Bonjour,
J'aurais besoin d'un petit éclaircissement sur un exercice :
Soit (Un) une suite réelle, n
Montrer que si (U2n) et (U2n+1) convergent alors la suite (Un) est convergente
(indication : utiliser la définition de la convergence)
Suffit-il de dire que si (U2n) tend vers L et que (U2n+1) tend vers L', sachant que (U2n) et (U2n+1) sont des suites extraites de la suite réelle (Un), alors (Un) tend vers L" et L = L' = L" ?
Merci pour votre aide
passer par les epsilon c-à-dire passer par la définition de la convergence? (soit epsilon>0,N,n ,nN => l(Un)-Ll<epsilon)
et quelle est l'idée de démonstration à partir d'une telle démonstration?
merci d'avance
L'idée de la démonstration, c'est d'écrire la définition pour U2p et U2p+1.
En considérant ensuite la suite Un, on a n qui est pair ou impair, donc n qui vaut 2p ou 2p+1.
On trouve alors une condition sur n pour que la suite converge ( No=max(2po,2po+1) )
on suppose que (U2n) et (U2n+1) on même limite L
dire que (U2n) converge revient à dire que >0,N,n ,nN => l(U2n)-Ll</2
dire que (U2n+1) converge revient à dire que >0,N',n ,nN' => l(U2n+1)-Ll</2
or la suite (Un) admet des n pairs et impairs, donc on a pour tout nN" : (avec N"=max(N,N'))
l((U2n)-L)+((U2n+1)-L)ll(U2n)-Ll+l(U2n+1)-Ll
l(Un)-2Ll</2+/2
l(Un)-2Ll<
et donc si (U2n) et (U2n+1) converge alors (Un) converge
c'est une de mes premières rédactions soyez indulgents..
et après doit-on le faire de façon réciproque?(on suppose que (Un) converge...)
merci
C'est l'idée cependant on a pas vraiment la définition de la convergence de la suite U(n) dans ta conclusion vu que pour n>=N" tu considères que les termes de la forme 2n.
Ensuite je ne comprend pas ce que tu fais ici:
pour ta citation il manque un "inférieur ou égal" , et je voulais utiliser l'inégalité triangulaire..
je pensais que si (Un) converge vers 2L alors (Un) converge..
je suis passé de U(2n) à U(n) par le fait que pour tout n appartenant à pour U(n) n est soit pair soit impair et donc U(n) revient à U(2n)+U(2n+1) et je remplace dans mon développement..
et je voulais savoir, qu'est-ce que tu entends par "on a pas vraiment la définition de la convergence de la suite U(n) dans ta conclusion vu que pour n>=N" tu considères que les termes de la forme 2n" ?
quand à ta dernière question elle suppose qu'il ne suffit pas que de prouver que si les suites extraites d'une même suite converge alors la suite en elle-même ne converge pas forcement..là est le problème! I'm lost...
On reprend si on a u(2n) et u(2n+1) qui convergent vers l, on veut montrer que u(n) converge l(cela semble raisonnable fais un dessin à partir d'un certain rang tous les termes pairs sont proches de l mais les impairs aussi donc tous les termes).
C'est cette phrase que tu dois traduire mathématiquement.
Pour ma dernière question, j'ai pas précisé qu'on considérait qu'elles convergent vers une même limite et j'ai pas donné la réponse
Ici u(2n) et u(2n+1) convergent vers une même limite et ça ca va impliquer la convergence de u(n).
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