Forum des énigmes mathématiques :
Enigmo 16 : Avec modération

Bonjour,

Sur l'île des maths, comme sur toutes les îles, il y a une spécialité locale à consommer avec modération : le cocktail mathilien !!

Sa composition est très simple : une mesure de jus de Coco, deux mesures de jus de Banane, et trois mesures de jus d'Abricot.

D'habitude c'est Tom_Pascal qui, avec l'élégance et la dextérité qui le caractérise (voir sa photo ci-dessous), prépare savamment le cocktail mathilien.

Mais Tom_Pascal est parti sur l'ile voisine et a donc laissé Océane aux commandes du bar. Malheureusement, celle-ci ne connait pas le dosage du cocktail mathilien et a donc mélangé les trois jus un peu n'importe comment dans une cruche.

C'est alors que Nightmare, grand expert mondial en cocktail, passe au même moment dans le bar. En fait, Nightmare a un don : il a un gout surdéveloppé qui lui permet de connaitre avec une extrême précision la composition de n'importe quel breuvage.

Océane verse alors un verre de la cruche à Nightmare. Celui-ci boit complètement le contenu du verre et déclare alors : "Pas mal ! Il y a exactement la bonne quantité d'Abricot dans le mélange, mais ça manque de Coco."

Alors Océane rajoute alors un verre de Coco dans la cruche qui se retrouve donc à nouveau pleine. Puis elle verse à nouveau un verre à Nightmare, qui déclare après l'avoir bu : "Mouais ... ça manque de Banane."

Alors Océane complète à nouveau la cruche avec un verre de jus de Banane. Elle verse une fois de plus un verre à Nightmare qui déclare après avoir liquidé le verre : "Euhhh ... maintenant, ça manque de jus d'Abricot."

Désespérée, Océane complète une fois de plus la cruche avec un verre de jus d'Abricot. Anxieuse, elle verse un verre un Nightmare, qui le vide d'un trait, puis annonce, le sourire aux lèvres : "c'est parfait !! Les proportions exactes du cocktail mathilien !!".

Question : sachant que la cruche d'Océane a une contenance de 60cl, quelle est, au dixième de cl près, la capacité des verres qui ont été utilisés ?

(dommage qu'on ne peut donner qu'un smiley pour une bonne réponse, sinon j'en aurais bien proposé deux à celui qui me donnera la valeur exacte, mais vous pouvez toujours me la donner si vous la trouvez ...)

Je vous souhaite un très bon courage, et si vous décidez de remplacer les jus de fruits par d'autres substances, je vous déconseille la méthode expérimentale pour résoudre le problème !

bonjour Jamo
le verre a une contenance de 22,9 cl, arrondi au millilitre le plus proche
soient x la contenance du verre en déciilitres et r le nombre 6/(6-x)
quantité d'abricot // quantité de banane // quantité de coco aux différents moments
à la fin
3 //  2 // 1
avant l'ajout d'abricot
3-x // 2 // 1
après l'ajout de banane
(3-x)r // 2r // r
avant l'ajout de banane
(3-x)r // 2r-x // r
après l'ajout de coco
(3-x)r² // (2r-x)r // r²
avant l'ajout de coco
(3-x)r² // (2r-x)r // r²-x
au départ
(3-x)r³ // (2r-x)r² // (r²-x)r
(3-x)r³ = 3
la solution de cette équation se trouve entre 2,29 et 2,295

bonsoir
appelons k le rapport capacité d'un verre/capacité d'un pichet.
Comme au départ le jus d'abricot est en bonne quantité il y en a 30CL (en effet le jus d'abricot doit représenter la moitié du cocktail).
en versant successivement 3 verres il reste 30(1-k)^3 Cl de jus d'abricot.
Comme Océane en verse ensuite un verre le pichet a 30(1-k)^3+k*60 CL dejus d'abricot ,qui est égal à 30.
En simplifiant cette équation on arrive à une équation du 2nd degré:
k^2-3k+1=0
La solution étant inférieure à 1 est 3-racine carrée de5)/2.
un verre a donc une capacité de 60*(3-racine carrée de 5)/2
c'est à dire 30(3-racine carrée de5) Cl
ce qui donne arrondi au dixième 22.9 Cl.
J'espère que c'est la bonne réponse et que je ne me suis pas trop précipitée.

