Applications de la dérivation : sens de variations, équations

Posté par diabolikangel6 (invité)

Bonjour je suis en 1ere S et nous avions des exercices à faire pendant les vacances donc j'aimerais savoir si ils sont bons Merci beaucoup de bien vouloir verifier
PS: x=x et X=fois

Un laboratoire pharmaceutique fabrique un produit solide conditionné sous la forme d'un petit parallélépipède rectangle dont le volume est de 576mm³.
On note y la hauteur; ses autres dimensions sont x et 2x (x et y en mm).

1) calculez y en fonction de x

x0
J'ai appelé le rectangle B      VB = 576mm³   y = hB    La base B1 a pour dimension L=2x l=x
VB = B1 X h   VB = B1 X y   B1 rectangle donc VB = L X l X y = 2x X x X y      576 = 2x² X y

y = 576/2x² = 288/x²


2) calculez la surface totale S(x), en mm², de ce parallélépipède rectangle en fonction de x.

S(x)= 2 X SB1 + 2 X SB2 + 2 X SB3 = 2 X 2x² + 2 X yx2x + 2 X xy
    = 4x² + 4x(576/2x²) + 2x(576/2x²) = x² + 230x/2x² + 1152x/2x²
    = 2x⁴/2x² + 2304x/2x² + 1152x/2x² = (2x⁴ + 3456x)/2x²
    = (2x(x³)+2x(1728))/2x(x)      

S(x) = (x³+1728)/x

3) x est nécessairement compris entre 3 et 12 mm. Etudiez le sens de variation de S sur l'intervalle [3;12] et déduisez-en la valeur de x pour laquelle S(x) est minimale.

S'(x) = u'v-v'u/v²    S'(u/v) avec u=x³+1728 et v=x
S(x) définie sur l'ensemble [3;12] est dérivable sur ce même intevale comme quotient de fonction dérivable sur [3;12].
u'= 3x²   u= x³+1728  v'= 1  v= x    v²= x²
S(x)= (3x² X x -1 X (x³+1728))/x²  =  (3x³- x³-1728)/x²
3x³- x³ est positif et x² aussi
Si x [3;12] alors 3x³>x³    

S'(x) positif pour 3x³-x²>1728 donc S(x) monte

S'(x) négatif pour 3x³-x³<1728 donc S(x) déssend

Déduisons la valeur de x pour laquelle S(x) est minimale pour 3x³-x³=1728
2x³=1728     x³=1728/2   donc

x= racine cubique de 1728/2  Le problème est que ma calculatrice ne donne pas les racines cubiques donc je ne peut pas connaitre x...

Encore merci

Posté par diabolikangel6 (invité)

svp sa serait vraiment gentil de votre part de me confirmer que mon travail est bon merci beaucoup

Posté par Coll Coll

Bonjour,

La réponse à la première question est bonne y = 288 / x²

Il y a un coefficient 4 qui s'est perdu dans la réponse à la deuxième question :


S(x) = 2.2x² + 6x.y = 4x² + 6x.(288 / x²) = 4x² + 1728 / x

Bien sûr il faut revoir la question 3

Posté par diabolikangel6 (invité)

A très bien, merci beaucoup

Posté par Coll Coll

Il y a très peu à changer dans la réponse à la question 3 : ajoute le coefficient 4
et tu n'auras pas besoin d'une calculatrice extraordinaire (je souffle : 6 * 6 * 6 = 216)

Posté par diabolikangel6 (invité)

A et bien encore merci

Posté par Coll Coll

Pour le calcul de la fonction dérivée, ne te complique pas la vie !
Ne réduis pas au même dénominateur !