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récurrence

Posté par
tatia471 11-10-07 à 19:26

bonjour
j'ai un DS de maths demain et pour nous entrainer le prof nous as donné des exos corrigés sur la récurrence mais je ne comprend pas tout:

l'énoncé est démontrer que 3^(2n+1) + 2^(n+2) est un multiple de 7

initialisation est facile

au niveau de l'hérédité je bloque sur (7p-2^(n+2))*3²+2^(n+2)*2= 7p*3²+2^(n+2)*(2-9)

je ne comprend pas comment toruver ce résultat

merci de votre aide

Posté par
jeroMre : récurrence 11-10-07 à 19:38

Bonsoir,
on suppose qu'il existe un entier n tel que 3^{2n+1}+2^{n+2} soit un multiple de 7.

Donc il existe un entier p tel que 3^{2n+1}+2^{n+2}=7p
d'où 3^{2n+1}=7p-2^{n+2}.

Si on considère 3^{2(n+1)+1}+2^{(n+1)+2} qui est le nombre de la propriété au rang n+1, alors:
3^{2(n+1)+1}+2^{(n+1)+2}=3^{2n+3}+2^{n+3}=3^{2n+1}\times 3^2 +2^{n+2}\times 2=(7p-2^{n+2})\times 3^2 +2^{n+2}\times 2=9\times 7p+2^{n+2} \(-9+2\)=9\times 7p+2^{n+2}\times 7=7\times (9+2^{n+2})
qui est donc multiple de 7.

sauf erreur.

Posté par
jeroMre : récurrence 11-10-07 à 19:39

Mince la fin a été coupée:
...=7\times(9p+2^{n+2})

Posté par
critoure : récurrence 11-10-07 à 19:41

Bonsoir,

3$ 3^{2(n+1)+1}+2^{n+1+2}
3$ =3^{2n+1+2}+2^{n+2+1}
3$ =3^{2n+1}\times 9+2^{n+2}\times 2
3$ =(3^{2n+1}+2^{n+2})\times 9-2^{n+2}\times 9 + 2^{n+2}\times 2
3$ =(3^{2n+1}+2^{n+2})\times 9+2^{n+2}\times (2-9)

Tu comprends comme ça ?

Posté par
tatia471re : récurrence 11-10-07 à 19:57

oui merci j'avais zapé la factorisation de 2^(n+2)!

une autre question...

est ce que 2^(3n+1) -1 = 2^(3n) *2^3 -1

ou égal à 2^(3n)* 2 -1 ?

Posté par
critoure : récurrence 11-10-07 à 20:02

a^{b+c}=a^b\times a^c donc 2^{3n+1}=...

par contre 2^{3n+3}= ...

(je te laisse déduire ce que ça vaut )

Posté par
tatia471re : récurrence 11-10-07 à 20:18

2^(3n+1)=2^3n * 2

et 2^(3n+3)= 2^3n * 2^3

c'est ca?

Posté par
critoure : récurrence 11-10-07 à 20:30

oui !


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