Bonsoir Jamo,

Je vais avoir un beau poisson mais je trouve que le verre utilisé doit mesurer entre 22,917 et 22,918 cl soit une valeur arrondie à 22,92 cl.

Exprimons les contenances en dl (pour ne pas manipuler de gros chiffres) et appelons x la contenance du verre.

Soit A, B et C les quantités de jus de chacun des ingrédients

Quant on enlève un verre de mélange chaque quantité de jus est multipliée par un facteur (6-x)/6


Au départ la quantité d abricot est bonne donc dans la cruche il y a 3 dl d'abricot

Après avoir enlevé un verre quantité d'abricot 3(6-x)/6, quand on rajoute du coco la quantité d'abricot ne change pas

On enlève un second verre, la quantité d'abricot devient 3(6-x)²/36, quand on rajoute de la banane la quantité d'abricot ne change pas

On enlève un troisième verre, la quantité d'abricot devient 3(6-x)³/216, quand on rajoute de l'abricot  la quantité d'abricot devient 3(6-x)²/216+x

Et comme le mélange est parfait cette quantité vaut 3

D'où l'équation (6-x)³-72(3-x)=0
216-108x+18x²-x³-216+72x=0
X(-36+18x-x²)=0 d'où on tire x=9-(45)=9-3(5)=2.2917… dl (la seconde solution 9+3(5)donne une valeur de x supérieure à 6 et la valeur x=0 bien que mathématiquement correcte ne répond manifestement pas au problème)

Le verre a donc une contenance de 22,9 cl


(C'est à la page 95 que j'ai pris mon nom de guerre) (private joke)

Bonjour,

On considère le volume de la cruche (c), le volume initial (et final) d'abricot (a) et le volume du verre (v).

Le volume d'abricot dans la cruche à chaque étape  vaut alors :

> au début : a
> après avoir versé le verre de coco dans la cruche : a.(c-v)/c
> après avoir versé le verre de banane dans la cruche : a.(c-v)²/c²
> après avoir versé le verre d'abricot dans la cruche : a.(c-v)³/c³+v = a

On transforme la dernière égalité en : v² - 3c.v + c²(3a-c)/a = 0

en remplaçant c par 60 et a par 30 : v² - 180.v + 3600 = 0

soit en cl : v = 90 - 10√45

Ce qui fait des verres de 22,9 cl.

_{ça ne m'a pas paru si dur ... du coup, vu les derniers commentaires de l'énoncé, j'ai des doutes ...}

En posant x, la proportion de coco au départ et k, la proportion d'un verre, on trouve :
x=8,80 % (ce qui est conforme au fait qu'il manque du coco normalement à 16,66%).
k= (3 - 5)/2 = 38,2 % environ.
Le verre (j'espère que les trois verres ont la même capacité !!!) a donc une capacité de :
valeur exacte : V= (3 - 5)*30 cl
valeur au 1/10 de cl : V=22,9 cl

Merci Jamo pour cette nouvelle énigme.

Je mets le problème en équations en notant A,B,C les quantités initiales de chaque composant et x le volume du verre.
A=30 puisque la dose initiale d'abricot est bonne.
En écrivant que la dose finale d'abricot est également bonne, j'obtiens une équation du 3eme degré en x, qui se ramène au 2eme degré et qui n'a qu'une solution acceptable: x=90-racine(4500) d'où

le contenu du verre: 22,9 cl au dixième de cl près.

Les équations en B et C n'ont pas été utilisées pour trouver le contenu du verre mais elles permettent, x étant connu, de retrouver B et C et ensuite de reconstituer le scénario et vérifier les affirmations de Nightmare.

On trouve ainsi:
A=30 , B=24,7 , C=5,3 .

