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Convergence de suites réelles


autreConvergence de suites réelles

#msg1394523#msg1394523 Posté le 01-11-07 à 14:57
Posté par Profilbabybelle babybelle

Bonjour,

J'aurais besoin d'un petit éclaircissement sur un exercice :

Soit (Un) une suite réelle, n
Montrer que si (U2n) et (U2n+1) convergent alors la suite (Un) est convergente
(indication : utiliser la définition de la convergence)

Suffit-il de dire que si (U2n) tend vers L et que (U2n+1) tend vers L', sachant que (U2n) et (U2n+1) sont des suites extraites de la suite réelle (Un), alors (Un) tend vers L" et L = L' = L" ?

Merci pour votre aide
re : Convergence de suites réelles#msg1394538#msg1394538 Posté le 01-11-07 à 15:01
Posté par ProfilRouliane Rouliane

Bonjour,

C'est pas si évident, il faut passer par les epsilon.
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re : Convergence de suites réelles#msg1394541#msg1394541 Posté le 01-11-07 à 15:02
Posté par ProfilCauchy Cauchy

Bonjour,

non il ne suffit pas d'ailleurs c'est faux regarde u(n)=(-1)^n.
re : Convergence de suites réelles#msg1394576#msg1394576 Posté le 01-11-07 à 15:09
Posté par ProfilCauchy Cauchy

Salut Rouliane
re : Convergence de suites réelles#msg1394596#msg1394596 Posté le 01-11-07 à 15:15
Posté par ProfilRouliane Rouliane

Salut
re : Convergence de suites réelles#msg1394606#msg1394606 Posté le 01-11-07 à 15:17
Posté par ProfilCauchy Cauchy

Je suppose que babybelle a oublié de préciser que L=L'.
re : Convergence de suites réelles#msg1398003#msg1398003 Posté le 02-11-07 à 14:06
Posté par Profilbabybelle babybelle

passer par les epsilon c-à-dire passer par la définition de la convergence? (soit epsilon>0,N,n ,nN => l(Un)-Ll<epsilon)
et quelle est l'idée de démonstration à partir d'une telle démonstration?

merci d'avance
re : Convergence de suites réelles#msg1398008#msg1398008 Posté le 02-11-07 à 14:08
Posté par ProfilRouliane Rouliane

oui, c'est ça.
Ecrit la définition avec les epsilon pour U2p et U(2p+1)
re : Convergence de suites réelles#msg1398015#msg1398015 Posté le 02-11-07 à 14:10
Posté par Profilbabybelle babybelle

"définition" et non pas "démonstration" pour la fin de la question..

re : Convergence de suites réelles#msg1398031#msg1398031 Posté le 02-11-07 à 14:12
Posté par ProfilCauchy Cauchy

Tu as bien supposé que U2n et U(2n+1) convergent vers la même limite sinon tu y arriveras pas.
re : Convergence de suites réelles#msg1398032#msg1398032 Posté le 02-11-07 à 14:12
Posté par ProfilRouliane Rouliane

L'idée de la démonstration, c'est d'écrire la définition pour U2p et U2p+1.

En considérant ensuite la suite Un, on a n qui est pair ou impair, donc n qui vaut 2p ou 2p+1.
On trouve alors une condition sur n pour que la suite converge ( No=max(2po,2po+1)  )  
une ébauche de rédaction..#msg1402955#msg1402955 Posté le 03-11-07 à 16:15
Posté par Profilbabybelle babybelle

on suppose que (U2n) et (U2n+1) on même limite L
dire que (U2n) converge revient à dire que   >0,N,n ,nN => l(U2n)-Ll</2
dire que (U2n+1) converge revient à dire que >0,N',n ,nN' => l(U2n+1)-Ll</2
or la suite (Un) admet des n pairs et impairs, donc on a pour tout nN" : (avec N"=max(N,N'))
l((U2n)-L)+((U2n+1)-L)ll(U2n)-Ll+l(U2n+1)-Ll
l(Un)-2Ll</2+/2
l(Un)-2Ll<
et donc  si (U2n) et (U2n+1) converge alors (Un) converge

c'est une de mes premières rédactions soyez indulgents..
et après doit-on le faire de façon réciproque?(on suppose que (Un) converge...)

merci
re : Convergence de suites réelles#msg1402997#msg1402997 Posté le 03-11-07 à 16:22
Posté par ProfilCauchy Cauchy

C'est l'idée cependant  on a pas vraiment la définition de la convergence de la suite U(n) dans ta conclusion vu que pour n>=N" tu considères que les termes de la forme 2n.

Ensuite je ne comprend pas ce que tu fais ici:
Citation :
l((U2n)-L)+((U2n+1)-L)ll(U2n)-Ll+l(U2n+1)-Ll



Tu montres que U(n) converge vers 2L? On a du U(2n) puis subitement du U(n) que c'est il passé?

Oui tu peux faire la réciproque, si une suite converge alors ses sous-suites de termes pairs et impairs convergent(plus généralement toutes ses sous-suites convergent).

P.S: d'ailleurs une question est-ce qu'une suite dont toutes les suites extraites propres(c'est à dire différentes de U(n)) convergent, converge-t-elle?
re : Convergence de suites réelles#msg1403427#msg1403427 Posté le 03-11-07 à 17:33
Posté par Profilbabybelle babybelle

pour ta citation il manque un "inférieur ou égal" , et je voulais utiliser l'inégalité triangulaire..

je pensais que si (Un) converge vers 2L alors (Un) converge..
je suis passé de U(2n) à U(n) par le fait que pour tout n appartenant à pour U(n) n est soit pair soit impair et donc U(n) revient à U(2n)+U(2n+1) et je remplace dans mon développement..

et je voulais savoir, qu'est-ce que tu entends par "on a pas vraiment la définition de la convergence de la suite U(n) dans ta conclusion vu que pour n>=N" tu considères que les termes de la forme 2n" ?

quand à ta dernière question elle suppose qu'il ne suffit pas que de prouver que si les suites extraites d'une même suite converge alors la suite en elle-même ne converge pas forcement..là est le problème! I'm lost...
re : Convergence de suites réelles#msg1405746#msg1405746 Posté le 04-11-07 à 11:45
Posté par Profilbabybelle babybelle

Une petite idée ?
re : Convergence de suites réelles#msg1409501#msg1409501 Posté le 04-11-07 à 22:31
Posté par ProfilCauchy Cauchy

On reprend si on a u(2n) et u(2n+1) qui convergent vers l, on veut montrer que u(n) converge l(cela semble raisonnable fais un dessin à partir d'un certain rang tous les termes pairs sont proches de l mais les impairs aussi donc tous les termes).

C'est cette phrase que tu dois traduire mathématiquement.

Pour ma dernière question, j'ai pas précisé qu'on considérait qu'elles convergent vers une même limite et j'ai pas donné la réponse

Ici u(2n) et u(2n+1) convergent vers une même limite et ça ca va impliquer la convergence de u(n).
re : Convergence de suites réelles#msg1411081#msg1411081 Posté le 05-11-07 à 13:25
Posté par Profilbabybelle babybelle

je vais méditer dessus,merci!

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