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Fonction, suite définie par Un+1=f(Un)


terminaleFonction, suite définie par Un+1=f(Un)

#msg882326#msg882326 Posté le 28-01-07 à 14:00
Posté par ProfilSkops Skops

Bonjour,

J'ai une suite définie par récurrence

3$\{U_0=\frac{1}{2}\\U_{n+1}=-\frac{1}{3}U^2_n+2U_n

Soit f la fonction suivante :

3$f(x)=-\frac{1}{3}x^2+2x

J'ai démontré que la fonction est croissante sur [0;3] et que f([0;3])=[0;3]

On me demande d'en déduire que la suite (Un) est majorée par 3 et qu'elle est croissante.

En fait, j'ai un petit problème pour cette question en ce qui concerne la rédaction.
Comment passe t'on de f(x) à Un ?

Merci

Skops
re : Fonction, suite définie par Un+1=f(Un)#msg882373#msg882373 Posté le 28-01-07 à 14:12
Posté par Profilinfophile infophile

Bonjour,

Récurrence ?
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re : Fonction, suite définie par Un+1=f(Un)#msg882380#msg882380 Posté le 28-01-07 à 14:13
Posté par ProfilSkops Skops

Euh, il y a pas une autre solution ?
La récurrence pfff

Skops
re : Fonction, suite définie par Un+1=f(Un)#msg882399#msg882399 Posté le 28-01-07 à 14:18
Posté par Profilinfophile infophile

Si,

f est croissante sur [0,3] et continue sur |R. Donc l'image de [0,3] par f est [f(0),f(3)] = [0,3]. L'intervalle [O,3] est un intervalle de stabilité pour f. Et comme ton U0 est dans [O,3] alors (Un) est bien définie par Un+1 = f(Un). Donc pour tout n, tous les Un sont dans cet intervalle et donc Un<3.
re : Fonction, suite définie par Un+1=f(Un)#msg882426#msg882426 Posté le 28-01-07 à 14:25
Posté par ProfilSkops Skops

En gros, il faut que je dise quoi ?

Skops
re : Fonction, suite définie par Un+1=f(Un)#msg882429#msg882429 Posté le 28-01-07 à 14:25
Posté par Profilinfophile infophile

Pour la croissance de (Un) tu es obligé de passer par la récurrence, mais c'est immédiat.

Je te laisse l'initialisation.

Tu supposes Un+1 > Un, comme f est croissante alors f(Un+1)>f(Un) soit Un+2>Un+1 donc la propriété est héréditaire.

Donc (Un) est croissante.
re : Fonction, suite définie par Un+1=f(Un)#msg882431#msg882431 Posté le 28-01-07 à 14:26
Posté par Profilinfophile infophile

En gros, ce que j'ai marqué.
re : Fonction, suite définie par Un+1=f(Un)#msg882446#msg882446 Posté le 28-01-07 à 14:28
Posté par ProfilSkops Skops

On est forcé de passer par la récurrence si on me demande d'en déduire ?

Skops
re : Fonction, suite définie par Un+1=f(Un)#msg882450#msg882450 Posté le 28-01-07 à 14:29
Posté par Profilinfophile infophile

Oui car la récurrence s'appuie sur le fait que f est croissante.
re : Fonction, suite définie par Un+1=f(Un)#msg882455#msg882455 Posté le 28-01-07 à 14:30
Posté par ProfilSkops Skops

D'accord

Pfffff

Skops
re : Fonction, suite définie par Un+1=f(Un)#msg882487#msg882487 Posté le 28-01-07 à 14:41
Posté par ProfilSkops Skops

Une dernière chose

Comment trouve t'on la limite d'une suite pareil ?

Skops
re : Fonction, suite définie par Un+1=f(Un)#msg882492#msg882492 Posté le 28-01-07 à 14:42
Posté par ProfilNightmare Nightmare

Bonjour

Ta suite est croissante et majorée donc convergente. D'après le théorème du point fixe, elle converge vers un point fixe de f. A toi de voir lequel.
re : Fonction, suite définie par Un+1=f(Un)#msg882496#msg882496 Posté le 28-01-07 à 14:43
Posté par Profilinfophile infophile

(Un) est croissante et majorée par 3 donc elle converge vers une certaine limite l.

f est continue sur [0,3] qui contient tous les Un donc elle contient l (je passe les détails).

