Forum : exercices :
défi 1

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Il y a plus fort même : c'est une équivalence!

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équivaut à soit F(m)- F(n) = 0 <=> F(m) = F(n) ce qui signifie que F = constante sur [m,n] donc f est nulle sur [m,n].

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tu as prouvé que F(m)=F(n) et de là tu déduis que f est constante sur [m;n] ! fatiguée non ?

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Oui, effectivement...

Je vais revoir tout ça

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sinon supposons supposons l'equistance d'un intervalle ou f est strictement positive , alors, . Comme sur les intervalles [m;i] et [j;n] la fonction est positive, \Bigint_m^i f(t)dt\ge 0 et \Bigint_j^n f(t)dt\le 0.
On somme et on remarque que c'est strictmeent superieur à 0 SI  un tel intervalle existe. Comme l'integrale est nul, ca n'existe pas, donc la fonction est nulle.

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Soit F : la primitive de f, nulle en m

Elle est croissante sur [m,n] puisque f positive

En outre, se lit F(b)=0

Donc F est constante sur [a,b] et sa dérivée f est donc nulle sur [a,b]

Niveau sup ?

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se lit F(n)=0

Donc F est constante sur [m,n] et sa dérivée f est donc nulle sur [m,n]

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peut on noté la primitive d'une fonction définie sur R:          

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Nan c'est moche et surtout pas rigoureux, vaut mieux dire : F définie par : est la primitive de f s'annulant en a.

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et au brouillon on peut?

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je ne sais pas ce que tu en penses mais là ok tu as prouvé que F(m=0 et F(n)=0 donc tu conclus que F est constante (c'est d'ailleurs ce qu'avait fait Estelle) ceci étant valable que si l'on ajoute que l'aire du domaine définie par notre intégrale est nulle et que mais je trouve que ça ne fait pas trop "bien" (on mélange de l'analytique et de la géométrie ...) enfin ce n'est que mon point de vue. sinon bien joué

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oui tu as en effet le bon réflexe en fait si l'on raisonnait par contraposée, il existe un réel c dans [m;n] tel que f(c)>0 et là on justifie l'existence de ton intervalle par la continuité de f en c et donc après on termine comme tu l'as fait... bien joué

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Je suis rassurée : guitou a fait la même erreur que moi

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Non mais je suis d'accord que F(b) = F(a) n'implique pas que F est constante... et je ne vois pas comment le montrer.

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Sachant que l'exercice c'est une démo de cours d'un de mes bouquins, je ne vois pas ce qu'il y a de pas rigoureux.

Et je ne vois pas où il manque des explications

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mais peu importe que ce soit pris dans un bouquin ou sur le net si c'est une démo niveau sup benh c'est "normal" que ca soit vite fait puisque on le conçoit très bien intuitivement. en outre j'ai dit juste mon point de vue qui n'est pas nécessairement juste : je réexplique : le passage de F(m)=F(n)(=0) à F est constante est un peu rapide : ne faudrait il pas étayer que comme la fonction est positive alors l'intégrale représente l'aire en dessous de la courbe et l'axe (Ox) et donc comme cette aire est nulle alors F est constante ...

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Ben (avec mon niveau de terminale en tout cas) je ne vois pas pourquoi F(b) = F(a) veut forcément dire que F est constante.

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Je n'ai pas fait de considérations graphiques ^^

Je pose F la primitive de f qui s'annule en m donc F(m)=0

F est croissante car sa dérivée, f est positive sur [m,n]

Or F(n)=0

Donc F est la fonction nulle, et donc sa dérivée f aussi

Que de l'analyse

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J'avais pas tout compris
Merci

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supposons qu'il existe un x0 en lequel f est non nulle.
par continuité il y a un voisinage V de x0 sur lequel f est strictement positive.
reste à intégrer pour conclure par contraposée.