Dans un premier temps, j'avais fait une faute de calcul et ça ne collait pas. Je flairais un piège: et si les verres n'étaient pas identiques?
Après tout, on voit mal Oceane utilisant le même verre en se contentant, entre deux expériences, de le retourner pour faire tomber la mouche collée au fond...

Si x est le rapport du volume du verre à celui de la cuve, il suffit d'écrire que le volume d'abricot est le même en début qu'en fin d'opération, soit 30(1-x)^3+60x=30 donc x^2-3x+1=0 donc x=(3-rac(5))/2, ce qui donne un volume du verre de 60x=22,918 cl arrondi à 22,9.
Il y avait initialement 30 cl d'abricot, 24,72 cl de banane et 5,28 cl de coco...

Salut Jamo!
Je crois avoir trouvé la valeur exacte (avec un petit coup de pouce informatique )

Tout d'abord, moi, je n'aime que le jus d'abricot, le reste je m'en fout!

Nightmare nous dit au départ que le cocktail contient exactement la bonne quantité d'Abricot.Il y en a donc 30 cl (10+20+30=60).
La 1ere fois qu'Océane reremplit la cruche, il en reste 30 - 1/2 * v (v étant le volume du verre)
La 2eme fois qu'Océane reremplit la cruche, il en reste 30 - 1/2 * v - (30 - 1/2 * v)/60 * v = 30 - v + 1/120 * v²
La 3eme fois qu'Océane reremplit la cruche, il en reste 30-v+1/120*v² - (30-v + 1/120 * v²)/60 * v = 30-v + 1/120 * v² - 1/2*v + 1/60*v²-1/120 * v^3
Et vu que lorsqu'elle rajoute le verre d'abricot, les quantités sont exacte on a:

30 - v + 1/120 * v² - 1/2*v + 1/60*v² - 1/120 * v^3 + v = 30

<=> 1/120 * v² - 1/2*v + 1/60*v² - 1/120 * v^3 = 0

hop! Un p'tit coup de calculatrice pour trouver les racines, et pour déterminer une valeur exacte possible : 90-305 (22,91796067500630) !!
Petite vérification manuelle...(fraction de 3 lignes ) ça tombe juste !!

La solution : La capacité des verres utilisés est de 90-305 22,9cl !

30(3-5) soit  22,9 cl

bonjour,
si j'ai bien compris le texte:
le poucentage initial de jus d'abricot est correct il y a donc dans le mélange d'Océane 30cl de jus d'abricot
je note v le volume d'un verre en cl

aprés le premier verre de N: volume de jus d'abricot du mélange 30(1-v/60)
aprés le second verre de N:  """""""""""""""""""""""""""""""""""30(1-v/60)²
aprés le troisième verre de N:..................................30(1-v/60)³
aprés l'ajout d'un verre de jus d'abricot: le volume de jus d'abricot du mélangeest donc30(1-v/60)³+v
le mélange est alors parfait donc le volume de jus d'abricot est revenu à 30cl on a donc
30(1-v/60)³+v=30 (1)
je pose X=1-v/60 soit v=60(1-X)
(1)=>X³-2X+1=0
f(X)=X³-2X+1
X |0.......0,618...(2/3).........1
f'|-2           -         0             +
f |    +    0     -       m           -         0

f(0,618)= 2,9.10 ^-5   ce qui donne v=22,92cl
f(0,61805)=-1,3.10^-5  ce qui donne v=22,917cl

je propose v=22,9cl comme valeur approchée à 1/10cl j'espère ne pas m'être trompée

j'ai aussi calculé les pourcentages des deux autres jus dans le mélange initial mais on ne les demande pas
merci pour cette énigme à calculs

le problème c'est que je ne suis pas sûre que ma réponse veuille bien partir je suis en w-end ,je reçois bien mais ça part mal

En posant x la quantité de banane au départ, et y celle de coco, en utilisant v pour le volume du verre, j'obtiens (en cl)

{x = -20+20*5^(1/2), v = 90-30*5^(1/2), y = 50-20*5^(1/2)}


En y regardant de plus près, on calcule simplement le volume d'abricot:
au premier mélange on a 30cl (le bon dosage en abricot)
puis on a au deuxième mélange:30-1/2*v
au troisième:1/120*(v-60)^2
enfin au dernier:30-1/2*v+1/40*v^2-1/7200*v^3

or au dernier on a le bon dosage, donc -1/7200*v*(3600-180*v+v^2)=0
v différent de 0 (le verre n'est pas vide) et positif...

