DEFI 117 : Lentement mais surement ?

Posté par minkus minkus

Bonsoir,

Je saute un numero car j'ai encore espoir de retrouver l'enonce integral du defi 116 pour pouvoir vous le reproposer.

Dans ce nouveau defi nous suivons les aventures d'un escargot qui se trouve sur une piste elastique d'un metre de long. Pendant la journee, il avance de 10 cm et puis s'endort. Malheureusement pour lui, la piste s'allonge uniformement de 1 metre pendant son sommeil et au petit matin il se retrouve a 20 cm du debut de la piste qui mesure maintenant 2 metres. Pas decourage, il parcourt a nouveau 10 cm et s'endort. Encore une fois la piste s'etire d'un metre et le lendemain matin l'escargot se retrouve sur une piste de 3 metres, a 45 cm du depart.

Pensez-y c'est la periode des fetes



Cela se reproduit pendant plusieurs jours, l'escargot avance de 10 cm et puis la piste s'etire de 1 metre.

L'escargot arrivera-t-il au bout de la piste ?

Bonne reflexion.

minkus

Posté par Youpi Youpi

Je dirais oui l'escargot arrivera bien au bout de la piste mais seulement le 12367ème jour

Posté par plumemeteore plumemeteore

bonjour
la réponse est oui
supposons qu'on soit au lendemain de la nuit n
les 10 cm du jour n auront été multipliés par n+1/n, du jour n-1 par n+1/n-1, du jour x par n+1/x
la piste a alors n+1 mètres et l'escargot aura avancé de (n+1)*(somme des inverses de 1 à n) décimètres
or la somme des inverses de 1 à n correspond à peu près au logarihme naturel de n
l'escargot aura atteint le bout de la piste après environ le nombre de jour qui a pour logarithme 10, vers 22026 ou 22027 jours, soit soixante ans

Posté par Eric1 Eric1

Allez, non, il n'arrivera pas au bout de la piste.

U_n+1=U_n*(n+1)/n +10.

Posté par manpower manpower

Bonjour,

il pleut des énigmes et la piste devient glissante pour l'escargot.

Mais il est courageux et oui il arrivera en bout de piste au bout de jours !!

Merci pour l'énigme.

Posté par Nofutur2 Nofutur2

Soir u_n et l_n les pourcentages parcourus et longueurs de la route le soir du jour n, on peut écrire :
l_n=n et
u _n+1 *l _n+1 = (u_n*l_n)*(l _n+1/l_n)  +0,1 donc
u_n+1 = u_n +0,1/ (n+1) .
Avec u₁=0,1.
On obtient donc la fameuse série harmonique qui n'est pas bornée, et u_n dépassera 1....
Donc l'escargot arrivera au bout de la piste.

Posté par borneo borneo

Bonjour, ma réponse est que l'escargot n'arrive jamais au bout de la piste.

Je considère l'escargot et le bout de la piste (l'arrivée) comme deux concurrents qui font la course. La piste part avec un mètre d'avance.

La vitesse d'avancement de l'arrivée par rapport au départ est constante : 1m/jour

La vitesse de l'escargot est de 0.2m le premier jour, de 0.15m le second, bref, elle est décroissante en fonction des jours qui passent, car égale à 0.1+0.1/x qui tend vers 0.1 quand x tend vers +00

Bref, le bout de la piste part en avance et va plus vite, l'escargot ne peut pas l'atteindre.

Merci pour l'énigme.

Posté par lafol lafol

en pourcentage, l'escargot ajoute 10/(100*n) le n° jour.
Le pourcentage parcouru est donc 10%(1+1/2 +1/3+...).
La série harmonique étant divergente il existe n tel que la somme 1+1/2 +1/3 +...+ 1/n dépasse 10 : l'escargot arrivera au bout. On montre que si n=2^20, 1+1/2 +1/3 +...+ 1/n est supérieur à 10, il faudra moins de 2^20 jours (ça fait dans les 3000 ans...) à l'escargot pour arriver ...
Donc, si l'escargot a la longévité de Mathusalem, il arrivera au bout.
Si c'est un escargot ordinaire, il sera mort bien avant d'arriver.

