fonctions analytiques

Posté par adeline85 (invité)

Bonjour!
me revoila  avec de nouvelles questions... et toujours autant de fautes d'orthographe!

a) on suppose que f est analytique dans le cercle unité et|f(z)|<=1 pour tous |z|=1.
on prend a dans le cercle tel que f(a)est differents de 0.

je dois montrer qu'il existe une fonction g analytique dans le  cercle unité avec
|g(z)|<=1 pour tout |z|< 1 telque
|g'(a)| > |f'(a)|

b) prend a dans le cercle unité et trouve:
max |f'(a)| où f peut être n'importe quelle fonction sur le cerclle unité telque
|f(x)|<=1 pour tout |z|<1


meri par avance
Cordialement
Adeline

Posté par kaiser kaiser

Bonsoir Adeline

Précisons un peu les choses : tu veux dire cercle unité ou bien disque unité (ouvert bien entendu) ?

Kaiser

Posté par kaiser kaiser

Sinon, en admettant le résultat de la question 1), la question 2) est assez simple.

Kaiser

Posté par adeline85 (invité)

en fait je veux dire le cercle unité qui ne comprend donc pas le contour

Posté par adeline85 (invité)

oups disque unité

Posté par adeline85 (invité)

rebonsoir Kaiser
meme en admétant la premiere partie (que je cherche desespérement)il faut que je prenne une suite a(n) ui tend vers a qd n tend vers l'infini etet alors sa tendra vers g'(a) c'est ca ?

merci
Adeline

Posté par kaiser kaiser

Attends deux secondes, je crois avoir dit une bêtise.
Je vais y réfléchir encore un peu.

Kaiser

Posté par kaiser kaiser

f est bien définie sur le disque unité ouvert mais alors je ne comprends pas ce qui est en gras :



Kaiser

Posté par adeline85 (invité)

je pense que par là il veut dire que la fonction |f(z)| a un maximum dans le disque unité et que ce maximum est 1 pour un z dans le cerle...
je crois

Adeline

Posté par kaiser kaiser

Ce maximum n'est pas forcément atteint.
Une question : est-ce un énoncé en anglais ?
Si oui qu'est-il écrit exactement ?

Kaiser

Posté par adeline85 (invité)

oui en effet c'est en anglais et c'est ecrit:
suppose that f is analytic in the unit disc and |f(z)|<=1 for all |z|<1.
Take a in the unit disc with f(a)dirrerent from 0. Show that there exist a function g analytic in the unit disc with |g(z)|<=1 for all |z|<1 such that |g'(a)| > |f'(a)|

b) take a in the unit disc.Find  
max |f'(z)| wheref ranges over all analytic functins on the unit disc with |f(z)|<=1 for all |z|<1

voila l'original
merci
Adeline

Posté par adeline85 (invité)

tu as une petite idée ?

Posté par kaiser kaiser

Je cherche, je cherche !

Kaiser

Posté par adeline85 (invité)

merci beaucoup!!

Posté par adeline85 (invité)

une petite piste a me confier ...par ce qu ej'ai epuisé les miennes.....et en plus c'est pas le seul endroi ou je bloque dans la lecon .....

Posté par kaiser kaiser

Pour l'instant, je bloque également sur la première question.

Kaiser

Posté par adeline85 (invité)

ok je vais passer a un autre exo mais si tu a une piste .....je serais contante de l'avoir
merci encore
Adeline

Posté par adeline85 (invité)

quelq'un pour m'aider ...

Posté par raymond raymond

Bonjour adeline 85 et kaiser.

Je me lance également sur le sujet, mais jusqu'à présent, rien de concret.
Adeline :
¤ la question était-elle isolée ou faisait-elle partie d'un problème ?
¤ Cet exercice se place dans quelle partie de ton cours ?

A plus

Posté par adeline85 (invité)

bonjour Raymon,
oui cet exercice est au milieu d'autre mais je ne pense pas qu'il est grand chose a voir avec :

Suppose that f is analytic in the annulus 1<|z|<2 and that |f(z)|<=1 if |z|=1 and |f(z)|<=4 if |z|=2
Show that |f(z)|<=|z|² for all 1<|z|<2

ca c'est un des exercices qui entour le notre.... sinon la lecon qui va avec est sur le lemme de schwarz, le principe du minimum  et du maximum, prolongement analytique.....

adeline

Posté par raymond raymond

Merci adeline, je vais tenter de trouver quelque chose.
As tu une échéance à respecter ?