Une valeur approchée est:22.9cl.
Voilà les différents cocktails (au 10ème)
             abricot, banane, coco
cocktail 1  30    ,  24.7 ,  5.3
cocktail 2  18.5 ,  15.3 ,  26.2
cocktail 3  11.5 ,  32.3 ,  16.2
cocktail 4  30    ,  20    ,  10

JE Pense à 380 / 27

Bonsoir

La capacité des verres utilisés est exactement de 90-305 cl ce qui fait au 10ème près 22.9 cl.
et voici les valeurs approchés de la contenance de la cruche tout au long de l'évolutuion de la solution dans cet ordre (abricot,banane,coco)et en cl biensur :
sol initiale:    30   ,   24.722   ,   5.278
2ème sol:    18.541   ,   15.279   ,   26.18
3ème sol:    11.459   ,   32.361   ,   16.18
4ème sol:    30       ,   20       ,   10


Merci pour l'énigme .

Bonjour,
je trouve que la contenance du verre est, au dixième de centilitre près, de 22.9
La valeur exacte est

Soient c0 (quantité de jus de noix de coco), b0 (quantité de jus de banane), a0 (quantité de jus d'abricot) le contenu initial de la cruche et V celui du verre utilisé pour les tests.
Le jugement de Nigthmare lors du premier test est que

citation :
Il y a exactement la bonne quantité d'Abricot dans le mélange

Il arrive à cette conclusion après avoir apprécié une quantité V de cocktail initial homogène.

Donc la quantité a0 est correcte. Or d'après les proportions idéales, il y a 3 doses de A pour (1+2+3) =6 doses de cocktail, et la cruche fait 60.

Donc a0=30

Les autres jugements sont anecdotiques, on se contentera de vérifier à postériori qu'ils ne sont pas contradictoires avec le résultat obtenu.

On retire un verre de cocktail pour ajouter un verre de C
les quantités deviennent
c1=c0-c0*V/60+V
b1=b0-b0*V/60
a1=a0-a0*V/60

On retire un verre de cocktail pour ajouter un verre de B
les quantités deviennent
c2=c1-c1*V/60
b2=b1-b1*V/60+V
a2=a1-a1*V/60

On retire un verre de cocktail pour ajouter un verre de A
les quantités deviennent
c3=c2-c2*V/60
b3=b2-b2*V/60
a3=a2-a2*V/60+V

Or ce dernier composé est "parfait"
Donc
a3=30
(on a aussi b3=20 et c3=10, mais cela n'aide en rien au calcul de V. On s'en servira pour calculer les valeurs intermédiaires de bi et ci)

A partir des équations
a3=30
a3=a2-a2*V/60+V
a2=a1-a1*V/60
a1=a0-a0*V/60
a0=30
on obtient

Une solution évidente, à rejeter évidemment, est V=0 (Nightmare est fort, mais pas au point de juger de la composition du cocktail rien qu'en le regardant)

En posant et en simplifiant par u, on obtient
La solution est à rejeter car elle mène à une valeur de V supérieure au contenu de la cruche.
Il reste la solution indiquée.

On calcule alors (je n'ai donné que les valeurs approchées)
c2=16,2 b2=32,4 a2=11,5
c1=26,2 b1=15,3 a1=18,5
c0=5,3 b0=24,7 a0=30,0
qui sont conformes aux critiques successives de Nightmare.

Je vais finir le reste de punch

Santé

Le fait que la quantité d'abricot soit bonne dès le début nous dit qu'il y a trois mesures, sur 60 cl d'abricot, donc 30 cl.

On enlève un verre pour faire gouter à Nightmare. Il reste dans la jatte 30-x/2, sachant que x est la contenance du verre. En effet, le mélange dans le verre est le même que celui de la jatte, il y a donc la moitié du verre qui est de l'abricot.