Posté par lo5707 lo5707

Bonjour,

Jour1: piste=1m   escargot:10cm  reste:90cm = 90%
Nuit1: piste=2m   escargot:20cm  reste:180cm = 90% (le rapport reste le même après élongation)
Jour2: piste=2m   escargot:30cm  reste:170cm = 85%
Nuit2: piste=3m   escargot:45cm  reste:255cm = 85%
Jour3: piste=3m   escargot:55cm  reste:245cm = 81,666%
Nuit3: piste=4m   escargot:73,333cm  reste:326,666cm = 81,666%
Jour4: piste=4m   escargot:83,333cm  reste:316,666cm = 79,1666%
Nuit4: piste=5m   escargot:104,1666cm  reste:395,8333cm = 79,1666%
Jour5: piste=5m   escargot:114,1666cm  reste:385,8333cm = 77,1666%
Nuit5: piste=6m   escargot:137cm  reste:463cm = 77,1666%
...

le rapport entre la longueur de la piste et la longueur qui reste à parcourir ne cesse de diminuer,
cependant, les quelques notions mathématiques qu'il me restent (et le manque de temps) me laissent dire qu'il s'agit d'une progression logarithmique.
_{désolé pour le manque de rigueur}

ce qui me fait donc conclure qu'il n'arrivera jamais au bout de la piste _{ou alors après une infinité de jours s'il a le temps...}

merci pour l'énigme

Posté par nobody (invité)

Bonjour,

Oui l'escargot arrivera au bout de la piste (et au bout de 12368 jours si je ne me trompe pas).

Posté par lafol lafol

Petit complément : il faut comprendre longévité de Mathusalem au sens escargotesque du terme : une bonne soixantaine d'années devraient "suffire" (la série harmonique étant en ln n)

Posté par geo3 geo3

Bonsoir
A la question " L'escargot arrivera-t-il au bout de la piste ? "
je vais répondre oui
je vais quand même ajouter que ce sera au 12 369 ème jour
A+

Posté par caylus caylus

Bonjour Minkus,

L'escargot arrivera au bout de la piste au 12369 ème jour.

Posté par simon92 simon92

bonjour,
sans trop réfléchir, je dirai : non

Posté par smil smil

bonsoir
je pense qu'il arrivera au bout de la piste, après un parcours épuisant, et si sa durée de vie le lui permet. Un escargot vit-il plus de 33 ans et 322 jours ?

Posté par caylus caylus

Désolé Minkus,

J'ai confondu dans mon tableau excel la ligne 12369 et le jour compté à partir de 0.
Je réaffirme ma réponse:
L'escargot arrivera au bout de la piste mais après 12366 jours.

---------------------------------------------
Il y deux variables dans le problème:
1: la position de l'escargot par rapport à l'origine : x (disons le soir)
2: la longueur de la piste élastique.: d
Donc la position de l'escargot par rapport à la piste peut s'exprimer par la rapport x/d.
Si x/d=1 : l'escargot est à la fin de la piste;
x/d>1 sortie de la piste.
Le but est donc de trouver le jour (j) où x/d>=1
Il y a trois étapes pour un jour:
1: l'état du matin (dépend de la nuit)
2: l'état au moment où l'escargot s'endort. ( parcours de 10 cm)
3: l'état après la nuit (étirement de la piste et modification de la position de l'escargot)
    a: d=d+1
    b: x(ancien)/d(ancien)=x(nouveau)/d(nouveau)   [Thalès]
    => x(nouveau)=x(ancien)*d(nouveau)/d(ancien)
    ex: au jour 0
    x(ancien)=0,1 (m)
    d(ancien)=1 (m)
    d(nouveau)=1+1=2 (m)
    x(nouveau)=0,1*2/1=0,2
    donc au matin du jour 1:
    x=0,2 d=2
    donc au soir du jour 1:
    x=0,2+0,1=0,3
    d=2
    donc la nuit du jour 1:
    d=2+1=3
    x(nouveau)=0,3*3/2=0,45 (m)

    J'ai donc mis 1+9 colonnes dans le tableau xls
    colonne 1: le jour 0,1,2,3,... A

    matin (3 colonnes: x, d, x/d) B C D
    soir  (3 colonnes: x, d, x/d) E F G
    nuit  (3 colonnes: x, d, x/d) H I J

formules utilisées:

AU MATIN
A
ligne 1: 0
ligne suivante: A(précedent)+1 => jour=jour+1 : pour compter les jours.