Cordialement

Posté par adeline85 (invité)

voui mais elle est longue ....la semaine prochaine !
merci beaucoup en tout cas de vous impliquer comme ca !!
Adeline

Posté par kaiser kaiser

Bonsoir Adeline et raymond

Cet exercice est plus difficile que ce que je pensais. Pour la 1), je ne vois que deux possibilités : essayer d'exhiber une telle fonction g mais là, il va falloir avoir de l'intuition, beaucoup d'intuition (j'ai essayé plein de truc mais à chaque fois l'une des conditions n'est pas vérifiée), ou alors raisonner par l'absurde. Pour cette dernière tentative, je ne sais pas si ça sert quelque chose mais en utilisant le principe du maximum, j'arrive à montrer que si une telle fonction n'existe pas alors la dérivée de f est en module majorée par |f'(a)| sur tout le disque de centre 0 et de rayon |a|.
Pour cela, j'utilise les fonctions du type où est un réel quelconque.
Bref, je patauge !

Kaiser

Posté par raymond raymond

Bonsoir Adeline et kaiser.

Je suis dans la même situation que toi. J'ai cherché une foule de fonctions g, chaque fois il manque une hypothèse. J'avais même pensé à g(z) = Log(f(z)) autour de a, où Log serait une détermination judicieuse car alors, g' = f'/f donnerait la condition au point a. Mais comme ceci n'est défini qu'autour de a (f(a) non nul), cela ne fonctionne plus sur D = D(0,1[. Ou alors prolonger Log(f) en dehors du voisinage de a ?

Je regarde ta preuve.

A plus RR.

Posté par adeline85 (invité)

j'ai peut etre une idée pour la fonction , on a etudier en classe une fonction :
B est une fonction hol^morphe definie dans le disc unité:
B_a(z)= (z-a)/(1-cz)  où c est le conjugais de z (je ne sais pas encore le faire ici) et je sais que cette fonction B est strictement inferieur a 1 si |z|<1

tu pense que ca peu marcher avec ca ..mais franchement je ne vois pas ...
Adeline

Posté par raymond raymond

On tomberait alors dans la représentation conforme ?
A plus RR.

Posté par adeline85 (invité)

tout depend en fait de ce qu'est
"la représentation conforme " ....

adeline

Posté par adeline85 (invité)

mais peut etre !

Adeline

Posté par adeline85 (invité)

une piste , une explication??
merci
Adeline

Posté par Camélia Camélia

Bonjour tous
Si ça peut vous faire plaisir, moi aussi je sèche! D'autant plus que je suis à peu près sûre que l'ensemble des f'(z) n'est pas majoré (la deuxième question).

Posté par Tigweg Tigweg

Bonjour à tous!
L'idée d'Adeline m'en a donné une autre!

Il n'y a pas un théorème qui dit que toute fonction analytique du disque unité dans lui-même est plus généralement de la forme

?

Dans ce cas-là, f serait l'une d'entre elles et il suffirait peut-être alors de bien choisir la valeur de u et v pour que la condition de l'énoncé soit réalisée!


Tigweg

Posté par Camélia Camélia

Bonjour
J'ai fini par retrouver l'astuce (qui est semblable à celle d'adeline85).
Donc on commence par prouver que si u et v sont des complexes tels que |u|<1 et |v|<1, on a



se voit en remarquant que

Puis, si f est non constante, à cause du principe du maximum, on a |f(z)|<1 pour tout z du disque unité ouvert; on pose



Alors il est vrai que g est holomorphe, que |g(z)|<1 et, si je ne me suis pas trompée,



et on a bien |g'(a)|>|f'(a)| dès que f(a)0.

Bien sûr, sans un exo préparatoire, les chances de trouver sont minces!

Posté par kaiser kaiser

Bonjour Camélia (et bravo )

Effectivement, ce n'était pas du tout intuitif !

Kaiser

Posté par Tigweg Tigweg

Bonjour Camélia,

et bravo pour ta réponse!
J'ai refait tes calculs et je trouve les mêmes résultats.


Tigweg

Posté par Tigweg Tigweg

Salut Kaiser!

Posté par kaiser kaiser

Salut Tigweg !

Posté par raymond raymond

Bonjour Camélia.

Bravo pour ton astuce.
Cela ne fait que renforcer mon désarroi face aux problèmes de ce type. En effet, les fonctions holomorphes possèdent tellement de propriétés, que je ne sais jamais quelle voie choisir pour faire avancer un exercice.
C'est pour cette raison que j'avais souhaité créer sur ce site un groupe de travail sur les fonctions holomorphes. Adeline85, Otto, Fusionfroide, Kaiser, et Tigweg sont également partants.
Veux-tu nous aider ?

Cordialement .

Posté par Tigweg Tigweg

Je me rends compte que mon message d'hier était inexact car incomplet :

la formule me semble juste, mais elle ne caractérise sans doute que les fonctions biholomorphes (c'est-à-dire holomorphes, bijectives, et dont la réciproque est encore holomorphe) du disque unité D dans lui-même :

par exemple, il est évident que la fonction nulle, qui n'est pas bijective, n'est pas de la forme que j'ai proposée.

Tigweg

Posté par Tigweg Tigweg

Salut Raymond!