On ajoute un verre de coco. La proportion d'abricot dans la jatte n'est plus que de 1/60*(30-x/2).

On enlève un deuxième verre, pour Nightmare. Il ne reste dans la jatte que (30-x/2) - 1/60*(30-x/2)*x = (30-x/2)*(1-x/60) cl d'abricot.

On ajoute un verre de banane. La proportion d'abricot dans la jatte n'est plus que de 1/60*(30-x/2)*(1-x/60).

On enlève encore un verre pour Nightmare. Il ne reste donc que (30-x/2)*(1-x/60) - 1/60*(30-x/2)*(1-x/60)*x = (30-x/2)*(1-x/60)² cl d'abricot.

On ajoute un verre d'abricot, et le mélange est bon.

On a donc : (30-x/2)*(1-x/60)² + x = 30.

Et après résolution numérique, trois solutions sont possibles : x=0, x=157,08 et x=22,92. Les deux premières solutions n'étant pas acceptables, on en déduit que la contenance du verre est de 22,92 cl.

V=volume du verre =(90-305)cL soit 22,9cL au dixième près
au début la quantité de jus d'abricot est correcte: la cruche en contient 30cL
quantité prélevée pour le 1er essai x=V/2 (0<x<30) le mélange contient 50% de jus d'abricot
quantité de jus d'abricot restant dans la cruche: 30-x
quantité de jus d'abricot prélevée pour le 2ème essai
  (30-x)*(2V/60)=(30-x)*x/30
quantité de jus d'abricot restant dans la cruche après le deuxième essai
(30-x) -(30-x)*x/30=(30-x)[1-(x/30)]
quantité de jus d'abricot prélevé pour le dernier essai
(30-x)[1-(x/30)]*x/30
quantité enlevée=quantité rajoutée =2x
d'où
(x/30)(30-x)[2-(x/30)=x ==>(30-x)(60-x)=900==>x²-90x+900=0
=4500
=305
x=(90-305)/2
V=(90-305)

Bonjour,

Si les capacités de Nightmare ne sont pas altérées après 4 verres de cocktail mathilien à priori sans alcool,
alors Océane a utilisé une verre dont les caractéristiques sont :

L'évolution des proportions est la suivante :


Merci pour cette énigmo spéciale barman. A+, KiKo21

22,91796301 = 22,9 cl
A+
Torio

Si on ne considère que la dose d'abricot dans la cruche et qu'on pose V la contenance du verre, on peut trouver une équation en V.

On commence avec
On a ensuite
On suppose que la cruche est très très bien mélangée et si on a la moitié d'abricot dans la cruche, on doit aussi avoir la moitié d'abricot dans le verre. D'où l'équation précédente qui va se répèter à chaque étape.




Dans la dernière équation, on a ajouté un verre (V) d'abricot.

On obtient alors l'équation du troisième degrés en V suivante :

La solution triviale d'un verre vide est à exclure et on trouve donc une équation du second degrés ayant deux solutions positives :




Comme seule la première solution convient et on a donc :

En étudiant le volume de jus d'abricot contenu dans la cruche après chaque étape je trouve finalement l'équation :-v^3/7200+v^2/40-v/2=0 avec v le volume du verre. On trouve que la seule solution en accord avec le problème est -30(racine de (5)-3)soit à peu près 22.9 cL

Bonjour,

La capacité des verres est de 22.9 cl environ.

Merci pour cette énigme "Excellente".

A+,
gloubi

Bonjour,

Voici une énigme qui sent bon le sable chaud... sans ambre solaire.

Posons , le rapport de contenance (volume) du verre et de la cruche.

Ecrivons les équations qui régissent l'évolution de la proportion de chacuns des ingrédients du cocktail avec A = abricot, B = banane et C = coco



La proportion d'abricot est parfaite au début comme à la fin,



(La banane et le coco sont donc des polluants dans cette énigme )

Reste à résoudre



Les racines sont

Si on considère que le verre est plus petit que la cruche (et que Nightmare ne fait pas semblant de boire ), la solution à l'énigme est càd 22,9cl.

salut

Bon, je détaille pas, c'est trop long. Alors on va dire que je n'ai pas fait de faute bête et penche pour 22.9 cl comme capacité d'un verre.