B (x)
ligne 1: 0
ligne suivante: =H (valeur de x de la nuit) [H de la ligne précédente]

C (d)
ligne 1: 1
ligne suivante: =I (valeur de d de la nuit) [I de la ligne précédente]

D=B/C


AU SOIR

E: (x)
ligne 1: = B+0,1 [B de la même ligne]
ligne suivante: même formule qu' à ligne 1 =B+0,1

Fd)
ligne 1 et suivantes: =C [de la même ligne]

G=E/F [ c'est la valeur qu'il faut tester pour x/d>=1]

NUIT:

I:
=F+1
H:
=A*I/F
J:
=H/I

Posté par plumemeteore plumemeteore

bonjour Minkus
voici une variante, an niveau bis, du problème
mêmes données, mais cette fois, l'escargot ne parcourt 10 cm que tous les p^ièmes jours, p étant un n'importe quel nombre premier
remarque philosophique : notre univers matériel, où les plus grandes quantités n'atteignent pas deux cents chiffres, est bien minuscule par rapport à l'univers mathématique

Posté par red red

oui, l'escargot , a condition qu'il soit un escargot elfique , a la fin du 12367ème jour  aura parcouru 12367,05319m et il sera arrivé au bout de cette satanée piste de 12367m

pour la justification j'ai utilisé la methode bourrine d'excel parce que j'ai rien trouvé de plus classe.


merci pour l'enigme

Posté par Fractal Fractal

Bonjour, l'escargot arrivera bien au bout de la piste... au bout d'environ 33 ans et plus de 10 mois

Fractal

Posté par M7M (invité)

bonjour
non,l'escargot n'arrivera jamais au bout de la piste:

Posté par disdrometre disdrometre

bonjour minkus,

soit un la suite pour n>0 désignant  la distance en cm de l'escargot au bord de la piste à son réveil.

u1=20  u2=45 .. cette suite a comme relation de récurrence u(n+1) = (1+ 1/(n+1))(un +10)

et si on note vn pour n>0 la longueur en cm de la piste au réveil de l'escargot vn=100 + 100n


par des calculs fastidieux, je trouve que l'escargot n'atteint jamais l'autre bord de la piste..

D.

Posté par infophile infophile

Bonsoir

Théoriquement la réponse est : OUI

Si on considère que le premier jour l'escargot se situe à 10 cm du bord, alors il l'atteindra au bout d'environ 12 368 jours soit plus de 33 ans ! Donc dans la pratique je doute qu'un escargot vive aussi longtemps, donc on devrait répondre NON ! Mais je reste sur ma premièren réponse (théorique).

Merci pour l'énigme

Posté par Skops Skops

Bonsoir,

L'escargot arrivera bien au bout de la piste

Merci Exel

Skops

Posté par le chien (invité)

oui si l escargot avance de 5 cm de plus dans son sommeil que son sommeil precedent

Posté par gloubi gloubi

Bonjour,

Après presque 34 ans de labeur, notre valeureux gastéropode atteint enfin son Graal, dans sa 12 367 ème journée de marche.

La Fontaine:



A+,
gloubi

Posté par piepalm piepalm

Le jour n, l'escargot parcours 1/10 de mêtre sur une piste de n mêtres soit une proportion 1/10n de la piste. En cumulé, il aura donc parcouru (1+1/2+...1/n)/10.
Puisque la série harmonique est divergente, il existe n tel que 1+1/2+...+1/n soit supérieur à 10 ; mon tableur me donne n=12367 (presque 34 ans), mais attention aux arrondis... la minoration par ln(n)+C (C constante d'Euler) confirme cette valeur.

Posté par kiko21 kiko21

Bonjour,

Contrairement à ce que l'on pourrait penser, vu que la distance restant à parcourir pour notre pauvre gastéropode ne cesse d'augmenter de jour en jour jusqu'au 4551^ème jour pour atteindre 454,9053106 mètres, l'escargot arrivera malgré tout au bout de la piste courant du 12367^ème jour où seulement 4,6807877 centimètres resteront à parcourir sur les 10 cm habituels !!

