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logarithme / convergence
bonjour
je fais un exercice pour la rentrée qui est classé dans la caégorie des défis, je ne trouve pas la solution, pouvez vous m'indiquer la marche a suivre
a, un réel
tel que a>e
u est la suite définie par :
u0=a et pour tout entier n, un+1= un / ln (un)
je dois démontrer que cette suite converge vers e
aidez moi svp!!
j'ai oublier de préciser que j'a prouver que la suite était croissante sur [e;+inf[
Considérer la fonction associée à la suite (Un); soit f(x)=x/lnx; f est continue et dérivable sur [e;+oo[ ;f'(x)=(lnx-1)/(lnx)^2;
f est croissante sur [e;+oo[ et f(e)= e.
Si x > e alors f(x)>f(e), donc f(x)> e
Démontrons par récurence que Un > e.
Uo = a; a > e, donc Uo > e; supposons Un > e et montrons que Un+1 > e.
Un > e donc f(Un) > f(e)car f est croissante sur [e;+oo[ ; d'où Un+1 > e ( f(Un)= Un+1);donc Un > e pour tout n dans IN. La suite Un est alors minorée par e. Montrons maintenant que la suite est décroissante.
Un+1 = Un/lnUn donc Un+1/Un = 1/lnUn (*). Or Un > e donc lnUn > lne car la fonction ln est croissante sur [e;+oo[; donc 1/lnUn < 1 (**).
(*) et (**)entraînent Un+1/Un < 1; donc Un+1 < Un Car Un > 0 (Un > e pour tout n dans IN); d'où la suite (Un) est décroissante .
La suite (Un) étant décroissante et minorée par e, elle donc convergente.(Nb:sa limite n'est pas forcément e; elle le plus grand des minorants)
Détermination de sa limite g:
f étant continue et (Un) une suite convergente vers g, on a f(g)= g.
g=g/lng;donc 1=1/lng; d'où g = e.
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