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Fonctions homographiques


premièreFonctions homographiques

#msg859778#msg859778 Posté le 17-01-07 à 14:04
Posté par Clefie (invité)

Bonjour. J'ai un TD qui est le suivant
On appelle fonction homographique toute fonction f de la forme :
x (ax+b)/(cx + d), où a,b,c,d sont des réels donnés avec c non nul et ad-bc non nul.

1. a) Etudiez la fonction f(x) = (3x-4)/(2x-4) et tracez sa courbe représentativ e C dans un repère orthonormal (0,i,j)

   b) Démontrez que le point I(2; 3/2) est centre de symétrie de la courbe C.
(le point I est le point d'intersection des asymptotes)

  c)Nous allons voir que C est une hyperbole, c"est à dire que l'équation de C dans un certain repère est Y = a/X. Considérez alors le repère (I,i,j) dans lequel les coordonnées d'un point M quelconque seront notées (X;Y)
Prouvez que dans ce repère, une équation de C est Y = 1/X. C est donc une hyperbole.

Merci de m'aider svp je ne comprends pas
re : Fonctions homographiques#msg859842#msg859842 Posté le 17-01-07 à 14:36
Posté par ProfilLopez Lopez

Bonjour,

à quel niveau bloques-tu ?
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re : Fonctions homographiques#msg859870#msg859870 Posté le 17-01-07 à 14:47
Posté par Clefie (invité)

Je n'arrive même pas à répondre à la 1ère question
re : Fonctions homographiques#msg859884#msg859884 Posté le 17-01-07 à 14:52
Posté par ProfilLopez Lopez

il faut commencer par trouver le dommaine de définition
puis dériver
puis étudier le sens de variation
re : Fonctions homographiques#msg859906#msg859906 Posté le 17-01-07 à 14:57
Posté par Clefie (invité)

Df = R - [2] ?
f(x) = (3x-4)/(2x-4)
u(x) = 3x-4      u'(x) = 3
v(x) = 2x-4      v'(x) = 2
f'(x) = u'v - uv'/v² = [3(2x-4) - 2(3x-4)]/(2x-4)² = (6x-12-6x+8)/(2x-4)² = -4/(2x-4)²
Est-ce bon ?
Si oui, je calcule ensuite Delta, je détermine le signe de f' puis ca me donne le sens de variation de f(x) c'est bien ça ?
re : Fonctions homographiques#msg859916#msg859916 Posté le 17-01-07 à 14:59
Posté par ProfilLopez Lopez

Df c'est ok
la dérivée est juste
et on voit directement que f'(x) < 0 pas besoin de
re : Fonctions homographiques#msg859926#msg859926 Posté le 17-01-07 à 15:02
Posté par Clefie (invité)

Ok. Merci. Donc f(x) décroissante. Pour tracer sa courbe je peux faire un tableau des valeurs ?

Et sinon pr la question 1)b) je fais comment stp ?
re : Fonctions homographiques#msg859939#msg859939 Posté le 17-01-07 à 15:05
Posté par ProfilLopez Lopez

montre que 3$\frac{f(2+h)+f(2-h)}{2}=\frac{3}{2}
re : Fonctions homographiques#msg859945#msg859945 Posté le 17-01-07 à 15:07
Posté par Clefie (invité)

Okay... Je vais essayer merci
re : Fonctions homographiques#msg860113#msg860113 Posté le 17-01-07 à 16:00
Posté par Clefie (invité)

Bon je n'y arrive pas...
Je tombe sur 4/4h ce qui n'est pas vraiment ce qu'on recherche...
re : Fonctions homographiques#msg860637#msg860637 Posté le 17-01-07 à 18:47
Posté par ProfilLopez Lopez

3$\frac{f(2+h)+f(2-h)}{2}=\frac{3}{2}

3$\frac{f(2+h)+f(2-h)}{2}=\frac{\frac{3(2+h)-4}{2(2+h)-4}+\frac{3(2-h)-4}{2(2-h)-4}}{2}

                           3$=\frac{\frac{6+3h-4}{4+2h-4}+\frac{6-3h-4}{4-2h-4}}{2}

                            3$=\frac{\frac{2+3h}{2h}+\frac{2-3h}{-2h}}{2}

                           3$=\frac{\frac{2+3h-(2-3h)}{2h}}{2}

                           3$=\frac{\frac{6h}{2h}}{2}

                           3$=\frac{3}{2}

donc I(2;3/2) est centre de symétrie
re : Fonctions homographiques#msg860666#msg860666 Posté le 17-01-07 à 18:55
Posté par Clefie (invité)

Ok. Merci. J'ai fait une erreur vers 2+3h-(2-3h)/2h/2.
Et pour la c) comment je fais, stp ?
re : Fonctions homographiques#msg860915#msg860915 Posté le 17-01-07 à 20:00
Posté par ProfilLopez Lopez

on fait un changement de variable
un point M dans (O;i;j) a pour coordonnées (x;y)
et dans (I;i;j) M a pour coordonnées (x-2;y-3/2)

donc on fait le changement suivant X = x-2 et Y = y-3/2
d'où x = X+2 et y = Y + 3/2

donc l'expression de f devient
3$Y+\frac{3}{2}=\frac{3(X+2)-4}{2(X+2)-4}

3$Y=\frac{3X+2}{2X}-\frac{3}{2}

3$Y=\frac{3X+2-3X}{2X}

3$Y=\frac{2}{2X}

3$Y=\frac{1}{X}
re : Fonctions homographiques#msg860936#msg860936 Posté le 17-01-07 à 20:06
Posté par Clefie (invité)

OK ! Merci !
En fait c'était tout simple. En fait on doit faire un changement de repère et après on applique les formules qu'on a determinées (X = x-2 et Y = y-3/2) Merci
re : Fonctions homographiques#msg860948#msg860948 Posté le 17-01-07 à 20:09
Posté par ProfilLopez Lopez

exact

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