Bonjour:

Je ne sais pas si j'ai bien compris, mais en posant pour le volume du verre v et :
quantité idéale d'abricot A = 30 cl
quantité idéale de banane B = 20 cl
quantité idéale de coco C = 10 cl



Soit en résolvant:



Donc le verre a un volume de 18,2 cl.

Clôture de l'énigme

Bravo à presque tous ceux qui ont participé !

Je crois qu'en fonction de la mise en équation du problème, on tombait sur une équation plus ou moins simple à résoudre de manière exacte.
Et je crois bien que par une petite approche numérique, par exemple l'utilisation du solveur d'Excel, on pouvait aussi trouver la solution à ce problème.

Tolokoban >> j'ai un peu hésité à t'accorder la réponse : tu donnes la réponse dans la mauvaise unité, et de plus elle n'est pas arrondie au dixième comme le demandait l'énoncé. Pour un ingénieur (comme l'indique ton profil), ce genre d'erreur est-il acceptable ?
Imagine que tu te retrouves vainqueur en fin de mois, je crois que beaucoup râleraient ...

laotze >> je n'ai cherché à localiser ton erreur, mais tu devais être assez proche de la solution ...

Je voulais aussi faire une petite remarque : certains ne sont pas toujours d'accord avec le nombre d'étoiles affectées à une énigme. Ils trouvent des énigmes à 3 étoiles "faciles" et d'autres à 1 étoile plus difficile.
Pour moi, c'est l'évaluation de la difficulté qui n'est pas aisée. Certains vont mettre 5 minutes à résoudre une énigme et d'autres vont suer pendant 4 heures en fonction des méthodes et moyens utilisés et de leur niveau de connaissance.
De plus, une énigme toute simple, du genre l'énigmo 10 sur le calendrier de Julien, mais qui comporte un piège, doit-elle être considérée comme difficile ou pas ?
Et un problème de découpage d'une forme géométrique, abordable dès 7 ans, mais très difficile à trouver, doit-il avoir 1 ou 4 étoiles ?
Je n'ai pas les réponses à ces questions ...
En conclusion, je crois qu'il ne faut pas se focaliser sur le nombre d'étoiles affectées à une énigme, car cela reste un critère ni très fiable ni très objectif.

bonjour >>jamo
pourquoi dois-tu mettre des étoiles?une énigme à laquelle on a bien répondu rapporte deux points  qu'elle soit à une,deux ou trois étoiles ,la difficulté dépend des connaissances du participant,moi qui suis de la vieille école(agrégée des années 50*)je vais trouver difficile un sujet que les plus jeunes vont résoudre en quelques minutes avec excel ou autre logiciel dont je ne dispose pas
a ce propos as-tu vu l'exercice 4 des olympiades de l'académie de versailles communiqué par Perroquet,je trouve qu'il n'est pas plus facile que ton enigmo11 classée 3 étoiles
*il y a quelques mois tu disais que les énigmes étaient pour tous de 7 à 77ans,désolée si je déborde de l'intervalle de quelques

bonne fin de week-end et merci encore pour toutes ces énigmes,je suis très en retard il va falloir que je m'y mette si je veux en trouver une ou deux avant que tu donnes les résultats

Il est vrai que je ne suis pas obligé de mettre des étoiles, disons que c'est par habitude qu'on les met aux énigmes.

J'essaie aussi de proposer des énigmes accessibles par beaucoup, mais pas uniquement. Disons que j'évite les énigmes qui demandent des connaissances et des méthodes trés poussées en maths (je laisse cela aux énigmes de monrow qui sont plutôt corsées au nivau math ! ).

Sinon, je corrige les énigmes au bout de 2 semaines de publication : en général, 80% des réponses sont données en moins d'une semaine, et plus le temps avance, plus on trouve des fausses réponses.