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Exo défi: produit des éléments d'un groupe fini abélien.
Bonjour à tous, 
Une 'tite question que je vous pose comme ça, JFF. (Pour être honnête, ça sort de mon DM mais notre prof lui il donne 5 questions intermédiaires auxquelles évidemment vous n'y aurez pas droit 
).
Soit un groupe fini abélien.
Calculez le produit de tous les éléments de G.
Il est fort possible qu'on soit, que vous soyez () amené à faire une 'tite (mais vraiment 'tite) distinction de cas.
Bonne réflexion.
Ayoub.
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).
Bon ben parti pour une correction alors:
Soit un groupe abélien fini. On note p le produit de ses éléments et Hle noyau de
(c'est bien un morphisme ar G est abélien).
On a clairement que p c'est le produit des éléments de H.
Si H n'a qu'un élément, cet élément c'est e et donc p=e.
Si H a 2 éléments distincts alors il y a un et un seul élément a différent de e dans H. Dans ce cas: p=a.
Si H a au moins 3 éléments: On note K = <a,b> un sous groupe de H engendré par deux éléments distincts entre eux et de e: a et b. On a K={e,a,b,ab}
La relation d'équivalence xRy <==>
k€K, y=kx (vérification aisée) permet de partitionner H. On prend un représentant pour chaque classe d'équivalence: .
On a alors .
Ayoub.
Bonjour 1Schumi1
Merci pour ta démonstration, cependant je ne comprends pas pourquoi tu limites K à {e,a,ab,b}, alors que à priori nous ne savons rien sur K, il pourrait contenir ambn, avec m et n entier quelconque
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