JFF Géométrie : L'équerre de Jamo :*:

Posté par jamo jamo

Bonjour,

n'ayant pas de chance avec mes calculatrices (voir et ) j'ai décidé d'arrêter les calculs et d'attaquer la géométrie avec mes élèves.

J'ai sacrifié mes calculatrices aux enchères sur e-baille pour investir dans une équerre.

Mais voilà qu'en bricolant avec mon équerre, me voilà pris d'un énorme doute !!

En effet, sur le côté [AB], j'ai placé un point D tel que CD=2AD. Ensuite, j'ai placé le point E sur [BC] tel que CDE soit rectangle en D.
Résultat : Je trouve que EB=CD !!

Je me pose donc la question suivante : est-ce une équerre 60-30 ? C'est à dire est-ce que ses 2 angles aigus font vraiment 60° et 30° ?

Justifier votre réponse.

Pour simplifier, on prendra CD=1 comme l'indique la figure ci-dessous (qui n'est pas à l'échelle).

Bonne recherche, merci de répondre en blanké.

Exercice abordable dès la Seconde, mais attention, c'est un peu serré !!

Posté par jamo jamo

Finalement, je vais modifier, ou plutot ajouter une question (car je viens de réaliser que celle posée est un peu "facile") : Calculer la valeur exacte de CE. (mais répondez quand même avec celle de l'énoncé, elle n'est pas inintéressante).

Ceci permettra ensuite de calculer toutes les autres longueurs et angles dans ce triangle ...

Posté par jamo jamo

Violoncellenoir >>

Posté par moctar moctar

Bonjour,

Posté par jamo jamo

moctar >>

Posté par jamo jamo

Violoncellenoir >> !!

Posté par lyonnais lyonnais

Bonjour

Je trouve :

D'autre part, je trouve également :



et



De plus au niveau des angles :


d'où :



D'où :

angle(ACB) =   et donc :  angle(CBA) =
A+
Romain

Posté par jamo jamo

lyonnais >>

Posté par plumemeteore plumemeteore

bonjor Jamo
supposons que l'angle dbc vaille 30 degrés
alors le triangle edb est isocèle car ses angles d et e valent 30 degrés
eb = ed = 1 = dc
le triangle dce est rectangle isocèle en d; l'angle dce vaut 45 degrés et non 30 degrés
la supposition n'est pas bonne et abc n'est pas une équerre 30/60

Posté par jamo jamo

Bonjour plumemeteore,

en effet, une petite démonstration par l'absurbe suffit pour démontrer que le triangle n'a pas des angles de 30° et 60°.

Maintenant, il reste à calculer la valeur exacte de CE, et là, c'est plus costaud ...

Posté par Fractal Fractal

Bonjour

Question subsidiaire : Comment tracer une telle figure à la règle et au compas?

Fractal

Posté par jamo jamo

Bonjour Fractal, voici la réponse à ta question subsidiaire :

Posté par Fractal Fractal

jamo ->

Fractal

Posté par jamo jamo

Fractal >>

Posté par jamo jamo

Voici la correction.

1. Les angles aigus du triangle ABC sont-ils égaux à 30° et 60° ?

Une petite démonstration par l'absurde suffit pour répondre à cette question.

Supposons que l'angle soit égal à 30°.

Etant donné que l'angle est aussi égal à 30° (car 180-60-90=30), alors cela implique que le triangle BED est isocèle en E.

Donc, on aurait EB=ED=CD=1, ce qui implique que le triangle CDE est rectangle isocèle en D, donc l'angle fait 45°.

Donc l'angle serait égal à 75° (30+45) et non pas 60°.

Absurde : donc l'angle n'est pas égal à 60°.


2. Calcul des dimensions du triangle

On place un repère orthonormé comme l'indique la figure ci-dessous.

En appelant k l'abscisse du point B, les points A, B, C et D ont pour coordonnées : .

Equation de la droite (DE)

Etant donné que l'angle fait 30°, on a :

Equation de la droite (BC)

En utilisant les coordonnées des points B et C, on trouve :

Coordonnées du point E

En résolvant le système composé des équations des droites (DE) et (BC), on trouve :



Détermination de la valeur k

En utilisant les coordonnées des points B et E, on trouve que la longueur BE, en fonction de k, est donnée par :



En utilisant le fait que BE=1, on trouve que k est solution de l'équation :





La solution retenue de cette équation donne donc l'abscisse du point B :



Calcul des dimensions du triangle

Connaissant la valeur de k, on peut facilement avoir accès à toutes les longueurs dans le triangle. En particulier, on trouve :


Question subsidiaire

J'ai proposé une solution analytique pour résoudre ce problème d'apparence simple (il est d'ailleurs intéressant de voir apparaitre des racines cubiques dans un problème de géométrie, c'est plutôt rare ...).

Qui a une solution plus "géométrique" ?

La question reste ouverte, je n'ai pas la réponse ...