Niveau terminale

Limite de suite

Posté par
pumah 10-10-07 à 20:26

Bonjour,

je connais quelques difficultés sur cet exercice:

Montrer que si (u_n) est une suite convergente de limite l > 0, tous les termes de la suite sont strictement plus grands que l/2 pour n assez grand.
En déduire que si (v_n) est une suite tendant vers + , la suite (u_nv_n) avec n tend vers + .

Je ne sais pas du tout comment faire puisque je n'ai que peu d'informations sur cette suite u_n.
Si quelqu'un pouvait m'éclairer un peu,
Merci d'avance

Posté par re : Limite de suite 11-10-07 à 01:21

Bonsoir,

Dire que $(u_n)$ converge vers $l$ revient à dire que, pour $\varepsilon >0$ donné, tous les termes de la suite sont dans un intervalle du type $]l-\varepsilon,l+\varepsilon[$ pour $n$ "assez grand", c'est à dire $n>n_0$

En prenant $\varepsilon < \frac{l}{2}$ , pour $n>n_0$ , on aura:

$\frac{l}{2}<l-\varepsilon <u_n$ soit $u_n>\frac{l}{2}$

Dire que la suite $(v_n)$ tend vers $+\infty$ revient à dire que:

pour $A>0$ donné, tous les termes de la suite sont dans un intervalle du type $[A,+\infty[$ pour $n$ "assez grand" c' est à dire pour $n>n_1$

En appelant $N$ le plus grand de $n_0$ et $n_1$ :

pour $n>N$ , on a $u_n>\frac{l}{2}>0$

et $v_n>A>0/tex] \\ \\ Donc pour [tex]n>N$ , $u_n.v_n>\frac{lA}{2}$ ce qui signifie que pour $n$ "assez grand" tous les termes de la suite $(u_n.v_n)$ sont dans un intervalle du type $[\frac{lA}{2},+\infty[$

et $(u_n.v_n)$ est donc une suite qui tend vers $+\infty$

Posté par re : Limite de suite 11-10-07 à 20:49

Bonjour,

j'ai trouvé en partie la même chose que vous, à ceci près que mon professeur m'a conseillé de remplacer par l/2.

Merci beaucoup

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