Je partage entièrement ton désarroi, à la seule différence par rapport à toi que je ne connais pas bien les propriétés des fonctions holomorphes...
Mon désarroi n'en sera sans doute que plus grand quand je les connaîtrai bien!

Je confirme par ailleurs que je suis toujours intéressé par le groupe de travail dont tu parles, même si ma présence sur l'île est en ce moment moins régulière.


Tigweg

Posté par Camélia Camélia

Salut Raymond (kaiser, tigweg, adeline et les autres...)
Bien sur, je suis partante pour un groupe de travail; en fait, en quoi ça consiste? Je n'ai pas de grandes lumières sur les fonctions holomorphes (cette fois j'ai fouillé dans des listes d'exos et j'ai adapté) mais j'ai toujours été épatée par leurs susceptibilité: on les touche et elles s'applatissent, elles deviennent constantes!

Posté par raymond raymond

Rebonjour Camélia.

Il me semble que nous pourrions régulièrement envoyer sur le site des exercices portant sur cette théorie, afin de tenter de les résoudre.
Je sais que les fonctions holomorphes offrent de très riches développements et il serait très intéressant que nous puissions progresser dans ce domaine.
As-tu d'autres idées pour travailler ces questions ?

Egoïstement, je dois avouer que ce serait pour moi la seule méthode pour me motiver. J'ai repris l'étude de ce thème milieu septembre, mais seul. Alors, je m'arrange toujours pour repousser au lendemain le travail que je m'étais fixé. Conséquence : je progresse à la vitesse d'un escargot et je reste totalement désarmé face à la plupart des exercices.

Cordialement

Posté par Camélia Camélia

OK, je vais écumer mes fonds de tiroir et récupérer quelque jolies choses. A bientôt!

Posté par adeline85 (invité)

bonjour a tous!!!
Je suis désolée de vous avoir abondonner si longtemps mais cette semaine était plutot axée sur la théorie des group  plus qu esur les fonctions holomorphe ....
mais si vous désirez des exercices sur ce sujet....j'en ai quelques un... pour ne pas dire une ribambelles!( mais je ne garantie absolument pas qu'ils soient tous palpitants intérrésants)
mais aprcontre j'avoue avoir aprécier grandement la preuve du petit 1 de mon exos mais je n'ai pas trouver seule celle du petit 2) Du coup si vous aviez encore une ou deux idées ....
je rapel:b)
take a in the unit disc.Find  
max |f'(z)| wheref ranges over all analytic functins on the unit disc with |f(z)|<=1 for all |z|<1

merci encore Cordialement
et au fait je recherche d'autre exercices!

Posté par adeline85 (invité)

y a t'il quelqu'un ?

Posté par otto otto

Je ne savais pas que j'étais partant pour un groupe de travail sur les fonctions holomorphes du disque unité, à moins que l'on en ai parlé ensemble de vive voix

Pour ta question b, il y'a un truc qui cloche. On parle de a et on ne s'en sert pas.
a=z ?

Posté par adeline85 (invité)

moi non plus rassure toi, je ne savais pas que j'été patante! mais pourkoi pas !

et pour ma question en fait c'est de ma faute ...erreur de copiage :
en fait c'est
take a in the unit disc.
Find  max |f'(a)|
where f ranges over all analytic functions on the unit disc with |f(z)|<=1 for all |z|<1
excuse
Adeline

Posté par Camélia Camélia

Salut adeline85 et otto
Si vous êtes partants il y a eu plusieurs exos qui ont circulé, mis par moi et par kaiser.

Posté par adeline85 (invité)

bonjour camélia ,

c'est toi qui as réussi a me résoudre mon debut d'exo merci beaucoup!
aurais tu une idée pour la fin ?
merci
adeline

Posté par otto otto

Salut,
le maximum est au moins de 1, à cause du fait que l'identité vérifie f'(z)=1 en tout point, et donc en a. De plus elle est bien dans ta classe de fonction.
J'aurais vraiment envie de dire que max=1, mais je ne suis sur que ce soit vraiment le cas.
Une chose est certaine,

avec égalité si et seulement si f est un automorphisme du disque unité, mais je ne sais pas si c'est très utile ici.
Peut être qu'en prenant donc f un automorphisme de la boule unité, tu arriveras à trouver effectivement ce maximum.
Notamment, ces automorphismes sont les applications de la forme

où w est dans le disque unité ouvert et theta réel quelconque.
Vu que tu regardes ce qui se passe pour les modules, tu peux prendre le theta que tu veux, donc theta=0 est un bon choix ici.
Je pense qu'en prenant cette direction, tu arriveras facilement à conclure.
a+

Posté par adeline85 (invité)

je ne suis pas sure du tout de savoir de quoi tu parle lorsque tu dis identité dans:


le maximum est au moins de 1, à cause du fait que l'identité vérifie f'(z)=1 en tout point, et donc en a. De plus elle est bien dans ta classe de fonction.
De plus qu'est ce qu'une classe de fonction ?
merci
Adeline