.
La question est toujours la même: comment fait-on en première?
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