C'est parfait!
On va pouvoir passer à Parseval!
Voila la suite :
Exprimez, étant un élément de , en fonction de et de le spectre de la suite .
Le spectre de la suite c'est la transformée de Fourier sur ?
Je t'en prie !
Pour l'histoire du spectre, voir définition dans ton poly (bas de la page 63 et début de la 64)
Kaiser
En fait, il faut regarder exactement à la page 63 pour la définition du spectre d'un élément de .
Entre parenthèses, cette définition a l'air un peu bizarre.
En effet, on pourrait se dire pourquoi pas dire que le spectre c'est la somme infinie.
Le problème de la convergence de la série se pose : çe ne converge pas forcément presque partout, car la suite n'est pas sommable, mais uniquement de carré sommable.
par contre, ça converge au sens de la norme 2, c'est pourquoi lorsque tu résoudras cette question, tu seras obligé de prendre une somme finie, pour k variant entre -N et N, car la somme infinie n'aura de sens que dans le sens et non pas "point par point".
Bref, tu regardes ça, tu auras alors à intervertir deux somme sont l'une est finie (donc aucun théorème à utiliser, pour l'instant).
par contre, en suite tu bidouilles un peu pour faire apparaitre sous la somme quelque chose qui va ressembler à m0. Après ça va être une interversion de limite.
Bref, en clair, le but est de montrer que la suite converge dans vers quelque chose qui sera exprimé en fonction du spectre de m0 et du spectre de e, et par unicité de la limite, le spectre de R*(e) sera aussi égal à ce quelque chose (car la suite converge également au sens de la norme 2 vers le spectre de R*(e)).
Kaiser
Bonjour!
Alors j'ai :
C'est un élément de ?
Il faut vérifier que
Je trouve que :
-je ne sais pas si c'est correct
-je ne suis pas convaincu que
Ensuite je reviens à la définition :
Le spectre d'un élément de est l'élément de (qu'est-que la définition de ?) vérifiant :
Sinon, pour la définition de , dis toit qu c'est simplement l'ensemble des classes fonctions -périodiques de carré intégrable sur (l'explication de mon message précédent c'était pour faire le lien avec le cercle, car une fonction -périodique peut toujours se voir comme une fonction sur le cercle)
Kaiser
oui. Par contre, pour ton ensemble : 1) ce sont des classes de fonctions, 2) tu as oublié de dire que l'intégrale doit être finie (ce que tu voulais probablement écrire)
Kaiser
Non, ça, on sait déjà d'après le cours (définition de la transformée de Fourier dans ).
Pour commencer, on va faire les calculs formellement sans justifier pour voir si on tombe bien sur la réponse demandée.
Ensuite, on justifiera les diverses manipulations que l'on aura fait.
Bref, essaie d'expliciter la somme de -N à N qui apparait dans ton message précédent.
Kaiser
message de 21h51 : oui (c'est ce que l'on appelle le tore de dimension 1, ou alors pour faire plus simple, c'est le cercle unité)
Kaiser
la somme de -N à N est finie, donc il n'y pas de théorème là dessus : tu peux donc intervertir les deux sommes sans te poser de question.
Kaiser
message de 22h19 :
OK.
Maintenant, on va faire un truc pas bien du tout : on va faire tendre N vers l'infini pour voir ce que ça donne
Kaiser
Encore une fois, on va faire ça formellement donc sans justifier, du moins dans une première partie.
Du coup, on va écrire sans justifier que ça vaut :
là, tu dois reconnaitre des choses.
Kaiser
22:35 :
Il faut donc voir que ?
On regarde (c'est une somme finie)
Donc pour chaque k fixé, la série de terme général est convergente d'où :
22:39 :
On pose et lorsque k parcourt , u aussi ?
pour le premier point : OK (sauf, au début, quand tu dis qu'une somme de complexes est inférieure à l'infini, c'est moyen : dis plutôt que la série converge)
pour le deuxième point : oui
pour l'instant oui (remarque par exemple que la première somme n'a pas forcément de sens ponctuellement, car e est seulement supposées de carré sommable et pas sommable tout court).
Sinon, que reconnais-tu ?
Kaiser
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