DEFI DE ROUTINE number 1

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S = { (x-1) + a.x.e^-1/x / a soit dans IR }  pour x dans R*

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L'équation peut s'écrire x²y'=(1+x)y+1 avec x non nul.
La solution est un polynome de degré n. Soit an le coefficient de degré n, on obtient en remplçant dans l'équation : a_n*n=a_n.
Donc a_n est nul sauf si n=1.
Si on remplace y par ax+b , on obtient a=-b=1
y=x-1 est donc la solution.

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(E) est une équa diff linéaire du premier ordre résoluble en y'. On sait donc que l'ensemble des solution de (E) sur IR* est une droite affine de C1(IR*,IR) dirigée par x -> exp(-U)  où U est une primitive de x -> -(1+x)/x²

Or :

(1+x)/x² = 1/x² + 1/x  donc une primitive de (1+x)/x² est : x -> -1/x + ln|x|

Ainsi, on a  exp(-U) = exp(-1/x + ln|x|) = |x|.exp(-1/x)

Donc S est dirigée par  x -> x.exp(-1/x)

On applique alors la méthode de variation de la constante :

a'(x) = (1/x²)/[x.exp(-1/x)] = exp(1/x)/x³

Donc : a(x) = (1-(1/x)).exp(1/x) + cste

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S = { (x-1) + a.x.e^-1/x / a soit dans IR }  pour x dans R*

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Reste à voir en 0 :D

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Je me serais donc trompé ? Ne te manques-t-il pas des solutions ?

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non, c'est toi qui a raison, je n'ai trouvé que la solution particulière

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ce n'est qu'un détail

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Pourtant je pense avoir toutes les solutions sur R*

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Je pense que non. indice: Comme tu dis, "reste à voir en zéro"

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l'équation s'écrit x²y'-(1+x)y=1.

On multiplie par une certaine fonction g supposée non nulle :
x²g(x)y'-g(x)(1+x)y=g(x).

Cherchons g(x) telle que :
(x²g(x))'=-(1+x)g(x)
c'est-à-dire :
x²g'(x)+2xg(x)=-(1+x)g(x)
soit :
x²g'(x)=(-1-3x)g(x)
g'(x)/g(x)=(-1-3x)/x²
On a donc:
ln(g(x))=1/x-3ln(x)
d'où :
g(x)=exp(1/x)/x³.

Avec un tel g(x), on peut écrire que l'équation équivaut à :
(x²g(x)y)'=g(x)
soit :
(exp(1/x)/x y)'=g(x)
En intégrant :
exp(1/x)/x * y =exp(1/x)(x-1)/x+C
au final :
y(x)=(x-1)+Cxexp(-1/x) , C décrivant R

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Même remarque que pour lyonnais: ta solution est "bonne" mais l'ensemble des solutions que tu as trouvé est infiniment plus petit que le véritable ensemble solution. Peux-tu trouver pourquoi?

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(E) : y'-[(1+x)/x²]y = 1/x² n'est pas équivalente à x²y'-(1+x)y = 1  sur IR tout entier ...

Sinon pas mal ta façon de faire

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Je laisse le soin à quelqu'un d'autre de regarder le problème en 0, j'avoue avoir la fleme ( rolland garros oblige )

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Je ne suis pas d'accord ! L'ensemble des solutions trouvé n'est pas infiniment plus petit ... C'est le plus grand possible. Reste à exprimer des conditions pour que ça marche en 0 ...

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On ne s'occupe pas de zéro, ce n'est pas défini en zéro. Par contre, zéro est un point de discontinuité donc...

Ta réponse est bien S = { (x-1) + a.x.e-1/x / a soit dans IR }  pour x dans R* ??

Je pourrais te donner une fonction qui n'appartient pas à cet ensemble mais qui satisfait quand même l'équation différentielle.

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Vas-y, donne une autre solution, je demande à voir ...

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Ok, je prend une fonction simple h(x) définie sur R* :

h(x)=x-1 sur ]-infini;0[ et h(x)=x-1+xe^{-1/x} sur ]0;+infini[

La discontinuité rend en fait les "combinaisons" possibles.

Le véritable ensemble solution est d'un infini d'un ordre supérieur que le tient.

C'est un détail que les gens souvent oublis...

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Au détail près qu'il faut que tu assures la continuité en 0 ... D'où le problème de recollement des solutions.

Je reste donc sur ma position ...

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Pourquoi assurer la continuité en 0? Dans mon problème, x différent de 0. Sinon, l'énoncé serait x^2y'=(1+x)y+1. Non?

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h(x)=(x-1)+C(x)xexp(-1/x) où C(x) est une fonction localement constante sur R-* et R+*

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Oui la solution de Nightmare semble la mieux adaptée ...