Maintenant, est-ce que notre escargot vivra assez longtemps, jusqu'au 12 novembre 2040 ??? 12367 jours, ça fait 33 ans 10 mois 20 jours et l'espérance de vie des escargots est seulement de 10 ans...

L'escargot est aussi une spécialité de la bourgogne, comme le pain d'épices, la moutarde et le cassis...

Bon réveillon à tous, KiKo21.

Posté par atomium atomium

Bonjour à tous,

Réponse: , l'escargot arrivera au bout de la piste.

Toutefois, si les calculs sont exacts, notre gastropode devra ramer durant nombre de jours, d'années, voire de ...décennies, pour pouvoir lever les bras et endosser le maillot jaune.

Posté par evariste evariste

Il arrivera au bout de la piste au bout de ... 12 366 jours

Posté par cricri cricri

bonjour

Ma conclusion est plutot positive pour cet escargot...

d'après une fonction polynome trouvée par mon copain excel,
l'escargot arriverait au bout de la piste lorsque celle ci mesurera 10 m, l'escargot sera à 10.4 m du début de la piste... c'est à dire hors de celle-ci!


merci pour l'énigme

Posté par carflex (invité)

J'ai réalisé un petit programme qui me renvoi la reponse 12366e journée
en effet au debut de cette journée il lui lui reste un peu plus de 3cms a parcourir(si je me souviens bien) qu'il effectue bien vu que chaque jour il avance de 10cms.

Posté par jacques1313 jacques1313

Je pose d=10 cm et j'appelle (U_n) la suite qui donne la distance de l'escargot par rapport au début au matin du énième jour (avec U₀=0).

J'ai obtenu la relation de récurrence suivante : .

On peut voir que l'accroissement U_n+1-U_n tend vers une constante quand n augmente. Comme la longueur de la piste élastique est proportionnelle à n, l'accroissement rapporté à la longueur de la piste tendra vers un équivalent du terme général de la série harmonique, bien connue pour être divergeante vers +.

La réponse est donc oui, l'escargot arrivera ou bout de la piste.
(Si j'en crois mon petit programme, ça devrait arriver pendant le 11754^e jour)

Posté par JackBauer JackBauer

oui,il arrivera à atteindre le bout de la piste

Posté par diablesse diablesse

Je crois que l'escargot finira par arriver car
Il était a 10cm aprés que l'élastique s'élargisse il s'est retrouver a 20cm(il a gagner 10cm de plus).

Posté par matthieu73 matthieu73

Après 12368, d'après excel, l'escargo dépassera l'elastique pour la première fois!
Ma réponse est donc Oui, l'escargot arrivera au bout de la piste
[aucune justification n'était requise...]

Posté par massi (invité)

bonjours tout le monde

je pensse que l'escargot ne poura pas arriver au boue de la piste.

massi

Posté par karatetiger karatetiger

salut merci pour toutes ces enigmes et bonne années a tous alor je proposerais que l'escargot va arriver au bout de la piste au milieu du 12367ème jour en effet au matin du 12367ème l'élastique mesurera 12367 mètres et lui aura parcouru 12366,953188334620 et donc si on lui rajoute les 10 centimètres qu'il parcours quotidienement on obtiend 12367,053188334620 et donc sa distance parcouru est supérieur a la longueur de l'élastique donc il a atteint le bout.




program escargot;
var d, l : real;
    compte : integer;
begin
  l:=1;
  d:=0.1;
  compte:=1;
  while l-d>0 do begin
    l:=l+1;
    d:=0.1+d*l/(l-1);
    compte:=compte+1;
  end;
  writeln(compte);
  writeln(l : 1 : 12);
  writeln(d : 15 : 12);
  readln;
end.




c'est du pascal
salut

Posté par madani madani

bonne année à tous et à toutes!
finalement notre escargot ne mettera pas plusqu'une semaine pour arriver au bout de sa piste elle n'a qu'aplliquer la suite reccurrente:
U(0)=0;U(1)=10;U(n)=1/2 * U(n-2) + 2 * U(n-1)

Posté par Titane12 Titane12

OUI!
A supposer que l'espérance de vie de cette charmante petite bête le permette...
après environ 12 ans et demi il commencera à rattraper le retard pris au départ. Puis après presque 34 ans d'efforts intensifs, il réussira à parvenir au bout de  l'élastique. Lequel mesurera alors plus de 12 km!
à priori, certaines espèces peuvent vivre plus de 10 ans, alors pourquoi pas 33?