Donc f(l)=l

Tu n'as plus qu'à résoudre.
re : Fonction, suite définie par Un+1=f(Un)#msg882505#msg882505 Posté le 28-01-07 à 14:45
Posté par Profilinfophile infophile

Lire : f est continue sur [0,3] qui contient tous les Un et qui contient donc l.
re : Fonction, suite définie par Un+1=f(Un)#msg882531#msg882531 Posté le 28-01-07 à 14:51
Posté par ProfilSkops Skops

Je dois résoudre f(l)=l ?

Skops
re : Fonction, suite définie par Un+1=f(Un)#msg882536#msg882536 Posté le 28-01-07 à 14:52
Posté par Profilinfophile infophile

Oui.

Et tu trouveras l=3 (on s'y attendait un peu)
re : Fonction, suite définie par Un+1=f(Un)#msg882562#msg882562 Posté le 28-01-07 à 14:57
Posté par ProfilSkops Skops

Donc je dois résoudre

3$l=l^2+2l ?

Skops
re : Fonction, suite définie par Un+1=f(Un)#msg882570#msg882570 Posté le 28-01-07 à 14:58
Posté par Profilinfophile infophile

Euh non..
re : Fonction, suite définie par Un+1=f(Un)#msg882577#msg882577 Posté le 28-01-07 à 15:00
Posté par ProfilSkops Skops

En effet, ca sert à rien.

Skops
re : Fonction, suite définie par Un+1=f(Un)#msg882587#msg882587 Posté le 28-01-07 à 15:02
Posté par Profilinfophile infophile

Ta fonction c'est f(x)=-1/3x²+2x donc f(l)=l <=> ?
re : Fonction, suite définie par Un+1=f(Un)#msg882625#msg882625 Posté le 28-01-07 à 15:10
Posté par ProfilSkops Skops

Ah oui j'ai oublié le -1/3

Mais on a 2 solutions non ?

Skops
re : Fonction, suite définie par Un+1=f(Un)#msg882629#msg882629 Posté le 28-01-07 à 15:10
Posté par ProfilNightmare Nightmare

Oui effectivement, la fonction admet deux points fixes, mais l'un ne peut pas être limite. Pourquoi?

re : Fonction, suite définie par Un+1=f(Un)#msg882639#msg882639 Posté le 28-01-07 à 15:11
Posté par Profilinfophile infophile

-1/3l²+2l=l
<=> -1/3l² = -l
<=> l²=3l
<=> l(l-3)=0
<=> l=0 ou l=3

Oui car en réalité (Un) est bornée.
re : Fonction, suite définie par Un+1=f(Un)#msg882640#msg882640 Posté le 28-01-07 à 15:11
Posté par Profilinfophile infophile

J'ai rien dit..
re : Fonction, suite définie par Un+1=f(Un)#msg882642#msg882642 Posté le 28-01-07 à 15:12
Posté par Profilinfophile infophile

J'ai pas fait gaffe au U0...
re : Fonction, suite définie par Un+1=f(Un)#msg882649#msg882649 Posté le 28-01-07 à 15:13
Posté par ProfilSkops Skops

Car la fonction est croissante ?

Skops
re : Fonction, suite définie par Un+1=f(Un)#msg882653#msg882653 Posté le 28-01-07 à 15:13
Posté par Profilinfophile infophile

Oui
re : Fonction, suite définie par Un+1=f(Un)#msg882659#msg882659 Posté le 28-01-07 à 15:14
Posté par ProfilSkops Skops

Ok merci à vous deux

Skops
re : Fonction, suite définie par Un+1=f(Un)#msg882661#msg882661 Posté le 28-01-07 à 15:14
Posté par Profilinfophile infophile

De rien.
re : Fonction, suite définie par Un+1=f(Un)#msg882662#msg882662 Posté le 28-01-07 à 15:14
Posté par ProfilNightmare Nightmare

Oui, ta fonction est croissante donc minorée par son premier terme qui est 1/2. Si ta suite convergeait vers 0, alors tout voisinage de 0 contiendrait les termes de la suite à partir d'un certain rang. Il est clair que l'intervalle ]-1/2;1/2[ est un voisinage de 0 mais ne contient aucun terme de la suite => Contradiction. La suite ne peut converger vers 0.
re : Fonction, suite définie par Un+1=f(Un)#msg882672#msg882672 Posté le 28-01-07 à 15:15
Posté par ProfilSkops Skops

D'accord

Merci

Skops

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