Posté par veuchdeuf (invité)

Bonjour,

D'un point vu mathématiques l'escargot arrivera au bout de la piste
la piste mesurera à ce moment 12367m et ca il lui faudra au total un peu moins de 68 ans.

Il lui reste à survivre jusque là...

Posté par mikayaou mikayaou

Bonjour minkus

Ben non, un escargot qui vit plus de 33 ans ( 12 367 jours (et non 12 368 jours) ), comme le dit Prévert, ça n'existe pas !

Le poisson améliorant les qualités intellectuelles ( j'en ai besoin ), ce serait avec plaisir d'accepter le tien, mais sans arête, s'il te plaît...
.

Posté par chaudrack chaudrack

ma réponse à l'air un peu rapide mais oui, l'escargot arrivera au bout de l'élastique, lorsque celui ci aura atteint environ les 12367 mètres.

Cela s'explique par le fait qu'au départ, l'escargot gagne à chaque fois le même pourcentage de distance parcourue que le pourcentage d'allongement, puis marche de 10cm chaque jour..

c'est c'est dernière constante qui fait que cette course n'est pas infinie, puisque même si les gains paraissent de plus en plus négligeables, ils restent supérieurs aux allogements en % de la piste.

je ne sais pas si il fallait démontrer tout ça, mais j'ai un beau tableau excel qui en fait la démonstration.. Si toutefois on est pas d'accord avec ma réponse.

@ plus, chaudrack

Posté par Pr3dator (invité)

je pense qu'il y arrivera, juste par principe déjà !
après avoir cherché un peu (merci excel), j'arrive à la réponse oui, lors du 12367 jours, soit environ entre 33 et 34 années.

Ai-je bon ?
merci !

Posté par dovers (invité)

Non cela ne peut etre possible si la piste s'allonge chaque jour d'un merte et que l'escargot parcour que 10cm.Il n'arrivera donc pas au bout de la piste élastique

Posté par ptitjean (invité)

bonjour,

Soit la suite donnant la distance parcourue en cm par l'escargot en fin de la n-ième journée.
On a

Il a alors parcouru un pourcentage de la piste
Au matin suivant, le pourcentage parcouru n'a pas changé, par contre, la distance a changée et vaut maintenant

Puis de nouveau en fin de journée

On pose qui correspond au pourcentage de la distance parcourue. Si alors l'escargot sera en bout de piste...

On a donc :

d'où


Nous nous trouvons devant la série harmonique, qui diverge, donc l'escargot atteindra son but...

Un petit programme me donne le 12368 ème jour.
Il faudra donc plus de 33 ans au petit escargot... Il sera surement dégusté au prochain réveillon avant d'avoir accompli son but

Ptitjean

Posté par denje (invité)

l'escargot arrivera au bout sauf si il meurt avant ce qui est bien + que probable

Posté par krystal krystal

Bien sur qu'il va arriver puisque chaque nuit l'elastic s'etire d'un metre et en meme temps lui aussi avance (de 10, 15, 20, 25....cm) + les 10centimetres qu'il marche.
Donc il va arriver

Posté par babacoool (invité)

Si l'escargot emporté par son elan continu de grignoté du terrain a lor un jour viendra ou , oui il finira par arrivé au bout de cette piste .
S'il ralenti ben le pauvre n'en verra jamais la fin...

Posté par bpat35 (invité)

oui car l'élastique cèdera bien un jour et à ce moment, l'escargo poura y arriver ...

Posté par scartman (invité)

je ne comprend pas pourquoi il arrive a avoir 45cm de retard alors qu'il perd a chaque fois 10cm...